Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3533 34 35 > Следующая >>>

9)∫shudu = chu + C

10)∫chudu = shu +C

11)∫chdu2u = thu + C

12)∫ shdu2u = −cthu + C

13)∫a2 du− u2 = 21a ln aa +− uu + C

14)

∫

1 arctg u

+ C = − 1 arcctg u

+ C ,

(a ≠ 0)

+ a

15)

∫

u − a

+ C

( a ≠ 0 )

u + a

− a

16)

∫

du2

= ln u +

u 2 ± a2 + C

(

)

± a2

17)

∫

+ C

(

)

a2 −u 2

= arcsin a

= −arccos a

18)

∫

u2 + a2

du = u

+ a

2 + a2 ln u +

+ a2 + C

19)

∫

a2 − u2 du = u

a2 − u2

+ a2 arcsin u + C

Интегралы 1-17 называются табличными. Некоторые из формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей. Например, докажем формулу 14:

′

arctg

+ C

u2 + a2

Если первообразная F(x) функции f(x) является элементарной функцией, то говорят,

что интеграл ∫ f (x)dx выражается в элементарных функциях или f(x) интегрируема в конечном виде. Однако не всякий интеграл от элементарной функции выражается

316

в элементарных функциях.		Например, известно что				интегралы ∫e−x2 dx,
∫sin x2dx, ∫sin x dx,	∫cos x dx,	∫	dx	,	хотя и существуют,	но не выражаются в
			ln x
x	x

виде конечных комбинаций элементарных функций.

Используя основные правила интегрирования, можно находить интегралы от более сложных функций.

Пример 8.5.

−

− 2

dx = ∫

49x +

42∫x

2 dx + 9∫x

dx =

∫ 7 x

2 dx = 49∫xdx +

= 49 x2

+ 84

x −

+ C

Пример 8.6.

∫cos2 (5x

−1)dx = ∫

1 + cos(10x − 2)

dx =

∫dx +

∫cos(10x − 2)dx =

x +

sin(10x − 2) + C

При интегрировании

каждого

слагаемого

появляется

своя произвольная

постоянная, но в конечном итоге записывают только одну, так как сумма нескольких постоянных есть величина постоянная. Правильность полученного результата можно проверить дифференцированием.

§ 4. Основные методы интегрирования

а) Метод непосредственного интегрирования основан на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла.

Пример 8.7.

∫(cos x − shx + ex )dx = ∫cos xdx − ∫shxdx + ∫ex dx = sin x − chx + ex + C .

Пример 8.8.

317

2 x

∫ sin

+ cos

dx = ∫ sin

+ 2sin

cos

+ cos

dx = ∫(1

+ sin x)dx =

= ∫dx + ∫sin xdx = x − cos x + C
б) Метод замены переменной (или метод подстановки).
Пусть	требуется вычислить интеграл	∫ f (x)dx,	который не	является
табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле				∫ f (x)dx
			′
переменную x заменяют переменной t по формуле x =ϕ(t), откуда dx =ϕ (t)dt.
TТеорема 8.3.T Пусть функция x =ϕ(t)		определена и дифференцируема
на некотором	множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на
котором определена функция f(x). Тогда если на множестве			Х функция	f(x) имеет
первообразную, то на множестве Т справедлива формула
	′			(8.2)
	∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt.			(8.2)

Формула (8.2) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Доказательство. Формула (8.2) справедлива, если после дифференцирования обеих ее частей получаются одинаковые выражения. Учитывая, что f (x)= f (ϕ(t)) - сложная функция,

имеем:

d(∫ f (x)dx) = f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ′(t)dt

Продифференцировав правую часть формулы (8.2), получим

d(∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt) = f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.

Таким образом, формула (8.2) справедлива.

Пример 8.9.

2 − t

∫sin(2 − 3x)dx = 2

− 3x = t, x =

, dx = −

= ∫sin t

−

= −

∫sin tdt =

cost + C =

cos(2 − 3x) + C.

в) Метод «подведения» подынтегральной функции под знак дифференциала.

318

′

= d (ϕ(x)) .

Переход от

По определению дифференциала функции ϕ

(x)dx

′

левой части этого равенства к правой называют «подведением» множителя ϕ

(x)

под знак дифференциала.

′

Пусть требуется найти интеграл вида: ∫ f (ϕ(x))ϕ (x)dx .

′

под знак дифференциала, а затем

Внесем в этом интеграле множитель ϕ (x)

выполним подстановку ϕ(x) = u :

′

∫ f (ϕ(x))ϕ (x)dx = ∫ f (ϕ(x))d(ϕ(x)) = ∫ f (u)du.

Пример 8.10.

) = [1

= u]=

∫

1 + x

xdx

d(1 + x

∫(1

+ x

) 2 d

(1 + x

+ x

∫u 2 du =

= xdx =

) =

+ C =

(1 + x

)

+ C.

Пример 8.11.

∫tgxdx = ∫

sin x

dx = −∫

d(cos x)

[u = cos x]= −∫

= −ln

+C = −ln

cos x

cos(x)

г) Метод интегрирования по частям.

