Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3531 32 33 34 35 > Следующая >>>

dz ,

dx ,

dy соответствующими частными производными

∂z

∂x

∂y

. Получаем

∂u

формулу

∂z

∂x

+ ∂z

∂y .

(7.3)

∂u

∂x

∂y

∂u

Теперь зафиксируем

и заменим

dz ,

dy соответствующими частными

производными ∂z ,

∂x ,

∂y

, получим формулу

∂v

∂z = ∂z

∂x +

∂z

∂y .

(7.4)

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой

функции (z) по ее промежуточным

переменным

(х и y) на их частные

производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Пример 7.10. Найти

∂z

если

z = ln (x2 + y2 ),

x = uv, y = u .

∂u

∂v

Решение.

Найдем

∂z

по формуле

∂z

∂x

∂z

∂y

. Получим

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

2 y

xv +

uvv +

∂u

x2 + y2

+ y2

x2 + y

u 2

(uv)

2v2

uv +

+1)

По формуле

∂z =

∂z

∂x

+ ∂z

∂y

найдем

∂z ,

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

2 y

∂v =

−

x −

uv −

u2v2 +

2v2

v4 −1

2(v4

−1)

+1)

v(v

+1)

296

7.Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правило дифференцирования сложной функции, покажем, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности, то есть сохраняет свой вид независимо от того, является ли х и у независимыми переменными или являются функциями других независимых переменных.

Пусть z = f (x, y) , где х и у – независимые переменные. Тогда полный дифференциал функции имеет вид

dz =

∂z dx + ∂z dy .

∂x

∂y

Пусть

теперь

z = f (x, y) ,

где

x = x(u,v),

y = y(u,v),

т.е

функция

z = f (x(u,v); y(u,v))= F(u,v)

сложная ,

где

u и

v – независимые переменные .

Тогда

∂F

∂z

∂x

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

∂y

dz =

du +

dv =

du +

dv =

∂u

∂v

∂u

∂v

∂x

∂u ∂y ∂u

∂x

∂v

∂y ∂v

∂z

∂x

∂z ∂y

∂y

du +

dv +

du +

dv .

∂u

∂v

∂x

∂y ∂u

Так как x = x(u,v),

y = y(u,v),

то

dx =

∂x

du + ∂x dv,

dy =

∂y du + ∂y dv .

∂u

∂v

∂u

∂v

Следовательно, и в этом случае,

dz =

∂z dx + ∂z dy .

∂x

∂y

8. Дифференцирование неявной функции

TОпределение 7.20. TФункция z = f (x, y) называется неявной, если она задана уравнением F(x, y, z) = 0 .

297

TТеорема 7.5.T Существование неявной функции двух переменных: если

функция

F(x, y, z) и ее производные Fx′(x, y, z), Fy′(x, y, z),

Fz′(x, y, z)

определены и

непрерывны

некоторой

окрестности

точки

M0 (x0 , y0 , z0 ),

причем

F (x0 , y0 , z0 )= 0 ,

а Fz′(x0 , y0 , z0 )≠ 0 ,

то

существует

окрестность

точки

M0 B, Bв

которой уравнение F(x, y, z) = 0

определяет единственную функцию z = f (x, y) ,

непрерывную и дифференцируемую в окрестности точи (x0 , y0 )

и такую, что

f (x0 , y0 ) = z0 .B

Найдем частные производные

∂z

∂z неявной функции z, заданной

∂x

∂y

уравнением

F(x, y, z) = 0 , для этого, подставив в уравнение вместо z функцию

f (x, y) , получим тождество

F(x, y, f (x, y)) = 0 .

Следовательно,

полный

дифференциал функции F(x, y, z) , где

z = f (x, y) равен нулю. То есть

dF =

∂F

dx +

∂F

dy +

∂F

dz = 0 , отсюда

∂x

∂y

∂z

−

∂F

∂y

dz =

∂x

dx −

dy .

∂F

∂z

Сравнивая полученные выражения с

dz =

∂z dx + ∂z dy , получаем

∂x

∂y

∂z

∂F

∂z

∂F

= −

∂x

= −

∂y

(7.5)

∂x

∂F

∂y

∂F

∂z

Частный случай. Неявная функция одной переменной y = f (x)

задается

уравнением F(x, y) = 0 . В этом случае

dF =

∂F

dx +

∂F

dy = 0 , получаем

∂x

∂y

298

∂y = −

∂F

∂x

(7.6)

∂x

∂F

∂y

Пример

7.11.

Найти

частные

производные

функции z,

заданной

уравнением

ez + z2 − x2 y +1 = 0 .

Решение.

Здесь

F (x, y, z)= ez + z3 − x2 y +1 = 0 ,

Fx′ = −2xy , Fy′ = −x2 ,

Fz′ = ez + 3z2 .

Тогда

∂z

= − Fx′

= −

− 2xy

2xy

∂x

Fz′

ez + 3z2

∂z

= −

Fy′

= −

− x2

∂y

Fz′

ez + 3z2

Пример 7.12.

