Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3530 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y)− f (x, y).

TОпределение 7.11. TЧастной производной функции z = f (x, y) в точке

M (x, y) по переменной х называется

lim

∆x z

= lim

f (x + ∆x, y) − f (x, y)

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

Обозначается одним из символов:

′

;

∂z

;

′

B ∂f B

∂x

fx ;

∂x

Частные производные по х

в точке M0 (x0 , y0 )обозначаются символами

fx′(x0 , y0 ); fx′

. B

производной функции z = f (x, y) в точке

Определение 7.12. TЧастной

M (x, y) по переменной у называется

lim

∆y z

= lim

(x, y + ∆y) − f (x, y)

∆y

∆y→0

Обозначается одним из символов: B

z′y ;

∂z ;

f y′;

∂f .

∂y

Частные производные по

в точке

M0 (x0 , y0 ) обозначаются символами

f y′(x0 , y0 ) , f y′

M0 .

Пример 7.4.

Найти частные производные функции Z = 2 y + ex2 −y +1.

Решение.

Z x' = (2 y + ex2 −y +1)'x = (2 y)'x + (ex2 −y )'x + (1)'x = 0 + ex2 −y (x2	− y)'x + 0 =
= ex2 −y (2x − 0) = 2xex2 −y
Z y' = (2 y + ex2 −y +1)'y = (2 y)'y + (ex2 −y )'y + (1)'y = 2 + ex2 −y (x2	− y)'y + 0 =
= 2 + ex2 −y (0 −1) = 2 − ex2 −y

Пусть дана функция z = f (x, y), график которой поверхность S (рис. 7.3).

286

Пусть точка

M0 (x0 , y0 )

из области

определения функции f (x, y),

точка

N0 (x0 , y0 , z0 ),

z0 (x0 , y0 )

- соответствующая

M0 точка поверхности S.

LB1

LB2

NB0

yB0

хB0

MB0

Рис. 7.3.

Известно, что при нахождении

fx' (x0 , y0 )

переменная

у фиксируется так, что

y = y0 .

Геометрически это означает,

что через точку M0

проводится плоскость y = y0

параллельная

плоскости

хoz

и функция

z = f (x, y0 )

есть линия

LB1

Bпересечения поверхности

плоскости

y = y0 . Но z = f

(x, y0 )

– функция одной переменной х в точке x = x0 . Исходя

из

геометрического

смысла

производной для функции

одной переменной, заключаем, что

fx' (x0 , y0 )= tgα , где α – угол между прямой, параллельной оси

Х и касательной к кривой

(z = f (x, y0 ))

в точке

N0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).

При нахождении

fx' (x0 , y0 )

переменная х фиксируется так, что x = x0 . Геометрически

это означает, что через точку M0 проводится плоскость

x = x0 параллельная плоскости

yoz

функция

z = f (x0 , y) есть линия

LB2 Bпересечения поверхности

S и плоскости

x = x0 B. B Но

z = f (x0 , y) – функция одной переменной

у в точке

y = y0 .

Исходя из геометрического

смысла производной для

функции одной переменной, заключаем, что fy' (x0 , y0 )= tgβ , где β

287

– угол между прямой, параллельной оси Y и касательной			к кривой L2 (z = f (x0 , y)) в
точке N0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
TОпределение 7.13.T	fx' (x0 , y0 ) = tgα	и	fy' (x0 , y0 )= tgβ называются

геометрическим смыслом частных производных функции двух переменных.

2. Частные производные высших порядков

Если частные производные	∂z	,	∂z	функции	z = f (x, y) в свою очередь
	∂x		∂y
являются дифференцируемыми	функциями, то можно находить их частные

производные.

Так частные производные второго порядка определяются и обозначаются:

∂ ∂z

∂2 z

∂x2

= Z xx

∂x ∂x

∂

∂z

∂

= Z "

∂x∂y

∂x ∂y

∂ ∂z

∂2 z

= Z yx =

∂y∂x

∂y ∂x

∂

∂z

∂

= Z "

∂y

∂y ∂y

fx"2 (x, y)

fxy" (x, y)

f yx" (x, y)

f y"2 (x, y)

Аналогично определяются частные производные третьего и четвертого и т.д порядков.

'''

∂ ∂2

∂

∂3 z

∂

4 z

Так zxxy =

∂x

∂y

∂x

∂y

TОпределение 7.14.T Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Таковыми являются, например, z′xy′ , z′′′xyy .

288

Пример 7.5. Найти частные производные второго порядка функции z = x4 − 2x2 y3 + y5 +1.

Решение. Так как

z′x = 4x3 − 4xy3 ,

z′y = −6x2 y2 + 5y4 ,

то

′′

− 4xy

′

=12x

− 4 y

zxx = (4x

′′

4 ′

y + 20 y

3 B B

zyy = (− 6x

)y = −12x

′′

− 4xy

′

= −12xy

zxy = (4x

′′

+ 5y

4 ′

zyx = (− 6x

)x = −12xy

′′

B B

Оказалось, что zxy = z yx .

