Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

Представление (2.27) называется разложением определителя по i -й строке. Формула (2.27) сводит вычисление определителя n -о порядка к отысканию

n определителей (n −1)-о порядка.

TЗамечание 2.8.T Вычисление ил упрощение определителя det A с помощью формулы (2.27) достигается в тех случаях, когда хотя бы часть элементов i -й строки определителя обращается в нуль.

TЗамечание 2.9.T С помощью свойства 9 (см. теорему 2.6) можно в любой

строке (или столбце) заменить нулями все элементы, кроме одного.

TЗамечание 2.10. TВозможно разложить любой определитель n -о порядка по

элементам j -о столбца (j =1,n)с помощью формулы

TТеорема 2.8.T Если A и B - квадратные матрицы одной и той же размерности, то будет справедливо равенство det(AB)= det A det B .

§ 3. Обратная матрица

Обратная матрица, теорема существования и единственности

существует единственная обратная матрица B = A−1 , которая дается выражения

56

Докажем только единственность. Пусть существуют две различные обратные матрицы

det(AA−1 )= det E = det Adet A−1 =1, при получении которых принята во внимание теорема 2.8.

§ 4. Формулы Крамера

Матричный способ решения систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Формулы Крамера.

57

заданные величины являются элементами множеств вещественных или комплексных чисел.

TОпределение 2.25. TСистема (2.30) называется совместной ил разрешимой,

если существует хотя бы один набор чисел x1,..., xn , для которого все уравнения

Получение решения системы (2.30) посредством формулы (2.33) называется матричным способом решения этой системы. Для отыскания всех элементов (компонент) вектора-столбца x надо найти матрицу A−1 . Однако решение (2.33) можно переписать в иной форме, которая позволяет находить любую компоненту x1,..., xn без отыскания всей обратной матрицы. Для вывода соответствующих формул запишем (6.5) в явной форме:

58

Если теперь воспользоваться правилами умножения матриц и умножения числа на матрицу, то несложно получить равенство

Из (2.35) с учетом определения равенства матриц и формулы разложения определителя по элементам столбца находим, что имеют место соотношения:

Формулы (2.37) называются Tформулами КрамераT (Г. Крамер; 1704 – 1752

г.г.; швейцар. матем.) Заметим, что Г. Крамером в 1750 г. было дано общее определение детерминанта (определителя). Следует подчеркнуть, что непосредственное использование матричного метода решения системы (2.30) и формул Крамера неудобно при достаточно больших n . Вследствие этого в линейной алгебре разработан целый ряд методов, позволяющих более эффективно решать системы линейных алгебраических уравнений. Надо еще обратить внимание на то, что с помощью формул Крамера можно находить при необходимости только отдельные компоненты вектора-столбца x , не отыскивая

xцеликом.

§5. Базис системы векторов

Линейно-координатное пространство Rn . Линейно зависимые и независимые системы векторов в Rn . Понятие о базисе системы векторов.

59

В данном пункте будет введен ряд важных понятий линейной алгебры, которые будут служить основой для введения такой важной математической структуры как линейное (векторное) пространство.

Пусть P - поле действительных или комплексных чисел. Рассмотрим множество Rn , элементами которого являются всевозможные упорядоченные набора из n чисел из P , т.е. все элементы, принадлежащие Rn , представляют собой n -и. Графически эти n -и можно записывать в виде векторов-строк или векторов-столбцов, которые являются соответственно матрицами размерности 1× n и n ×1. Будем пока для определенности записывать указанные n -и и только в виде векторов-строк и называть их векторами. Итак, рассмотрим множество всех n − k (векторов) вида x = (x1, x2 ,..., xn ), где все xi P для i =1,n (для краткости n -а обозначена символом x . На этом множестве введем внутреннюю бинарную алгебраическую операцию сложения любых двух n − k в соответствии со следующим правилом:

x + y = (x1, x2 ,..., xn )+ (y1, y2 ,..., yn )= (x1 + y1, x2 + y2 ,..., xn + yn )(y = (y1, y2 ,..., yn )).

элемент из Rn . Данная операция является частным случаем операции умножения числа на матрицу.

Введенное выше множество Rn обладает целым рядом свойств, которые имеют весьма общий характер. Множество Rn представляет собой пример важной математической структуры. Используя определения введенных выше операций и свойства чисел из поля P можно доказать, что справедлива

60

TТеорема 2.11.T Множество Rn с введенными операциями сложения элементов из Rn и умножения чисел из P на элементы из Rn характеризуются следующим набором свойств:

1.x + y = y + x для x, y Rn ;

5.α(βx)= (αβ )x для α, β P и x Rn ;

6.lx = x для x Rn (1 – единичный элемент поля P относительно

операции умножения чисел);

7.(α + β )x =αx + βx для α, β P и x Rn ;

8.α(x + y)=αx +αy для α P и x, y Rn .