Пусть u = u(x) и v = v(x) – непрерывно-дифференцируемые функции на некотором интервале. Формула дифференциала произведения двух функций имеет вид:

d (uv)= udv + vdu .

Интегрируя обе части этого равенства, получаем ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu . Так как
∫d(uv) = uv + C, то
	∫udv = uv − ∫vdu .	(8.3)
Соотношение (8.3)	называют формулой интегрирования по частям.

Типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям:

I. Интегралы вида ∫Pn (x)ekxdx, ∫Pn (x)sin kxdx, ∫Pn (x)cos kxdx, где Pn (x) -

многочлен степени n, k – некоторое число. Для нахождения этих интегралов по

319

формуле (8.3) необходимо положить u = Pn (x), dv равно оставшейся части подынтегрального выражения и применить формулу (8.3) n раз.

II. Интегралы вида ∫Pn (x)ln xdx, ∫Pn (x)arcsin xdx, ∫Pn(x)arccos xdx,

∫Pn(x)arctgxdx , ∫Pn (x)arcctgxdx, где Pn (x) - многочлен степени n относительно x.

Эти интегралы можно найти по формуле (8.3), принимая за u функции lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

III. Интегралы вида ∫eax cosbxdx, ∫eax sin bxdx (где a, b – числа) вычисляются

двукратным интегрированием по частям . Так как интегрирование по частям иногда приводит к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему, то интеграл находится из получающегося относительно исходного интеграла уравнения.

Пример 8.12.

u = x, dv = sin xdx = −d cos x

= −xcos x + ∫cos xdx = −xcos x + sin x + C

∫xsin xdx =

∫

du = dx, v = −

d cos x = −cos x

Пример 8.13.

= ax

+ bx + c,

∫(ax

+ bx + c)cosαxdx =

du = (2ax + b)dx,

ax2 + bx + c

sin

αx −

dv = cosαxdx,

sin

α x

u = 2ax + b,

du = 2adx

ax2

+ bx + c

−

∫(2ax + b)sinαx =

sin

αx +

dv = sinαxdx, v = −α cosαx

2ax + b

∫cosαxdx =

ax2 + bx + c

2ax + b

cosαx −

sinαx +

cosαx −

sinαx + C

Пример 8.14.

= e

du = ae

dx,

eax sin bx

J= ∫e

∫e

cosbxdx =

−

sin bxdx =

dv = cosbxdx, v =

sin bx

320

, du = ae

dx,

eax sin bx

u = e

cosbx

∫e

cosbxdx.

−

dv = sin bxdx, v = −

cosbx

Получаем уравнение:

J= e

ax bsin bx + acosbx

−

J; откуда

J= ∫e

cosbxdx =

bsin bx + a cosbx

+ C.

+ b

Пример 8.15.

sin ln x

J = ∫cos(ln x)dx = u = cosln x,

du = −

dx,

= xcosln x + ∫sin ln xdx =

v = x

dv = dx,

cosln x

= u = sin ln x, du =

dx,

= xcos ln x + xsin ln x − J .

dv = dx, v = x

Откуда

J = ∫cosln xdx =

(cos ln x + sin ln x) + C .

§ 5. Интегрирование рациональных функций.

Класс функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных

функциях, образуют рациональные функции.

R(x) =

Pn (x)

(8.4)

Qm (x)

где P (x) = a

xn + a xn−1 + ... + a

n−1

x + a

( a

≠ 0) ,

(x) = b xm + b xm−1 + ... + b

x + b

≠ 0)

m−1

- многочлены степеней n и m соответственно. Рациональные функции называются рациональными дробями. Если n < m, то дробь (8.4) называется правильной, в противном случае неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):

321


			Pn (x)	= Sk (x) +		Rl (x)		,	(8.5)
			Qm (x)	= Sk (x) +		Qm (x)		,	(8.5)
			Qm (x)			Qm (x)
где	Sk (x) −	целая часть дроби			Pn (x)		,	Rl (x) −остаток	этой дроби,
где	Sk (x) −	целая часть дроби			Qm (x)		,	Rl (x) −остаток	этой дроби,
					Qm (x)

( Rl (x) −многочлен степени l < m).

Пример 8.16.

x4 − x3 +1	= x2	− 2x +	4x +1	,
x2 + x + 2			x2 + x + 2

здесь при делении многочлена 4-ой степени на многочлен 2-ой степени целая часть от деления –

( x2 − 2x), остаток от деления – (4x +1).

Согласно соотношению (8.5), интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена Sk (x), что не представляет труда, и правильной рациональной дроби Rl (x) / Qm (x) .

Будем считать, что дробь R(x) =	Pn (x)	−правильная. Простейшей дробью
	Qm (x)

называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

;

II.

k ≥ 2 ;

x − a

− a)k

III.

Mx + N

;

IV.

