Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

(взаимнооднозначное или нет) определяет UфункциюU (UотображениеU) f , связанную

Uзначением функцииU. Элемент x называют UпеременнойU или UаргументомU функции

σ(x) не пусто), называется Uобластью определенияU функции, связанной с

16

TОпределение 1.32.T Пусть образ f (A) равен В. Тогда говорят, что имеет место отображение А UнаU В или f - сюръективное отображение.

TОпределение 1.33.T Если f - функция, связанная с функциональным взаимно-однозначным отношением σ , то функция, связанная с σ −1 , обозначается f −1 . В этом случае f называется UиньективнойU функцией (отображением), а f −1 -

Uобратной функциейU.

Отметим, что иньективная функция f : A → B называется также UвложениемU.

Для иньективной функции (отображения) из равенства f (x) = f ( y) следует, что x = y (x, y A).

TОпределение 1.34.T UБиективнымиU (взаимно однозначными) UотображениямиU

или UбиекциямиU называют отображения одновременно сюръективные и инъективные. Биекция обозначается так f : A ↔ B . При этом множества А и В

называют равномощными.

TОпределение 1.35.T Если существует биективное отображение множества А на множество N = {1,2,3,...}, то А называется Uсчетным множествомU.

Смысл основных определений, данных выше пояснен на рисунках 1.5.

a)

В

b)

17

Множество значений

c) Отображение А на В, или сюръективное отображение В (множество значений)

А (множество определения)

x

f(x)

d) f – инъективная функция, f −1 - обратная функция.

B A

f

fP-1P

e) Инъективное отображение.

18

В

А

fP-1P

f) Биективное отображение

Рис. 2.1. Типы отображений

TОпределение 1.36.T Пусть y = f (x) - функция, определенная на множестве А

со значениями в множестве В, а z = g( y) - функция, определенная на В со значениями на множестве С. Если для любого x A называется такое z C , что z = g(f (x))= (gof )(x), то полученная таким образом функция, определенная на А со

значениями в С, называется UкомпозициейU (или UсуперпозициейU) функцией g и f и

обозначается через fog = fg и т.п.

Частным случаем этого определения является следующее: если f : A → B, а

g : B → C, то gf : A → C .

Отметим, что под UобращениемU функций понимается отыскание обратных функций по заданным функциям.

Функции могут UзадаватьсяU различными способами. В частности, их можно задавать UявноU в виде аналитических выражений и таблиц. Родственным к явному заданию функции с помощью определенных алгоритмов получения у по

19

известному х. С другой стороны функции можно задавать UнеявнымU образом. Одним из важных способов неявного задания функций является задание их в виде решения (решений) уравнения (уравнений) того или иного типов.

В математике часто пользуются переменными, которые называются индексами. Пусть f – функция, определенная на множестве I индексов. Если i I , то соответствующее значение функции f (i) обозначается через fi .

TОпределение 1.37. TРассмотрим множество В, в котором функция f

принимает свои значения. Под UсемействомU элементов в В, занумерованных посредством I, понимают отображение f : I → B .

Хотя бы семейство есть не что иное как отображение, его удобно представлять себе в виде совокупности объектов из В и записывать в виде символа {fi }i I .

TОпределение 1.38.T Если множество индексов I совпадает с N или

Z= {...,−2,1,0,1,2,...}, то соответствующая функция называется UпоследовательностьюU,

акаждое ее значение – Uчленом последовательностиU. Если множество значений функции f является подмножеством множества действительных чисел, то последовательность называется числовой.

Выше было введено понятие функции (отображения) одной переменной (аргумента). По аналогии можно определить и Uфункции нескольких переменныхU.

TОпределение 1.39.T Под функцией n переменных (n ≥1) будем понимать

функцию, аргументом которой являются упорядоченные n-и. Другими словами, это такая функция z = f (x1 , x2 ,..., xn )(x1 A1 , x2 A2 ,...xn An ), которая ставит в соответствие любой n − e (x1 , x2 ,...xn ) не более одного элемента z Z .

Используя понятие отображения можно дать определение одного из важнейших математических понятий, каковым является Uметрическое пространствоU.

TОпределение 1.40.T Множеством M называется метрическим пространством, если любой паре (x, y) элементов (точек), где x, y M , поставлено

20

в соответствие неотрицательное число ρ(x, y), называемое UрасстояниемU (или

метрикой пространства M ) между этими элементами и справедливы такие свойства:

a)ρ(x, y)= ρ(y, x) для любых x, y M (аксиома симметрии);

b)ρ(x, y)= ρ(y, x) тогда и только тогда, когда x = y (аксиома множества);

c)ρ(x, y)+ ρ(y, z)≥ ρ(x, z) для любых x, y, z M (аксиома треугольника).

TЗамечание 1.7.T В одном и том же множестве можно вводить различные метрики.

Простейшим примером метрического пространства является множество точек прямой, на которой введено обычное понятие длины отрезка (т.е. расстояния между точками прямой). Если А и В – две точки на данной прямой, то функция двух переменных ρ(A, B), играющая роль расстояния, определяется в данном случае посредством равенства ρ(A, B)= AB , AB - длина вектора AB .

§ 5. Алгебраические операции

На основе понятия отображения можно дать строгое определение очень важному математическому понятию, каковым является Uалгебраическая операцияU.

