Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2x2 − x + 3

A(x −1)(x + 2)+ Bx(x + 2)+ Cx(x −1)

x(x −1)(x + 2)

x(x −1)(x + 2)

Отбрасывая знаменатель, получаем равенство

2x2 − x + 3 = A(x −1)(x + 2)+ Bx(x + 2)+ Cx(x −1)

2x2 − x + 3 = (A + B + C)x2 + (A + 2B − C)x − 2A .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3534 35 > Следующая >>>

многочлена кратности l , комплексно-сопряженные числа u ±iν - S - кратными корнями. Тогда многочлен Qm (x) разложим на линейные и квадратные множители:

Qm (x)= (x −α )k (x − β )l (x2 + px + q)S ,

где k + l + 2S = m .

Справедлива следующая

TТеорема 8.4.T Правильную рациональную дробь

Pn (x)/ Qm (x), где Qm (x)= (x −α )k (x − β )l (x2 + px + q)S ,

можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

Pn (x)

+... +

+...

Qm (x)

−α)

(x −α)2

−α)k

(x − β )

(x − β )2

(8.9)

M1x + N1

M2 x + N2

M S x + NS

+... +

(x − β )l

x2 + px + q

(x2 + px + q)2

(x2 + px + q)S

где

A1, A2 ,..., Ak , B1, B2 ,..., Bl , M1, N1, M 2 , N2 ,..., M S , NS

некоторые действительные

числа, называемые коэффициентами разложения дроби на простейшие.

Согласно разложению (8.9.), линейным множителям знаменателя Qm (x)

соответствуют простейшие дроби I и II типов, а квадратным множителям

- III-го

и IVтипов. При этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю (линейному или квадратному), равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби.

Формула (8.9.) разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби остается справедливой для любого конечного числа линейных и квадратных множителей, входящих в разложение знаменателя Qm (x).

Проиллюстрируем формулу (8.9) конкретными примерами, не находя самих коэффициентов разложения.

	Пример 8.17.
1)	x2 − 3x +1	=	A	+	D	+	B
1)	(x −1)2 (x + 2)	=	(x −1)2	+	x −1	+	x + 2

326

Bx + C

Dx + E

(x3 −8)(x2 +1)=

(x − 2)(x2 + 2x + 4)(x2 +1)=

x − 2

x2 + 2x + 4

x2 +1

x6 − 2x3 +1

A B C

Ex + F Kx + N

x3 (x +1)(x2 +1)2

x +1

(x2 +1)2

x2 +1

2. Методы нахождения коэффициентов разложения рациональной функции на простейшие дроби

1) Метод неопределенных коэффициентов.

Пусть дано разложение правильной рациональной дроби Pn (x)/ Qm (x) по формуле (8.9) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Необходимо привести простейшие дроби к общему знаменателю Qm (x) и

приравнять многочлен, получившийся в числителе, многочлену Pn (x).

Для тождественного равенства двух многочленов необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях х этих многочленов были равны. Учитывая это, следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества. Получаем систему m линейных

алгебраических уравнений

для нахождения m

неизвестных

коэффициентов

A1 , A2 ,..., Ak , B1 , B2 ,..., Bl , M1 , N1 ,..., M S , N S .

Пример 8.18.

Функцию

f (x)=

2x2 − x + 3

разложить на

простейшие дроби.

x3 + x2 − 2x

Разложим знаменатель на множители: x3 + x2 − 2x = x(x −1)(x + 2), то

f (x)=

2x2 − x + 3

, по формуле (8.9) имеем:

x(x −1)(x + 2)

2x2 − x + 3

x(x −1)(x + 2)

x −1

x + 2

где A, B, C пока неизвестны.

Правую часть приведем к общему знаменателю. Тогда

327

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов A, B и C:

A + B +C = 2;

, B

, C =

A + 2B −C = −1; A = −

−2A = 3.

2x2 − x + 3

т.е.

