Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

Обозначим

Тогда

3.если ∆ = 0 , то экстремум в точке (x0 , y0 ) может быть, может не быть.

Необходимы дополнительные исследования.

Найдем частные производные второго порядка данной функции:

306

В точке M 2 (6,3) имеем:

A = z′′xx (M2 ) = 6 3 − 6 6 =18 −36 = −18 ,

B = z′xy′ (M2 ) = 6 6 = 36 ,

C = z′yy′ (M 2 ) = −12 9 = −108 ,

отсюда

AC − B2 = (−18)(−108) −362 = 648 ,

т.е. ∆ > 0 . Так как A < 0 , то в точке M 2 функция имеет локальный максимум;

3. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция z = f (x, y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего M и наименьшего m значений (глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции z = f (x, y) , дифференцируемой в области D, состоит в следующем:

1.Найти все критические точки функции D и вычислить значения функции в них.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) на

границах области.

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее M и наименьшее m.

307

Значения функции

z (0) = 0, z (4) = 4 43 − 24 42 = −128; E2 (4,2), A(0,6).

Сравнивая полученные результаты, имеем:

M = 14 = z (1; 12)= z (P0 ) m = −128 = z (4,2)= z (E2 ).

309

РАЗДЕЛ 8. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

§1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции, т.е. по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F′(x) = f (x) или dF (x) = F′(x)dx = f (x)dx . Интегральное исчисление имеет многочисленные

приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.

310

Пример 8.3. Если f (x) = e5 x , то первообразной для этой функции является не только

F (x) = 15 e5x , но также и множество функций 15 e5x + C , где С – произвольно выбранная постоянная.

постоянным слагаемым, т.е. F2 (x)= F1 (x)+ C , где С - постоянная, x (a,b).

Действительно, пусть хB0B – некоторая фиксированная точка из (а,b). Тогда для любой точки x (a,b) в силу теоремы Лагранжа справедливо равенство Ф(x)−Ф(x0 )=Ф′(C )(x − x0 ),

функция имеет на интервале (а,b) производную, тождественно равную нулю, то она постоянна на (а,b).

TОпределение 8.2. TСовокупность всех первообразных F (x)+ C для функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от f(x) и

обозначается символом ∫ f (x)dx , при этом знак ∫ называется знаком неопределенного интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменная интегрирования.

Если F(х) – одна из первообразных для функции f(х) на (a,b), то в силу теоремы 2 и определения неопределенного интеграла верно равенство

311

где С – некоторая постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная – подынтегральной функции.

Исходя из примера 1, имеем:

∫(−2sin(2x −8))dx = cos(2x −8) + C .

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции f(x) называется интегрированием функции f(x).

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой однопараметрическое семейство кривых y = F (x)+ C (С – параметр),

обладающих следующим свойством: все касательные к кривым в точках с абсциссой х = хB0B параллельны между собой:

(F(x) + C)' x=x0 = F′(x0 )= f (x0 )

Кривые семейства {F(x)+C } называются интегральными кривыми. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси ОY.

§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла

312

первообразными функций f1 (x)± f2 (x). Следовательно,

∫ f1 (x)dx ±∫ f2 (x)dx = (F(x)+ C1 )±(Ф(x)+ C2 )= (F(x)±Ф(x))+ (C1 ± C2 )=

=(F(x)±Ф(x))+ С = ∫(f1 (x)± f2 (x))dx

5.Если F(x) - первообразная функции f(x), то

∫ f (ax + b)dx = 1a F(ax + b)+ C .

Доказательство:

6. Инвариантность формул интегрирования: любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

∫ f (x)dx = F (x)+ C ∫ f (u)du = F (u)+ C ,

где u - дифференцируемая функция .

Доказательство. Воспользуемся свойством инвариантности формы дифференциала первого порядка : если dF (x)= F′(x)dx dF (u)= F′(u)du , где u = u(x). Пусть

∫ f (x)dx = F (x)+ C F′(x)= f (x).

Докажем, что ∫ f (u)du = F (u)+ C . Для этого найдем дифференциал от левой и правой частей последнего равенства :

Из равенств этих дифференциалов следует справедливость свойства 6.

314

§ 3. Основные правила интегрирования функций

1)(∫ f (u)du)′ = f (u).

2)d (∫ f (u)du)= f (u)du .

3)∫dF (u)= F (u)+ C .

4)∫af (u)du = a∫ f (u)du .

5)∫( f1 (u)± f2 (u)±... ± fn (u))du = ∫ f1 (u)du ±∫ f2 (u)du ±... ± ∫ fn (u)du .

6)∫ f (au + b)du = 1a F (au + b)+ C .

Таблица основных неопределенных интегралов

(Заметим, что буква u может здесь обозначать как независимую переменную u = x, так и функцию от независимой переменной u = u(x)).

3)∫eu du = eu + C

4)∫duu = ln u + C

5)∫sinudu = −cosu + C

6)∫cosudu = sin u + C

7)∫cosdu2 u = tgu + C

8)∫sindu2 u = −сtgu + C

315