Если n = 2, то алгебраическая операция называется UбинарнойU. Для обозначения этой операции используют различные символы, например, 0, +, -, *,

х.

Пусть на множестве М задана бинарная алгебраическая операция, т.е. любой паре (a,b) M * M поставлен в соответствие единственный элемент C M , т.е.

a b = a * b = ab = C .

21

UПримерамиU ассоциативных операций является сложение и умножение чисел. Но операция возведения в степень не является ассоциативной, т.к. в общем

x o (y * z)= (x o y)* (x o z), (x * y)o z = (x o z)* (y o z).

Кроме бинарных алгебраических операций в алгебре рассматриваются обратные алгебраические операции. UПримерамиU таковых для операций сложения и умножения чисел являются операции вычитания и деления.

Пусть на множестве M задана бинарная внутренняя алгебраическая операция o , т.е. любым U , r M поставлен в соответствие единственный элемент

(U o r)= b M . Отметим, что элемент b M может сопоставляться и другой паре элементов U1 , r1 , т.е. может быть (U1 o r1 )= b . Можно поставить такую задачу: найти

произвольные фиксированные элементы из M . Если указанные уравнения имеют единственные решения для любых a,b M , то можно любой паре (a,b) M × M

поставить в соответствие однозначно определенные элементы x, y M . В этом случае исходная операция o порождает две внутренние бинарные алгебраические

22

операции, которые называются соответственно Uправой и левой обратнымиU операциями по отношению к исходной операции o .

TЗамечание 1.8. TЕсли исходная алгебраическая операция коммуникативна, то обе обратные операции совпадают друг с другом.

Отметим еще, что в алгебре используется также и внешние алгебраические операции, их примером является операция умножения вектора на число.

§ 6. Основные понятия исчисления высказываний.

Сформулируем теперь простейшие понятия исчисления высказываний.

TОпределение 1.45.T В логике под высказыванием понимают осмысленное ут-

вердительное предложение, т. е. повествовательное предложение, о котором в рамках определённого контекста можно говорить, что оно истинно или ложно.

Высказывание является термином логики, а предложение - чисто лингвистическое понятие. Приведём несколько примеров высказываний и предложений, которые не являются высказываниями. Высказываниями будут следующие утверждения: «Аист - насекомое»; «Фалес - философ»; «Пётр и Виктор - братья». Предложения: «Сколько стоит автомобиль?», «Идите сюда!» - не являются высказываниями.

В исчислении высказывании можно расчленять высказывания только до тех пор, пока их составляющие также будут высказываниями. Это ограничивает произвол в выборе расчленения сложных высказываний, которые могут состоять из совокупности простых высказываний (они не подлежат дальнейшему расчленению). Теперь уточним, что же в исчислении высказываний понимают под простыми высказываниями. В математических и других рассуждениях часто встречаются осмысленные утвердительные предложения, образованные посредством видоизменения других таких предложений с помощью слов "не", "и", "или", "если..., то" и "тогда и только тогда, когда". Эти пять слов или комбинаций

23

слов называются сентенциональными связками. В исчислении высказываний под простыми предложениями понимают также высказывания, которые не содержат эти связки или сами по себе усматриваются B Bв качестве неразложимых.

Будем обозначать высказывания прописными буквами.

TОпределение 1.46.T Под высказыванием A будем понимать высказывание

"неA " т.е. отрицание А.

TОпределение 1.47.T Высказывание А/\В, полученное из высказываний А и В с

помощью связки "и", называется конъюнкцией этих высказываний (символ - заменитель "и").

TОпределение 1.48.TВысказывание A B, образованное из двух высказываний

А, В посредством связки "или" ( имеет смысл "или"), называется дизъюнкцией этих предложений. Связка "или" здесь употребляется не в разделительном смысле (либо - либо).

TОпределение 1.49.T Высказывание «если А, то В» называется импликацией,

причём А - посылка, а В - следствие. Такое высказывание символически записывается в виде A B .

TОпределение 1.50.T Высказывание "А тогда и только тогда, когда В" называет-

ся эквиваленцией (двойнойимпликацией) и обозначается А<=> B .

В исчислении высказываний при использовании символической записи используется ряд условных соглашений, вводящих субординацию для выполнения действий с использованием знаков -, , , , . Очередь выполнения логических операций в сложных высказываниях производится в порядке следования написанных выше символов, если нет скобок.

Обратимся теперь к истинностным значениям высказываний, построенных с использованием связок -, , , , . Для краткости "истинность" и ложность" будет обозначаться буквами T и F . Истинностный смысл, который придаётся ложным высказываниям, которые содержат связки, иллюстрируется следующими таблицами:

24

Эти таблицы являются по сути определениями, естественным образом согласованными с пониманием смысла сентенциональных связок.

Рассмотрим непустое множество осмысленных предложений. Расширим это множество с помощью присоединения к нему всех предложений, которые можно образовать, используя многократно и всевозможными способами различные связки. Элементами такого расширенного множества будем называть формулами. Элементы исходного множества называются простыми или элементарными формулами, а остальные – составными формулами. Простые формулы,

входящие в составную, называются ее простыми компонентами.

Пусть простыми компонентами формулы B служат B1, B2 ,..., Bn . Запишем

25