= −

x(x −1)(x + 2)

3(x −1)

6(x + 2)

Пример 8.19. Разложить на простейшие дроби функцию

f (x)=

x4 + x2 + 2x +1

x4 (x +1)2

Запишем разложение рациональной дроби на простейшие дроби:

x4 + x2 + 2x +1

A B C

x4 (x +1)2

(x +1)2

x +1

где коэффициенты A, B, C, D, E, F подлежат определению.
	Приведя в правой части слагаемые к общему знаменателю, получим
	A(x +1)2 + Bx(x +1)2 + Cx2 (x +1)2 + Dx3 (x +1)2 + Ex4 + Fx4 (x +1)	=
	x4 (x +1)2

=(D + F )x5 + (C + 2D + E + F )x4 + (B + 2C + D)x3 + (A + 2B + C)x2 + (2A + B)x + A

x4 (x +1)2

Числитель этого выражения равен x4 + x2 + 2x +1. Отсюда приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему

328

D + F = 0

A =1

C + 2D + E + F =1

B = 0

B + 2C + D = 0

C = 0

A + 2B + C =1

= 0

2A + B = 2

E =1

A =1

= 0

Окончательно имеем:

4 + x2 + 2x +1

x4 (x +1)2

(x +1)2

2) Метод частных значений.

При нахождении неопределенных коэффициентов можно придать переменной x несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Наиболее удобно применять этот метод в случае, когда корни знаменателя рациональной дроби Pn (x) / Qm (x) просты и действительны. В таких случаях последовательно полагают x равным каждому из корней знаменателя.

Пример 8.20. Функцию		3x2 + x −1		разложить на простейшие дроби.
Пример 8.20. Функцию		(x −1)(x + 2)x		разложить на простейшие дроби.
		(x −1)(x + 2)x
		3x2 + x −1	=	A	+	B	+	C
	(x −1)(x + 2)x		=	x −1	+	x + 2	+	x
	(x −1)(x + 2)x			x −1		x + 2		x

Приводя к общему знаменателю дроби в правой части этого равенства и отбросив затем знаменатель, получим: 3x2 + x −1 = A(x + 2)x + B(x −1)x + C(x −1)(x + 2) .

Придавая	x	последовательно частные значения, равные корням знаменателя
x = 0, x =1,		x = −2, находим:

329

x = 0

−1 = −2C

A =1

x =1

3 =

B = −

x = −2

9 = −6B

Таким образом,

3x2 + x −1

−

(x −1)(x + 2)x

−1

2(x + 2)

Иногда для нахождения неопределенных коэффициентов применяют комбинацию указанных выше методов.

Сформулируем правило интегрирования рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

1) если рассматриваемая рациональная дробь Pk (x) / Qm (x) - неправильная (k ≥ m) ,

представить её в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

	Pk (x)	= R(x) +	Pn (x)	,
	Q (x)	= R(x) +	Q (x)	,
	Q (x)		Q (x)
	m		m
где n < m, R(x) - многочлен;

2) если рассматриваемая рациональная дробь Pn (x) / Qm (x) - правильная (n < m) ,

представить её в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (8.9); 3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.

Пример 8.21. Вычислить I = ∫				2x5 + 6x3 +1
					x4 +3x2		dx .
Выделим из подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на
знаменатель:	2x5 + 6x3 +1	= 2x +		1		.
	x4 +3x2		x4	+3x2

Разложим полученную в результате правильную дробь на элементарные слагаемые дроби:

x4 +3x2 = x2 (x2 +3),

330

тогда

+ Cx + D .

x2 (x2 +

x2 +3

Найдем коэффициенты А, B, C, D:

1 = Ax(x2 + 3) + B(x2 +3) + (Cx + D)x2 = ( A + C)x3 + (B + D)x2 + 3Ax + 3B

A + C = 0, A = 0,

B + D = 0,

B =1/ 3

3A = 0,

= 0

3B =1

D = −1/ 3

Следовательно,

−

x2 (x2 +3)

