Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

TЗамечание 1.19.T Множество (поле) комплексных чисел C является

математической структурой.

§ 10. Формы представления комплексных чисел

Различные формы представления комплексных чисел и их геометрическая интерпретация. Формула Муавра, Эйлера, извлечение корней их комплексных чисел.

Для лучшего понимания смысла комплексных чисел представляет интерес дать геометрическую интерпретацию поля комплексных чисел. Пусть дана

умножения и деления комплексных чисел. Поэтому необходимо еще дать геометрическую интерпретацию и этим операциям. Пусть даны две произвольные

имеет координаты (x5 , y5 )= (x1x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y2 ). Если точка P2 не совпадает с

36

плоскости полностью согласуются с операциями над комплексными числами. В этом нетрудно убедиться, если сравнить выписанные выше соотношения с формулами (1.9 – 1.12).

Покажем теперь, что множество C является расширением (доопределением) множества действительных чисел. Для этого надо доказать, что

Применение к этим точкам (элементам) равенств (1.9) и (1.10) приводит к соотношениям

(1.13)

(1.14)

т.е. точки (a,0),(b,0) складываются и перемножаются друг с другом так же, как и соответствующие действительные числа.

TЗамечание 1.20.T Множество всех точек, лежащих на оси абсцисс,

рассматриваемы как часть множества комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам ничем не отличается от множества действительных чисел, обычным образом изображенного точками прямой линии.

Из сказанного следует, что можно не различать точку (a,0) и действительное число a , т.е. всегда можно полагать a = (a,0). В частности, нуль (0,0) и единица

(1,0) в C оказываются обычными действительными числами 0 и 1.

В математике широко используется более компактная запись комплексных чисел по сравнению с приведенной выше.

TОпределение 1.69.T Элемент (0,1) C назовем Uмнимой единицейU i = (0,1). При этом i i = i2 = −1 .

37

Умножим теперь действительное число b = (b,0) на i = (0,1). Учитывая равенство (4.2) получим, что bi = (b,0) (0,1)= (0,b). Следовательно, число bi лежит на

оси ординат и имеет ординату b , причем все точки оси ординат представимы в виде таких произведений.

Пусть теперь - произвольная точка из C . Из равенства

(a,b)= (a,0)+ (0,b)= a + ib следует более компактная Uалгебраическая формаU записи

комплексного числа, т. е. z = a + ib .

TОпределение 1.70.T Число a называется действительной частью Re z = a R

комплексного числа z C . Соответственно число b = Im z R называется мнимой частью комплексного числа z C . Числа bi , где b R , называют чисто мнимыми.

TЗамечание 1.21.T Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда

осуществить над z1 и z2 операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Имеют место такие равенства:

сопоставляется точке, которая является концом вектора, полученного при сложении векторов, исходящих из начала координат и заканчивающихся в точках P1 и P2 , изображающих комплексные числа z1 и z2 . Несложно понять и смысл разности, если учесть как вычитаются векторы друг из друга.

38

Для того, чтобы дать геометрическую интерпретацию операций умножения и деления комплексных чисел необходимо ввести ряд новых понятий,

угол между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат в точку, которая сопоставляется z (знак arg z определяется так же, как и в тригонометрии). При этом arg z задается с точностью до 2kπ , где k - любое

Аналогичным образом получим

39

комплексных чисел z1 и z2 , можно получить, если вектор, сопоставляемый z1,

Результат же деления z1 на z2 можно получить из z2−1 посредством умножения этого комплексного числа на z1, геометрическая интерпретация которого была дана выше.

Описанные выше свойства операций над комплексными числами позволяют получить еще ряд важных формул. Используя формулу (1.21) и метод математической индукции, можно доказать, что имеет место формула Муавра

который сопоставляет комплексному число z C все то множество комплексных

40

чисел, n -е степени которых равны z . При этом операция, связанная с отысканием

1

функции ω = z n , называется извлечением корня n - ой степени из z .

Приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел в (1.26) придем к таким равенствам:

cosnψ = cosϕ,sin nψ = sinϕ . Эти соотношения будут выполняться тогда и только тогда, когда nψ =ϕ + 2kπ, где k Z . Итак имеет место

TЗамечание 1.23. TИзвлечение корня n - й степени из любого комплексного

числа всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n - й

где k {0,1,2,...,n −1},n ≥ 2 .

Пример 1.5. Найти все корни из единицы.

41

Единицу можно представить в виде 1 =1 + 0i =1(cos0 + isin 0), т.е. можно положить

1 =1 и arg1 = 0 . Тогда в соответствии с формулой (1.30) имеем

n1 = cos 2knπ + isin 2knπ ,k 0,1,2,...,n −1.

Вдальнейшем при изучении раздела «Числовые последовательности» будет введено понятие числа e

( e - основание натуральных логарифмов), которое является трансцендентным

Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного

42

РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

§1. Матрицы, их классификация и свойства

Ниже будут изложены только базовые понятия линейной алгебры, которая к настоящему времени является одним из наиболее разработанных разделов математики, результаты которого широко используется в приложениях. К тому же в этом разделе будет введен в рассмотрение ряд важных математических структур.

TОпределение 2.1. TПрямоугольную таблицу

где все aij - числа из поля вещественных или комплексных чисел (i =1, m, j =1, n );

будем называть матрицей размерности m × n =[m × n]. Если m = n , то матрица A

называется квадратной, а в противном случае – прямоугольной. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

В (2.1) первый индекс в aij обозначает номер строки, а второй индекс – номер столбца. Матрицы обычно обозначают прописными буквами какого-либо алфавита, а их элементы – строчными буквами.

TЗамечание 2.1.T Кроме символа […] для обозначения матриц используются так же пары круглых или квадратных скобок. Для краткости матрицы зачастую записывают в видах [aij ],(aij ), aij . Кроме того для матриц используют также обозначение (ai ).

TОпределение 2.2.T Две матрицы A и B называются равными, если их

размерности совпадают и aij = bij для i =1,m и j =1,n .

43

TОпределение 2.3.T Прямоугольная матрица, состоящая из одного столбца или одной строки, будем называть соответственно вектор-столбцом или векторстрокой.

TОпределение 2.4.T Квадратная матрица вида

называется диагональной. Если aii =1 для i =1,n , обозначается буквой E . При этом говорят, что в диагональных матрицах отличны от нуля только элементы, стоящие на Uглавной диагоналиU матрицы.

TОпределение 2.5.T Квадратная матрица A = (aij ) называется верхней

треугольной (нижней треугольной), если равны нулю все элементы, расположенные под главной диагональю (над главной диагональю).

TОпределение 2.6.T Матрица A называется комплексной, если среди ее элементов существует хотя бы один элемент, не принадлежащий R (т.е. множеству действительных чисел). Если же все элементы матрицы A вещественны, то A называется вещественной матрицей.

TОпределение 2.7.T Квадратная матрица называется симметричной, если равенство aij = a ji выполняется для i, j =1,n .

TОпределение 2.8T. Матрица A называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Классификация матриц, приведенная выше, является неполной и будет дополнена после введения операции над матрицами и понятия определителя.

Над матрицами можно производить ряд операций.

44

TОпределение 2.9.T Пусть A = (aij ) и B = (bij ) - матрицы размерности m × n .

Тогда под их суммой C = A + B понимают матрицу C = (cij ), которая имеет

размерность m × n и при этом для i =1,m и j =1,n верно равенство cij = aij + bij .

TТеорема 2.1.T Пусть A, B,C - произвольные матрицы размерности m × n .

Справедливость теоремы следует из свойств коммутативности и ассоциативности операции сложения чисел, а так же из определения операции сложения матриц.

TЗамечание 2.2. TМножество всех матриц одной размерности по отношению к

операции сложения матриц является абелевой группой.

TОпределение 2.10.T Произведением C = AB двух прямоугольных матриц

равен «произведению» i - ой строки матрицы A на j -ый столбец матрицы B , т.е.

45