Этот результат не случаен. Имеет место теорема

TТеорема 7.1. T

Если функция

z = f (x, y)

имеет в точке

M (x, y)

′′

непрерывные частные производные второго порядка fxy

fyx ,

то fxy

= fyx .

3.Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки

M (x, y), тогда ее полное приращение в точке M (x, y)

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y)− f (x, y).

TОпределение 7.15.T Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке M (x, y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в

виде
	∆z = A∆x + B∆y +α∆x + β∆y ,
где α =α (∆x, ∆y)→ 0 и	β = β (∆x,∆y)→ 0 при	∆x → 0,	∆y → 0 .
TОпределение 7.16.T	A∆x + B∆y называют	главной	частью приращения
функции z = f (x, y).

289

TОпределение 7.17.T

Главная

часть

приращения

функции

z = f (x, y),

линейная относительно

∆x

∆y

называется

полным дифференциалом этой

функции и обозначается

dz = A∆x + B∆y .

TОпределение 7.18.T

A∆x

B∆y называют частными дифференциалами и

обозначают dx z

dy z .

Для независимых переменных х и у

полагают ∆x = dx,

∆y = dy . Поэтому

полный дифференциал можно записать в виде dz = Adx + Bdy .

Теорема

7.2.

(Необходимое

условие

дифференцируемости

функции). Если функция

z = f (x, y)

дифференцируема в точке M (x, y), то она

непрерывна в этой точке,

имеет в ней частные производные

∂z и

∂z ,

причем

∂x

∂y

∂z

= A,

∂z = B .

∂x

∂y

Доказательство.

Так как функция дифференцируема в точке M (x, y), то имеет место

равенство

∆z = A∆x + B∆y +α∆x + β∆y , где α =α (∆x, ∆y)→ 0 и

β = β (∆x,∆y)→ 0

при

∆x → 0,

∆y → 0 .

Отсюда

вытекает, что

lim ∆z = 0 . Это

означает,

что

функция

∆x→0

∆y→0

непрерывна в точке М. Положив ∆y = 0,

∆x ≠ 0 , получим

∆z = A∆x +α∆x .

Отсюда

находим

∆x z

= A +α .

Переходя

пределу

при

∆x → 0 ,

∆x

получим

lim

∆x z

= A,

т.

∂z

= A .

Таким образом, в точке

существует

частная

∆x→0

∆x

∂x

производная fx′(x, y)= A.

Положив

∆x = 0, ∆y ≠ 0 , получим

∆z = B∆y + β∆y . Отсюда

∆y z

= B

∆y z

∂z

+ β

lim

= B,

т =тB . Таким образом, в точке М существует

∆y

∆y→0

∂y

частная

производная

f y′(x, y)= B .

290

Отметим, что обратное утверждение не верно, т.е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала вида

			dz = ∂z dx +	∂z dy	или
			∂x	∂y
			dz = dx z + d y z ,		где
dx z =	∂z dx,	d y z =	∂z dy - частные дифференциалы функции z = f (x, y) .
	∂x		∂y

TТеорема 7.3.T (Достаточное условие дифференцируемости функции).

Если функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные z′x , z′y в

точке M (x, y), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал

выражается формулой

dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy .

4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Из

определения

дифференциала функции z = f (x, y) следует,

что при

достаточно малых

∆x

∆y

имеет место приближенное равенство

∆z ≈ dz .

Рассмотрим точку M0 (x0 , y0 ).

Так как ∆z = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y)− f (x0 , y0 ) и

dz = fx′(x0 , y0 )dx + f y′(x0 , y0 )dy = fx′

M0 ∆x + f y′

M0 ∆y .

Получим

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 )= fx′(x0 , y0 )∆x + fy′(x0 , y0 )∆y

или

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) + f x′(x0 , y0 )∆x + f y′(x0 , y0 )∆y .

(7.1)

Этой формулой пользуются в приближенныхT Tрасчетах.

291

Пример 7.6.	Вычислить приближенно 1,02 3,01.
Решение.	Рассмотрим	функцию	z = x y = f (x, y) .	Тогда

1,023,01 = (x

+ ∆x) y0 +∆y = f (x

+ ∆x, y

+ ∆y) ,

где

x =1, ∆x = 0,02,

y = 3,

∆y = 0,01. Найдем f x′(x0 , y0 )

и f y′(x0 , y0 )

= (x y )′x

= yx y−1

= 3 12 = 3

f x′(x0 , y0 ) = f x′(x, y)

Тогда

f y′(x0 , y0 ) = f y′(x, y)

= (x y )′y

= x y ln x

=13 ln1 = 0 .

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) =1,023,01 ≈13 + 3 0,02 + 0 0,01 ≈1,06 .

Отметим, что с

помощью полного

дифференциала можно

найти:

границы абсолютной и относительной погрешности в приближенных вычислениях, приближенное значение полного приращения функции и т.д.

5. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка.

Полный

дифференциал

функции

z = f

(x, y)

dz = ∂z dx +

∂z dy

∂x

∂y

называют также дифференциалом первого порядка.

Определение 7.19.T

Дифференциалом второго порядка функции z

называют дифференциал от дифференциала первого порядка d 2 z = d (dz).

