Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

TЗамечание 2.15.T При нахождении ранга матрицы нужно посредством элементарных преобразований привести матрицу к диагональной форме и сосчитать число единиц, стоящих на «главной» диагонали.

§ 7. Cвойства систем линейных уравнений

Общие свойства произвольных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные системы, фундаментальная система решений

TОпределение 2.36.T Под произвольной системой линейных алгебраических

уравнений будем понимать следующую систему:

для i =1, S и j =1,n считаются заданными числами.

TОпределение 2.37.T Матрицы

называются соответственно основной и расширенной матрицами системы (2.39).

больше последнего.

66

Из данного метода отыскания решений системы (2.39) следует такая TТеорема 2.19. TСистема (2.39) совместна и имеет единственное решение

тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных. Отметим сейчас некоторые свойства однородных систем линейных

алгебраических уравнений

Пусть в системе (2.39) все b1,b2 ,...,bs равны нулю. Тогда из теоремы Кронекера – Капелли следует, что она будет совместной. Этот результат очевиден, так как однородная система, соответствующая (2.39), всегда имеет нулевое решение (0,0,…,0).

Допустим теперь, что матрица A имеет ранг r . Если r = n , то нулевое решение будет единственным решением системы (7.1) при b1 = b2 =... = bs = 0 . Это непосредственно следует из формул Крамера. Однако при r < n однородная система линейных алгебраических уравнений будет иметь и решения, отличные от нулевого.

TТеорема 2.20.T Однородная система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными тогда и только тогда обладает нулевыми решениями, когда определитель этой системы равен нулю.

TТеорема 2.21.T Пусть дана однородная система линейных

и вектор-столбец x = (x1, x2 ,..., xn )T является решением этой системы. Тогда для любого числа k вектор-столбец kx = (kx1,kx2 ,...,kxn )T также будет решением системы (7.4). Если x = (y1, y2 ,..., yn )T еще один вектор-столбец, являющийся решением (2.42), то и вектор-столбец αx + βy = (αx1 + βy1,...,αxn + βyn )T , где α, β - произвольные числа, будет являться решением системы (2.42).

68

Справедливость теоремы непосредственно следует из однородности системы (2.42) и условий самой теоремы.

TОпределение 2.40.T Любая максимальная линейно независимая система решений (т.е. векторов-столбцов матриц размерности n ×1) однородной системы (2.42) называется ее фундаментальной системой решений.

TЗамечание 2.18.T Вектор-столбец (n − й) тогда и только тогда будет

решением системы (2.42), когда он является линейной комбинацией векторовстолбцов, составляющих фундаментальную систему ее решений.

TТеорема 2.21. TЕсли ранг матрицы r коэффициентов однородной системы (2.42) меньше числа неизвестных n , то любая фундаментальная система ее решений состоит из (n − r) решений.

TОпределение 2.41. TОднородная система линейных алгебраических уравнений, полученная из неоднородной системы (2.39) с помощью замены свободных членов (т.е. b1,b2 ,...,bs ) нулями, называется приведенной системой

для (2.39).

TТеорема 2.23 TОбщее решение неоднородной системы (2.39) можно

система решений приведенной системы для (2.39); λ1,...,λn−r - произвольные числа.

§ 8. Метод Гаусса

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

При решении различного рода уравнений, встречающихся в математике и ее приложениях, приходится сталкиваться с анализом двух основных проблем. К первой относится проблема качественного исследования уравнений. Надо дать

69

ответы, в частности, на следующие вопросы: Разрешимо ли уравнение или система уравнений? Имеет ли уравнение или система уравнений единственное решение или нет? Какова структура общего решения?

Другой проблемой является непосредственное построение, отыскание искомых решений рассматриваемых уравнений или систем уравнений. При этом чрезвычайно важно разработать эффективные алгоритмы решения уравнений или систем уравнений, которые позволяли бы отыскивать эти решения с минимальными затратами и с гарантированной точностью.

Выше мы рассматривали, в основном, только элементы качественной теории систем линейных алгебраических уравнений. Теперь же перейдем к изложению одного из эффективных методов решения таких систем, каковым является метод Гаусса (К.Ф. Гаусс; 1777 - 1855; немец. ученый).

TОпределение 2.42. TДве системы линейных алгебраических уравнений

с n неизвестными называются эквивалентными, если они обе одновременно совместны или несовместны и обладают одним и тем же множеством решений.

TЗамечание 2.19. TЕсли расширенные матрицы систем (2.44) и (2.45) можно получить друг из друга посредством элементарных преобразований, производимых только над их векторами-строками, то системы (2.44) и (2.45) будут эквивалентны.

TЗамечание 2.20.T Если основные матрицы систем (2.44), (2.45) возможно получить друг из друга только посредством перестановки их векторов-столбцов,

70

то между множествами их решений можно установить биективное соответствие, сводящееся к перестановке переменных x1, x2 ,..., xn .

Пусть нам дана произвольная система линейных алгебраических уравнений (2.44) с n неизвестными, т.е. будем предполагать, что все векторы-столбцы основной матрицы системы (2.44) не являются нулевыми. Заметим сразу, если в (2.44) в каком-либо из уравнений все коэффициенты левой части равны нулю, а его правая часть отлична от нуля, то система (2.44) будет несовместной. Это следует из того, что не может выполняться равенство 0x1 + 0x2 +... + 0xn = bi(0), где

bi(0) ≠ 0 .

Допустим, что в (2.44) отсутствует уравнение такого типа. В этом случае можно исключить x1 из (s −1)-го уравнения системы (2.44), (считаем, что s ≥ 2 ;

при s =1 имели бы только одно уравнение). Поскольку первый вектор-столбец основной матрицы системы (2.44) ненулевой, то с помощью перестановки уравнений системы (2.44) всегда можно добиться того, чтобы a11(0) ≠ 0 .