Mx + N

k ≥ 2

, где

x2 + px + q

(x2 + px + q)k

А, М, N, a, p, q – постоянные; k – целое положительное число;

трехчлен не имеет действительных корней, т. е. дискриминант D = p2 − 4q < 0 .

Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

∫

dx = A∫d (x − a)

= Aln

x − a

+ C;

x − a

II.

∫

Adx

= A∫(x − a)−k d(x − a) =

+ C.

− k

(x − a)

k−1

(x − a)

322

Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов.

(Mx + N )dx

d (x2 + px + q)

= (2x + p)dx

d (x

+ px

+ q)

III. ∫

∫

+ px + q

+ N =

(2x + p) + N −

−

∫

ln(x

+ px + q) + N

−

∫

x2 + px + q

p 2

+ q −

M ln(x2 + px + q)

+ N −

arctg

2x + p

+ C.

−

4q − p2

Для

интегрирования простейшей

дроби

четвертого

типа

преобразуем

трехчлен

+ px + q = x +

+ q −

Сделаем

замену

переменной,

положив

x +

= t,

q −

= a2 > 0 :

x2 + px + q = t 2 + a2 ;

dx = dt. Тогда

(Mx

+ N)dx

M x +

+ N −

tdt

IV. ∫

= ∫

dx = M ∫

)

(x + px + q)

+ a

q −

N −

=MJ

−

∫(t 2 + a2 )k

Вычислим интеграл

J0 :

J0 =

∫

tdt

∫

(t 2

+ a2 )−k d(t 2 + a2 ) =

+ C.

(t 2 + a2 )k

2(1

− k)

(t 2 + a2 )k−1

Вычислим интеграл

1 (t 2 + a2 ) − t 2

t 2 dt

Jk = ∫

k =

2 ∫

dt =

∫

−1 − ∫

+ a

)

+ a

)

+ a

)

+ a

)

323

Заметим, что

= J k −1. Будем иметь:

∫(t 2 + a2 )k −1

t 2dt

−1 − ∫

(8.6)

Jk =

2 Jk

+ a

)

Для

вычисления

интеграла

∫

t 2 dt

применим

метод

интегрирования по

+ a

)

частям:

t 2dt

u = t,

du = dt

∫

tdt

−

k−1

+ a

)

dv =

v =

2(1 − k)(t

− a

)

(t 2

+ a2 )k

2(1 − k)(t 2 + a2 )k −1

−

∫

−

Jk−1.

2(1 − k)

(t 2 + a2 )k−1

2(1 − k)(t 2

− a2 )k−1

2(1 − k)

Подставляя найденное выражение в формулу (8.6), имеем

2k −

(8.7)

Jk−1 −

2k −

2(1 − k)(t

+ a

)

k −1 .

Формула (8.7) называется рекуррентной. Зная табличный интеграл

1 arctg

+ C,

по

формуле

(8.7)

можно

найти

интеграл

∫t 2 + a2

J 2

т.д.

∫(t 2 + a

2 )2

= ∫

∫

arctg

+ C.

+ a

)

+ a

2(t

+ a

)

) 2a

Таким образом, получены формулы для интегрирования всех типов простейших дробей.

§ 6. Интегрирование рациональных дробей

1. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

324

Qm (x)= 0 b0 xm + b1xm−1 +... + bm = 0

Любую правильную рациональную дробь

Pn (x) можно представить в виде

Qm (x)

суммы конечного числа простейших рациональных дробей I – IV типов.

Необходимо разложить знаменатель дроби Qm (x) на линейные и квадратные множители, т.е. решить уравнение:

(8.8)

Предположим, что уравнение (8.8.) решено и найдены его корни. Согласно основной теореме алгебры, уравнение Qm (x)= 0 имеет ровно m корней с учётом их кратности. Корни уравнения (8.8.) могут быть действительными (простыми или кратными) и комплексными (простыми или кратными). При разложении многочлена Qm (x)на линейные и квадратные множители необходимо учитывать:

1)если α является простым корнем многочлена Qm (x) (Qm (α)= 0), то Qm (x)

	делится на (x −α) без остатка, т.е.	Qm (x)= (x −α)Qm−1 (x);
2)	если α является корнем кратности	k многочлена Qm (x), то Qm (x) делится
	на (x −α)k без остатка, т.е. Qm (x)= (x −α)k Qm−k (x);
3)	если комплексное число z =u +iν является корнем многочлена Qm (x), то его

корнем является также комплексно-сопряжённое число z =u −iv. В этом случае многочлен делится без остатка на

(x − z)(x − z)= (x −u −iν )(x −u + iν )= x2 + px + q ,

где p = −2u, q = u2 +ν 2 ; p2 / 4 − q < 0 , т.е.	Qm (x)= (x2 + px + q)Qm−2 (x);
4) если комплексно-сопряженные числа	u ±iν являются корнями многочлена

Qm (x) кратности k , то многочлен Qm (x) можно представить в виде произведения

Qm (x)= (x2 + px + q)k Qm−2k (x).

Пусть для определенности число α является действительным корнем многочлена Qm (x) кратности k , число β - действительным корнем этого

325

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3533 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]