3x2

3(x2 +3)

Интегрируя, имеем

∫

2x5 + 6x3 +1

∫

2x +

dx =

−

dx =

+3x

3(x

∫

+3)

−2

2∫xdx +

3 ∫x

−

∫

−

arctg

+ C

x2 + 3

§ 7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Основным методом вычисления неопределенных интегралов от иррациональных функций является метод рационализации подынтегрального выражения, т.е. метод нахождения таких подстановок, которые приводят данный интеграл к интегралу от рациональной функции.

1) Интеграл вида	∫		ax +b m1 / n1	,...,	ax +b mr / nr		R - рациональная
		R x,				dx, где

			cx + d		xc + d

функция; m1, n1,..., mr , nr - целые ненулевые числа.

С помощью подстановки cxax++db = tλ , где λ - общий знаменатель дробей

m1 ,..., mr , или наименьшее общее кратное чисел n ,..., n		r	, указанный интеграл
n1	1
	nr

преобразуется в интеграл от рациональной функции переменной t0 .

331

Рассмотрим два частных случая.

а) Если c = 0, d =1, то данный интеграл имеет вид

∫R(x,(ax + b)m1 / n1 ,..,(ax + b)mr / nr )dx,

ипреобразуется в интеграл от рациональной функции с помощью подстановки

ax +b = tλ , где λ = K (n ,..., n ), K (n ,..., n ) - наименьшее общее кратное чисел

n1,..., nr .

б) Если

b = c = 0, a = d =1,

то

интеграл

имеет

вид

∫R(x, xm1 / n1 ,..., xmr / nr )dx и

приводится к интегралу от рациональной функции переменной

t с помощью

подстановки x = tλ , где λ = K (n ,..., n ).

Пример 8.22. Вычислить ∫

x + 3 x2

+ 6

dx .

x(1+

Интеграл ∫

x + x2 / 3 + x1/ 6

dx можно рассматривать как ∫R(x,

2 / 3

1/ 6

1/ 3

, x

)dx.

x(1 + x1/ 3 )

Общим знаменателем дробей

, 1

является число

λ = 6 .

Поэтому вводим замену

x = t6 , dx = 6t5dt и искомый интеграл приводим к виду

∫

+ t3 +1

dt =6

dt =

+ 6arctgt + C

∫

Т.к. t = 6 x, то окончательно имеем: ∫

x + 3

+ 6 x

dx =

3 3

+ 6arctg 6

x +C .

x(1+

2) Интегралы вида ∫R(x,

ax2 +bx + c)dx

а) Подстановки Эйлера.

Рационализация подынтегрального выражения достигается одной из трех подстановок Эйлера:

1.	если a > 0, то полагаем			ax2 +bx + c = ±x	a +t;
2.	если c > 0 , то полагаем			ax2 +bx + c = ±	c + xt;	xt ± c
3.	если x и x	2	- действительные корни трехчлена ax2 +bx + c, т.е.
	1	2

332

ax2 + bx + c = (x − x )(x − x ) , то в этом случае		ax2 +bx + c = t(x − x ) , где	x -
1	2	0	0

один из корней трехчлена.

Знаки в правой и второй подстановках можно брать в любой комбинации, но следует иметь в виду, что выбор знака (как и выбор самой подстановки) сильно влияет на сложность вычисления интеграла.

Пример 8.23. Вычислить ∫1−

2 + x +1 dx .

+ x +1

Положим

x2 + x +1 = xt +1 (c=1>0). Тогда x =

2t −1

;

dx = 2 t2 −t +1dt ;

1 −t2

(1 −t2 )2

+ x +1

1−t +t2

, интеграл сводиться к виду

∫−

2tdt

= ln

−t

+ C .

1−t2

1 −t2

Т.к. t =

x2 + x +1 −1

, то окончательно имеем

∫

− x2 + x +1

dx = ln

x2 + x +1

−1

+C .