обладает еще целым рядом полезных свойств, связанных с понятием размерности. Для разъяснения смысла этого понятия введем некоторые определения.

TОпределение 2.27.T Под системой векторов будем понимать некоторое непустое упорядоченное множество {a1,a2 ,...,as }, состоящее из векторов множества Rn . Эта система зачастую записывается просто в виде упорядоченного набора элементов (векторов) из Rn . Эта система зачастую записывается просто в виде упорядоченного набора элементов (векторов) из Rn , т.е. в виде a1,a2 ,...,as .

61

Рассмотрим ее всевозможные непустые упорядоченные линейно независимые подсистемы векторов. Выберем среди этих подсистем такие, которые содержат максимальное число векторов. Обозначим это число через r и будем называть рангом системы векторов a1,a2 ,...,as . При этом все векторы, входящие в какую-

либо линейно независимую подсистему, содержащую r векторов будем называть системой базисных векторов (или базисом) системы a1,a2 ,...,as .

пространством. Если рассмотрение ограничивается только изучением

62

Интересен вопрос о максимальном ранге возможных систем векторов, взятых из Rn . Во-первых, легко проверить справедливость следующего равенства

Для этого достаточно воспользоваться определением операций сложения векторов и умножения векторов на числа. Можно также строго доказать, что система векторов l1,l2 ,...,ln содержит максимальное число линейно независимых векторов из Rn .

Всилу теоремы 2.12. говорят, что пространство Rn n -мерно.

§6. Ранг матрицы, элементарные преобразования

Ранг матрицы и элементарные преобразования матрицы. Методы вычисления рангов матриц. Теорема о базисном миноре.

TОпределение 2.33.T Под рангом матрицы

63

TОпределение 2.34.T Выберем в прямоугольной матрице A размерности m × n произвольные k строк и k столбцов (k ≤ min(m,n)). Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k -го порядка, определитель которой называют минором k -го порядка матрицыA .

TТеорема 2.13. TЕсли все миноры k -го порядка матрицыA равны нулю, то равны нулю и все миноры высших порядков.

Верность теоремы следует из формул разложения определителя по элементам какой-либо строки или какой-либо строки или какого-либо столбца.

TТеорема 2.14.T (Теорема о ранге матрицы или теорема о базисном миноре).

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A равен рангу этой матрицы.

Теорема о базисном миноре указывает на один из методов практического вычисления ранга системы векторов из Rn . Для вычисления этого ранга надо составить матрицу, для которой векторы системы служат векторами-строками, и найти ранг данной матрицы. Для упрощения процедуры вычисления ранга матрицы можно поступить в соответствии со следующим правилом (методом) окаймляющих миноров:

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k -о порядка D , отличный от нуля, то требуется вычислить лишь миноры (k +1)-о порядка,

окаймляющие минор D . Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k . Если же среди миноров (k −1)-го порядка есть не равный нулю минор D , то процедуру следует продолжить, те. Начать вычисление всех миноров порядка (k + 2), которые окаймляют минор D1 . Если все они равны нулю, то ранг матрицы будет равен (k +1). Когда же хотя бы один из миноров (k + 2) порядка будет не равен нулю, то процедуру нужно повторить и т.д.

TТеорема 2.15.T Ранги исходной и транспонированной матриц совпадают.

64

Данная теорема указывает на то, что ранги систем вектор-строк и векторстолбцов матрицы равны друг другу.

TТеорема 2.16.T Определитель n -го порядка равен нулю тогда и только тогда, когда между его строками существует линейная зависимость, т.е. хотя бы одна строка линейно выражается через другие.

Для отыскания ранга матрицы удобен метод, который не связан с теоремой о ранге. При этом он не требует при своей реализации вычисления определителей. Однако в общем случае он применим только тогда, когда нам надо знать лишь ранг и не требуется найти сами строки (столбцы), которые составляют максимальную линейно независимую систему. Сами эти строки, столбцы называются UбазиснымиU. Изложим только суть этого метода.

TО

1P0P. Перемена мест двух строк или двух столбцов;

2P0P. Умножение строки (или столбца) на произвольное отличное от нуля число;

3P0P. прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

TТеорема 2.17.T Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Ранг матрицы не изменяется при удалении из нее нулевых векторовстрок и векторов-столбцов.

TОпределение 2.35.T Будем говорить, что матрица A размерности s × n имеет диагональную форму, если все ее элементы равны нулю, кроме элементов

a11,a22 ,...,arr (0 ≤ r ≤ min(s,n)), равных единице.

TЗамечание 2.14. TРанг матрицы, имеющей диагональную форму, равен r .

Верность замечания следует из теоремы о базисном миноре.

TТеорема 2.18.T Любую матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к диагональной форме.

65