Найдем его, так как при вычислении частных производных по x и по у от

dz переменные dх

и dу считаются постоянными, то

∂z dx +

∂z dx

′

∂z dx +

′

d 2 z = d(dz) = d

∂z dy

+ ∂z dy x

dx +

∂z dy y dy =

∂x

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

∂

z2 (dx)2 +

∂

dx +

dy dy =

dxdy +

∂x∂y

∂y

∂x

∂x∂y

292

∂2 z

dxdy +

∂2 z

(dy)2

∂2 z (dx)2

+ 2

∂2 z

dxdy +

∂2 z (dy)2 .

∂x∂y

∂y2

∂x2

∂x∂y

∂y2

Получили

2 z = ∂2 z

(dx)2

+ 2

∂2 z

dxdy + ∂2 z

(dy)2 .

∂x∂y

∂x2

∂y2

Символически это записывается так:

d 2 z = ∂∂x dx + ∂∂y dy 2 z .

Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего

порядка

d 3 z = d(d 2 z) =

∂

dx +

∂x

∂y

где

∂

z = ∂

∂

(dx)3

+ 3

(dx)2 dy + 3

dx(dy)2 +

(dy)3 .

∂x

∂y

∂ 2

∂

∂ ∂

∂

x y

Пример 7.7. Найти d2z, если z = x3 y2 .

Решение. Найдем частные производные

∂z

= 3x

;

∂2 z

= 6xy

;

∂2 z

y ;

∂z

= 2x

y ;

∂2 z

∂x

∂x2

∂x∂y

∂y

∂y2

Тогда

d 2 z = 6xy2 (dx)2 +12x2 ydxdy + 2x3 (dy)2 .

6.Производная сложной функции

Полная производная.

	Пусть z = f (x, y) -функция двух переменных х			и у, каждая из которых
является функцией независимой переменной t:			x = x(t ),	y = y(t ). В этом случае
функция	z = f (x(t), y(t))	является сложной	функцией одной независимой
переменной t; переменные х		и у – промежуточные переменные.

293

TТеорема 7.4.T Если z = f (x, y) - дифференцируемая в точке M (x, y) D

функция и x = x(t ) и y = y(t ) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t)= f (x(t), y(t)) вычисляется по формуле

= ∂z

∂z

∂y

∂x

Доказательство. Дадим независимой переменной t приращение ∆t. Тогда функция

x = x(t )

получит приращение ∆x ,

функция

y = y(t ) получит приращение ∆y , функция z

получит приращение ∆z .

Так как по условию теоремы функция

z = f (x, y)

дифференцируема

в точке

M (x, y), то ее полное приращение

∆z = ∂z ∆x +

∂z ∆y +α∆x + β∆y ,

∂x

∂y

где α → 0,

β → 0 при ∆x → 0,

∆y → 0 . Разделим выражение ∆z

на ∆t

и перейдем к

пределу

при

∆t → 0 .

Тогда в

силу

непрерывности

функций

x = x(t )

y = y(t )

∆x → 0

∆y → 0 .

Получим

lim

∆z

= ∂z

lim

∆x

∂z

lim

∆y

+ lim α lim

∆x + lim β lim

∆y .

∆t→0

∆t

∂x ∆t→0

∆t

∂y

∆t→0

∆t

∆t→0

∆t

∆t→0

∆t

То есть

dzdt = ∂∂xz dxdt + ∂∂yz dydt + 0 dxdt + 0 dydt

или

dzdt = ∂∂xz dxdt + ∂∂yz dydt .

Пример 7.8. Найти	dz	для функции z = x2 − y2 , если x = a cost, y = asin t .
	dt

294

Решение. Так как

∂z

= 2x,

∂z

= −2 y,

= −a sin t,

= a cos t, то по

∂x

∂y

формуле

∂z

∂x

∂y

получаем

= 2x(−asin t) − 2 yacost = 2a(−a cost sin t − asin t cost) = −2a2 sin t cost = −a2 sin 2t .

Частный случай.

Пусть

z = f (x, y) ,

где

y = y(x),

т.е

z = f (x, y(x)) -

сложная

функция

одной

независимой

переменной х. Используя формулу

= ∂z

∂z

, где роль переменной t

играет x, получим

∂y

∂x

dz =

∂z

или

∂x

∂y

= ∂z

∂z

(7.2)

∂y

∂x

Эта формула носит название формулы полной производной.

Пример 7.9. Дано z = y x , y = cos2 x .

Найти ∂z

∂x

Решение. Имеем

∂z

= y x ln y . По формуле полной производной

∂x

= ∂z

∂z dy

= y x

ln y + xyx−1 2cos x(−sin x) = cos2 x xln(cos2 x) − xsin 2xcos2 x−2 x .

∂x

∂y dx

Общий случай.

Пусть

z = f (x, y) ,

где

x = x(u,v),

y = y(u,v).

Тогда

z = f (x(u,v); y(u,v)) -

сложная функция независимых переменных u

v. Ее

частные

производные

∂z

можно

найти,

используя

формулу

∂u

∂v

∂z

+ ∂z

следующим образом.

Зафиксировав

заменяем в ней

∂x

∂y

295

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3530 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]