Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

26.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

1 , 2 ,..., n

N k :

lim	n		f x, y, z d .
	f N k	k
0	k 1		U
n

U ,
f x, y, z ,			z z2 x, y ,
z z1 x, y ,				,		0z ,
						(
),			x0 y			D ( . 10.11)
	z2	x, y	b	y2 x	z2	x, y
f x, y, z dv		f	x, y, z dz dxdy	dx dy		f x, y, z dz.
U	D z1	x, y	a	y1 x	z1	x, y

z z z2 x, y y

U					y	y2	x
U
						D
z	z1	x, y			y	y1	x	x
z	z1	x, y	0		a		b
			0		a		b
0		y
D				y	x	x1	y
D					x	x1	y
x				d			x	x2 y

10.2. , , . .

1 0 . 3 . ,

z	x2 y 2	z 2 x2 y 2 .
z		y

		x
0	y	1
	-1	1
x
	D	x2 y 2 1

. 10.12

. D U

x0 y ,

z	x 2	y 2
z	2 x 2		y 2
z 2 z2	z		1, z	2	2
	1			2
						x 2		y 2
			1		1 x 2 2	x 2		y 2
x2 y2 1	f x, y, z dv 4 dx dy								f x, y, z dz .
U			0		0
U			0		0	x	2	y	2
						x		y

1 0 . 4 . y 2 z 2 dv , U ,

. 10.13.

		y
1	x+y+z=1	1
	x+y+z=1
				y=1-x
				y=1-x
0		y	D	x
				x

D	1	0		1
1
x		. 10.13

1 x

1 x y

1 x

z 3

1 x y

1 x

1 x y 3

y 4

1 x

1 x y

y 2 1

1	1 x 4		1 x 4	1	x	4	dx	1	1	x	4	dx	1	.

0	3	4			12			0		6			30
0	3	4			12			0		6			30

10.6. ()

10.6.1.

x0 y D ,

L .	,	,
		D ,
	D	u, v ,

x	x u,v ,
y	y u,v .
D ,	L ,
x0 y ,	D	L ,
u0v ;	,	D

u u1, u u2,...,v v1, v v2 ,...

S1 ,S 2 ,...,S n , x0 y

D	S1, S 2,...

(. 10.14).

x u1 ,v

x uk ,v

y u1 ,v

= u

y uk ,v

x u,v1

y u,v1

. 10.14

vk .

Sk .

lim

0 ,

u, v .

S ,

lim S

dxdy ,

lim

dudv

dxdy

J dudv .

				u n	v n	u
f	x, y dxdy	f x u, v , y u, v	J	du dv	du	f x u, v , y u, v	J	dv .
D	D			u 1	v 1	u

( . 10.15):

cos

sin

cos

;

sin

cos

sin

	2	2
f x, y dxdy	d	f cos , sin	d .
D	1	1

2
1	1	1
0		x
0		0	1	2
			1	2
		. 10.15

1 0 . 5 .	x x2 y 2 dxdy ,			D
	D
	:	x2 y2	2	a2 x2 y2 , x 0
	:	x2 y2		a2 x2 y2 , x 0

(. 10.16)..

x cos

y sin

	y
										4			a 2 2 cos2				sin 2
					D		x	2			a 2 cos 2

	0			4														a cos 2 ,
				4														a cos 2 ,

	. 10.16
	. 10.16											x	0			a cos 2 .
												x	0			a cos 2 .

														4	a cos 2
					a	cos 2
				4	a	cos 2				4
	2			2	d	cos			d	2 cos							d
	2			2	d	cos			d	2 cos				4			d
D		1	D	0		0		J		0					0
	2		D												0


a4 4		2		a4	4	1	cos 4
	cos		2 cos d					cos d
	cos		2 cos d	2			2	cos d
2 0				2	0		2


a 4 4	cos	1	cos5	cos3	d	2 2	a 4 .

4 0		2				15

10.6.2.

. xyz uvw

x xu,v, w,

y yu,v, w, z zu,v, w,

x, y, z

u, v, w .

lim

v 0

x, y, z

f x u,v, w , y u,v, w , z u,v, w

dudvdw .

( . 10.17).

M ,, z

		. 10.17
u	,	x	cos	,		sin	cos	0
u	,	x	cos	,		sin	cos	0
v	,	y	sin	,	J	cos	sin	0
w	z ,	z	z,			0	0	1

	2	1	z2	,	dz .
f	x, y, z dxdydz	d	d	f cos , sin , z	dz .
U	1	1	z1	,

. (. 10.18).

						z
x	r cos	sin	,
y	r sin	sin	,		J	r 2 sin ,	M r,	,
y	r sin	sin	,		J	r 2 sin ,
z	r cos	,				r
z	r cos	,				r
				0				y

f x, y, zdxdydz

x . 10.18

f r cos sin, r sin sin, r cos r 2 sin drdd .

1 0 . 6 .

y 2 dxdydz ,

2x x2 ,

z 0,

1 (

. 10.19).

cos

sin

. 10.19

y 2 2 x

cos

y 0

2 cos .

		2	2 cos	1
z x2 y2 dxdydz		2	2 cos	1
z x2 y2 dxdydz	z	d d dz	d	2 d zdz
U	U	0	0	0

										2cos					z2			1		3		2 cos		4					8
								2		2cos		2			z2			1	1 2	3		2 cos		4		2	cos3		8	.
										d		2						d						d				d
										d								d						d				d
								0			0					2		0	2 0	3		0		3 0					9
								0			0					2		0	2 0	3		0		3 0
										1 0 . 7 .									,										,

									R2 x2		y2
R		R2 x2							R2 x2		y2	dz
	dx						dy					dz		.
R	dx						dy			0				.
													z
			R	2	x	2							z
			R		x
								.																					:

0	z				R 2			x 2		y 2						,			0,2		,			0,		, r		0, R	( . 10.20)
0	z				R 2			x 2		y 2						,			0,2		,			0,		, r		0, R	( . 10.20)
																								2

x	r cos				sin			,		y	r sin sin						, z		r cos				z		r cos .

r M

y R

	R
x	. 10.20
x

2	2	R r2 sin dr	2	sin		R r 2 dr
d		d	2			d


0	0	0 r cos	0		cos	0 r

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]