1−

x x

+ x +1

Подстановки Эйлера связаны обычно с громоздкими вычислениями, поэтому они применяются в том случае, если интеграл вида ∫R(x, ax2 + bx + c )dx не удается

вычислить более простым способом.

б) Метод, основанный на применении тригонометрических подстановок. В квадратном трехчлене выделяют полный квадрат

	2			b
ax		+bx + c = a	x +
ax		+bx + c = a	x +
				2a
				2a

затем с помощью подстановки t = x + 2ba

интегралам одного из следующих трех типов:

2	−	b2 − 4ac
			2	,
		4a

приводят исходный интеграл к

∫R(t, k 2 −t2 )dt,

∫R(t, k 2 + t2 )dt, ∫R(t, t2 − k 2 )dt.

Эти интегралы с помощью следующих подстановок: для первого интеграла

333

t = k sin u	(или	t = k cosu ),	для второго интеграла:		t = k tgu , для	третьего
интеграла:	t = k / cosu, приводятся к интегралам от				рациональной	функции
относительно sin u , cosu , т.е. к интегралам вида				∫R(sin u,cosu)du, нахождение
которых будет описано в следующем параграфе.
Пример 8.24.		Вычислить ∫	a2 − x2 dx .
Применим подстановку x = asin t,			dx = acostdt, тогда	a2 − x2 = a cost
Таким образом
∫ a2 − x2 dx = a2 ∫cos2 tdt = a2 ∫(1+ cos 2t)dt = a2t + a2 sin 2t + C =
		2	2	4

=a2t + a2 sin t cost +C 2 2

Выразим t , sin t, cost,

через x : t = arcsin

sin t =

, cost =

a2 − x2

Окончательно имеем: ∫

a2 − x2 dx = a2

arcsin

− x2 +C.

2)Интеграл вида

, I

( Ax + B)dx

, I

∫ ax2 +b + c

∫

ax2 + bx + c

x ax2 + bx + c

Для вычисления интеграла I1

выделяется полный квадрат под знаком радикала:

+bx + c = a

x +

−

= a

x +

± k

a 4a

и применяется подстановка

x +

= t, dx = dt.

В результате этот интеграл сводится к табличному: I1 =

∫

t2 ± k2

В числителе интеграла

выделяется дифференциал выражения,

стоящего под

знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

334

( Ax + B)dx

(2ax + b) + B −

d(ax

+ bx + c) +

Ab I

B −

∫ ax2

+bx + c

∫

ax2 +bx + c

2a ∫ ax2 + bx + c

(ax2 +bx + c)−1/ 2 d(ax2 +bx + c) +

B −

Ab I

ax2 + bx + c +

B −

Ab I

2a ∫

где I1 - вычисленный выше интеграл. Вычисление интеграла I3 сводится к

вычислению интеграла I1 подстановкой: x =

dx = −

dt .

Пример 8.25. Вычислить ∫

(3x −1)dx

x + 2x + 2

Имеем интеграл вида I2 :

∫

(3x −1)dx

∫(3/ 2)(22

x + 2) − 4 dx = 3 ∫(x2

+ 2x + 2)−1/ 2d(x2 + 2x + 2) −

+ 2x + 2

x + 2x + 2

−4∫

d(x +1)

=3 x

2x + 2 − 4ln

(x +1) +

+ 2x + 2

+ C.

(x +1)

4) Интегралы от дифференциальных биномов.

Выражение

xm (a +bxn ) p

называется дифференциальным биномом. Здесь a и b-

постоянные,

m, n, и

p - рациональные числа. Ставится задача о вычислении

интеграла∫xm (a + bxn ) p dx .

Интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные

функции только в следующих трех случаях:

1) p Z, m =

, n =

Тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки x = tλ , где λ = K (s1, s2 ) - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n ;

335

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3534 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]