Итак, пусть в (2.44) a11(0) ≠ 0 . Исключим неизвестные x1 из всех уравнений системы (2.44), кроме первого. Это можно сделать посредством умножения первого уравнения на (a21(0) / a11(0)) и вычитания результата из соответствующих частей второго уравнения. Затем обе части первого уравнения, умноженные на число (a31(0) / a11(0)), вычтем из соответствующих частей третьего уравнения. Данную процедуру следует применить и к другим уравнениям системы (2.44) (вплоть до s -го). В результате указанных операций система (2.44) преобразуется в эквивалентную ей систему линейных алгебраических уравнений следующего вида:

где

71

для всех i, j . При этом в (2.46) пока формально включены уравнения вида

0x1 + 0x2 +... + 0xn = 0 , которые могут возникнуть при исключении неизвестной x1 из 2-го, 3-го и т.д. уравнений системы (2.44).

Если среди уравнений системы (2.46), начиная со второго, есть уравнения вида 0x1 + 0x2 +... + 0xn = bi(1), где bi(1) ≠ 0, то система (2.46) (и соответственно

(2.44) будет несовместной. Если же таковых уравнений нет, то процесс исключения неизвестных следует продолжить по предыдущей схеме. Однако его уже надо будет применить к части системы (2.46), которая включает в себя все уравнения, начиная со второго. На втором этапе исключается неизвестное x2 из всех уравнений этой части, кроме первого (для системы (2.46) это второе уравнение). На третьем этапе исключается x3 и т.д. если в процессе преобразований мы не встретим уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных равны нулю (при этом правые части этих уравнений отличны от нуля), то после (s −1)-го этапа придем к системе

которая эквивалентна системе (2.44). Если же в процессе преобразований исходной системы (2.44) нам встретятся уравнения, удовлетворяющиеся тождественно, то система (2.48) будет состоять из меньшего, чем s , числа уравнений (формально это соответствует тому, что в (2.48) s надо заменить на число s1 < s .) Следует отметить, что для приведения исходной системы (2.44) к

виду (2.47) может понадобиться также операция перестановки порядка символов (неизвестных) x1, x2 ,..., xn .

72

В результате процедуры исключения неизвестных в предположении совместности системы (2.44) (т.е. когда метод исключения не приводит к

предпоследнего уравнения находим xn−1 , затем из третьего от конца уравнения - xn−2 и т.д. Переходя к уравнениям с меньшими номерами постепенно найдем все неизвестные вплоть до x1 . Отсюда следует, что при s = n система имеет единственное решение.

Допустим теперь, что s и s1 меньше n . Тогда s или s1 неизвестных будут базисными, а остальные (n − s) или n − s1 - свободными. В этом случае из последнего уравнения системы (2.48) выражаем xs или xs1 через xs+1, xs+2 ,..., xn

(или xs1 +1, xs1 +2 ,..., xn ). Затем из предпоследнего уравнения находим xs−1 (или xs1 −1)

через свободные переменные и т.д. В этом случае система имеет бесконечное множество решений. Для того, чтобы получить некоторое частное решение системы (2.44), надо придать определенные числовые значения свободным переменным.

Итак, метод Гаусса (метод исключения неизвестных) позволяет установить совместность или несовместность системы линейных алг6ебраических уравнений, а также дает возможность найти ее решение, если оно существует. При этом, однако, надо подчеркнуть, что процесс отыскания решений может быть связан с выполнением большого числа арифметических операций, в процессе которых может происходить накопление ошибок. В силу этого, разработка корректных способов вычислений и качественный, количественный анализ, допускаемых при этом погрешностей весь важен для практических приложений математики.

73

§9. Понятие о методе прогонки

При решении очень многих важных и разнообразных прикладных проблем приходится решать системы линейных алгебраических уравнений очень высокого порядка (они могут содержать сотни, тысячи и даже десятки тысяч уравнений). К счастью, многие из этих систем имеют специальную структуру, позволяющую создавать различные эффективные численные методы их решения. Ниже будет кратко рассмотрен один из таких методов, который представляет собой частный вариант метода исключения неизвестных и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений, имеющих «ленточную» структуру основной матрицы системы.

Матрицы типа (2.49) называют также ленточными, ибо совокупность элементов, отличных от нуля, расположена на главной диагонали, под диагональю и над диагональю и имеет визуально ленточный вид.

Рассмотрим теперь систему линейных алгебраических уравнений

74

относительно неизвестных x1, x2 ,..., xn . Остальные величины в (2.50) считаются известными. Основная матрица A данной системы является якобиевой матрицей и имеет размерность (n +1)×(n +1).

При больших n необходимо пользоваться экономичными методами решения систем (2.49), при реализации которых число необходимых действий было бы пропорционально числу неизвестных. Одним из таких методов является метод прогонки, к изложению которого и переходим. В этом методе используется идея метода исключения неизвестных. Итак, проведем исключение неизвестных в системе (2.50). Предварительно введем такие обозначения: α1 = b0 / c0 , β1 = f0 / c0 .

Перепишем теперь (2.50) в виде

Возьмем первые два уравнения (2.51) x0 −α0 x1 = β1, −ai x0 + c1x0 −b1x2 = f1 . Умножим первое уравнение на a1 и сложим со вторым уравнением. Получим

содержат. Поэтому на этом этапе первый шаг процесса исключения заканчивается. В результате получим новую «укороченную» систему

(фактически эта форма не изменилась, т.е. осталась инвариантной по отношению к действию исключения неизвестной x0 ).

Если система (2.52) будет решена, то неизвестное x0 найдется по формуле x1 =α1x1 + β1 . К системе (2.52) можно снова применить описанный способ

75