Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

Тогда данный интеграл рационализуется с помощью подставки ax−n + b = ts , где S - знаменатель дроби р.

1

дифференциального бинома. Использовав подстановку 1+ x 4 = t 3 , получим x = (t3 −1)4 , dx = 4(t3 −1)3 3t2dt ,

336

§ 8. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок и формул тригонометрии

1. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок

Условимся через R(u, v) обозначать рациональную функцию относительно u и v , т.е. выражение, которое получено из любых величин u , v и действительных чисел с помощью четырех арифметических действий.

Рассмотрим интегралы вида

приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

t = tg 2x .

Этой подстановкой интеграл ∫R(sin x, cos x)dx преобразуется в интеграл от

рациональной функции переменной t , который всегда выражается в

x = 2arctgt, dt = 12+dtt 2 .

Подставляя в подынтегральное выражение (8.10) вместо sin x, cos x, dx их значения, выраженные через переменную t , имеем:

337

рационализируются подстановкой t = tgx , при этом используются формулы:

2) Если R(sin x, cos x) - нечетная функция относительно sin x , т.е.

R(− sin x,cos x)= −R(sin x,cos x), то интеграл (8.10) рационализируется с помощью

R(sin x,−cos x)= −R(sin x,cos x), то интегралы ∫R(sin x, cos x)dx рационализируется с помощью t = sin x .

338

Пример 8.28. Найти ∫cos5 xdx .

где t = sin x .

2. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью тригонометрических формул

a) Интегралы вида ∫sinm x cosn xdx; m, n Z, m ≥ 0, n ≥ 0 . Если хотя бы одно

из чисел m или n - нечетное положительное целое число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2 x + cos2 x =1 оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу. Либо, при нечетном n используют подстановку t = sin x , при

339

нечетном m - подстановку t = cos x . Если же m и n - четные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с

Пример 8.29. Вычислить ∫sin2 x cos3 xdx .

тангенса или котангенса. Либо эти интегралы вычисляются подстановками

неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

∫ctgn xdx = −∫1+tnt2 dt .

340

sin mxcos nx = 12 (sin (m − n)x + sin (m + n)x),

cos mxcos nx = 12 (cos(m − n)x + cos(m + n)x), sin mxsin nx = 12 (cos(m − n)x − cos(m + n)x).

Пример 8.31. Вычислить ∫tg5 xdx . Выполнив замену переменной, имеем:

=−161 cos8x + 14 cos 2x + С

§9. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

341

В § 1 – 8 рассматривались классы элементарных функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, или, что то же, классы интегрируемых в конечном виде функций. Известно, что всякая непрерывная на

[a;b] функция f (x) имеет первообразную, т.е. существует такая функция F (x),

что F′(x) = f (x). Однако не всякую первообразную F (x) можно выразить через

конечное число элементарных функций. Так при интегрировании

дифференциальных биномов было отмечено, что их

первообразные выражаются через элементарные функции (интегрируются в конечном виде) только в трех случаях: 1) p Z ; 2) mn+1 Z ; 3) mn+1 + p Z . Во

всех остальных случаях интеграл от дифференциального бинома не выражается через элементарные функции.

Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции:

∫e−x2 dx - интеграл Пуассона,

∫sinx x dx - интегральный синус,

∫cosx x dx - интегральный косинус,

∫lndxx - интегральный логарифм,

∫cos(x2 )dx, ∫sin (x2 )dx - интегралы Френеля,

Каждый из приведенных выше интегралов представляет собой функцию, не являющуюся элементарной.

342