Найти

dy , если

неявная

функция y = f (x) задана

уравнением

y3 + 2 y = 2x .

Решение. Здесь F (x, y)= y3 + 2 y − 2x , Fx′ = −2 , Fy′ = 3y2 + 2 . Следовательно,

= −

Fx′

= −

− 2

Fy′

3y2 + 2 3y2 + 2

§3. Касательная плоскость и нормаль к поверхность

Пусть функция		z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 )
некоторой области	D R2 . Рассечем поверхность S, изображающую функцию z,
плоскостями x = x0 ,	y = y0	( см. рис. 7.4).

299

z		lB2
		lB2
lB1	S	zB0B(x)
zB0B(y		МB0 α
		МB0 α
0		yB0	y
0			y
хB0
x		(хB0B,yB0B)

Рис. 7.4

Плоскость x = x0 пересекает поверхность S по некоторой линии z0 (y),

уравнение которой получается подстановкой в выражение z = f (x, y) вместо х


числа x0 . Точка M0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 ))		принадлежит кривой			z0 (y). В	силу
дифференцируемости функции z в точке МB0B функция				z0 (y) также является
дифференцируемой в	точке y = y0 . Следовательно,		в этой точке в плоскости
x = x0 B Bк кривой z0 (y) может быть проведена касательная l1 .
Рассечем поверхность S теперь		плоскостью	y = y0 .B		BПлоскость	y = y0 B
Bпересекает поверхность S по некоторой линии			z0 (x), уравнение которой
получается подстановкой в выражение		z = f (x, y)	вместо у		числа y0 .	Точка
M0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) принадлежит кривой z0 (x). В			силу дифференцируемости
функции z в точке M0	функция z0 (x) также является дифференцируемой в точке
x = x0 B. BСледовательно,	в этой точке в плоскости y = y0 B			Bк кривой z0 (x)		может

быть проведена касательная l2 . Прямые l1 и l2 определяют плоскость α , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке M0 .

300

Составим ее уравнение. Так как плоскость α проходит через точку

M0 (x0 , y0 , z0 ), то ее уравнение может быть записано в виде

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C (z − z0 ) = 0 .

Преобразуем это уравнение

z − z0	= −	A	(x − x0 ) −	B	( y − y0 )	или
		C		C

z − z

= A (x − x

) + B ( y − y

) ,

где

A = −

B = −

Найдем AB1B, BB1B.B

Уравнения касательных

и l2 B Bимеют вид

(l1 )

z − z0 = f y′(x0 , y0 )( y − y0 ), x = x0

(l2 )

z − z0 = fx′(x0 , y0 )(x − x0 ), y = y0 .

Касательная l1 лежит в плоскости α , следовательно, координаты всех точек

удовлетворяют

уравнению

z − z0 = A1 (x − x0 ) + B1 ( y − y0 ) .

Этот факт можно

записать в виде системы

z − z0 = f y′(x0 , y0 )( y − y0 )

x = x0

− z

= A

(x − x

) + B ( y − y

Разрешая эту систему относительно ВB1B, получим

z − z0 = f y′(x0 , y

0 )( y −y0 )

B1 ( y − y0 ) = f y′(x0 , y0 )( y − y0 )

x =x0

B1 = f y′(x0 , y0 )

z −z0 =B1( y − y0 )

Касательная l2

лежит в плоскости α, следовательно, координаты всех точек

удовлетворяют уравнению

z − z0 = A1 (x − x0 ) + B1 ( y − y0 ) .

Этот факт можно

записать в виде системы

z − z0 = fx′(x0 , y0 )(x −x0 )

y =y0

z −z

(x −x

)

( y − y

)

301

Разрешая эту систему относительно A1 , получим:
z − z0 = fx′(x0 , y0 )(x					−x0 )	A1 (x − x0 ) = fx′(x0	, y0 )(x − x0 )
						A1 (x − x0 ) = fx′(x0	, y0 )(x − x0 )
y =y0						A1 = fx′(x0 , y0 )
z −z	0	=A (x −x	0	)		A1 = fx′(x0 , y0 )
	0	1	0
	Подставив значения					A1 и B1 в уравнение z − z0	= A1 (x − x0 ) + B1 ( y − y0 ) ,
получаем искомое уравнение касательной плоскости
			z − z0		= f x′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) .			(7.7)
	TОпределение				7.21.T	Прямая, проходящая через точку		M0 и

перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.

Запишем уравнение нормали.

Если

прямая

L :

x − x0

y − y0

z − z0

перпендикулярна

плоскости

β : A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 , то имеет место равенство

. В

нашем

случае

прямая

L :

x − x0

y − y0

z − z0

плоскость

β : fx′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) − (z − z0 ) = 0 .

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, получим уравнение нормали

x − x0

y − y0

z − z0

(7.8)

fx′(x0 , y0 )

f y′(x0 , y0 )

−1

Если поверхность S задана уравнением F (x, y, z) = 0 , то

fx′(x0

F′(x

, y

)

f y′(x0 , y0 )

Fy′(x0

, y0 )

, y0 ) = −

= −

и получим:

Fz′(x0 , y0 )

Fz′(x0

, y0 )

уравнение касательной плоскости

F′(x

, y

)

Fy′(x0 , y0 )

−

(x − x0 ) −

( y − y0 ) − (z − z0 ) = 0 ,

или

Fz′(x0 , y0 )

302

Fx′(x0 , y0 )(x − x0 ) + Fy′(x0 , y0 )( y − y0 ) + Fz′(x0 , y0 )(z

Уравнение нормали

x − x0

y − y0

z − z0

−

Fx′(x0 , y0 )

−

Fy′(x0 , y0 )

−1

Fz′(x0 , y0 )

F′(x

, y

)

x − x0

y − y0

z − z0

Fx′(x0 , y0 )

Fy′(x0 , y0 )

Fz′(x0 , y0 )

− z0 ) = 0

или

(7.9)

(7.10)

Пример 7.13. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к параболоиду

вращения z = x2 + y2

в точке

M0 (1, −1,2).

Решение. Здесь z′x = fx′(x, y)= 2x ,

z′y = f y′(x, y)= 2 y , f x′(1,−1)= 2 ,

f y′(1,−1)= −2 . По формулам: касательная плоскость

fx′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) − (z − z0 ) = 0 ,

получаем уравнение

2(x −1)− 2(y +1)−(z − 2)= 0 или

2x − 2 y − z − 2 = 0 касательной плоскости;

нормали

x − x0

y − y0

z − z0

fx′(x0 , y0 )

f y′(x0 , y0 )

−1

получаем уравнение

x −1

y +1

z − 2

нормали.

− 2

−1

§4. Экстремум функции двух переменных

1. Основные понятия

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой области D, точка

N (x0 , y0 ) D .

TОпределение 7.22. TТочка (x0 , y0 ) называется точкой максимума функции z = f (x, y) , если существует такая окрестность точки (x0 , y0 ), что для каждой

303

точки (x, y), отличной от (x0 , y0 ), из этой окрестности выполняется неравенство f (x, y) < f (x0 , y0 ).

TОпределение 7.23. TТочка (x1, y1 ) называется точкой минимума функции

z = f (x, y) если существует такая окрестность точки (x1, y1 ), что	для каждой
точки (x, y), отличной от (x1, y1 ), из этой окрестности выполняется	неравенство
f (x, y)< f (x1, y1 ).

z f (x0 , y0 )

f (x0 , y0 )

f (x, y)

f (x1, y1 )

		0
		y
		(x0 , y0 )
	x	(x1, y1 )
	x	Рис. 7.5
		Рис. 7.5

TОпределение 7.24. TМаксимум и минимум функции называют экстремумами функции. В силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный)

характер, так как значение функции в точках (x0 , y0 ) и (x1, y1 ) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (x0 , y0 ) и (x1, y1 ). В области D

функция z = f (x, y) может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

304

2. Необходимые и достаточные условия экстремума

TТеорема 7.6.T (Необходимые условия экстремума).						Если	в точке
N (x0 , y0 ) дифференцируемая функция z = f (x, y)				имеет экстремум, то ее частные
производные в этой точке равны нулю:			fx′ = (x0 , y0 )= 0,		f y′ = (x0 , y0 )= 0 .
Доказательство.	Зафиксируем	у,	положим	y = y0 .	Тогда	получим	функцию
f (x, y0 ) =ϕ(x) одной переменной,		которая имеет		экстремум при		x = x0 . Тогда из
необходимого условия	экстремума функции одной переменной следует,					что ϕ′(x0 )= 0 , то
есть fx′(x0 , y0 )= 0 B.B
Теперь зафиксируем х, положим x = x0 B, Bтогда получим функцию f (x0 , y)=ψ (y) одной
переменной, которая имеет экстремум		при	y = y0 B Bи из необходимого условия экстремума
функции одной переменной следует, что ψ ′(y0 )= 0 , то есть f y′(x0 , y0 )= 0 .

TОпределение 7.25. TТочка, в которой частные производные первого порядка функции z = f (x, y) равны нулю, т.е

f x′ = 0f y′ = 0

называется стационарной точкой функции.

TОпределение 7.26.T Критическими точками называются стационарные точки

иточки, в которых хотя бы одна частная производная не существует.

Вкритических точках функция z = f (x, y) может иметь экстремум, а может

ине иметь. Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции дополнительно исследовать.

TТеорема 7.7. T (Достаточное условие экстремума). Пусть в

стационарной точке	(x0 , y0 ) и некоторой ее окрестности функция				f (x, y) имеет
непрерывные частные производные			до второго	порядка	включительно.
Вычислим в точке (x0 , y0 ) значения
A =	′′	′′	, y0 ) , C =	′′
A =	f xx (x0 , y0 ) , B =	f xy (x0	, y0 ) , C =	f yy (x0 , y0 ) .

305

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3531 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]