Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

yB

xB1B<xB0B<xB2

y = f (x)B

y0 B yˆ2 B

yˆ1 B

276

Следствие (необходимые условия перегиба): точки перегиба следует искать среди точек,

в которых f ′′(x) = 0 , либо ∞, либо не существует. Такие точки называются критическими

точками 2-го рода.

Замечание 6.15. Необходимые условия не являются достаточными для

точки перегиба: впереди был рассмотрен пример:

y = ex + e−x − x2 в точке x0 = 0, y′(0) = y′′(0) = 0 , но там минимум, а не перегиб.

TТеорема 6.9. T(Достаточные условия существования точки перегиба.) Если при переходе через критическую точку 2-го рода вторая производная меняет знак, то в этой точке кривая имеет перегиб, если смены знака нет, нет и перегиба.

Следовательно x0 = −2 критическая точка 2-го рода. y′′(x < −2)> 0 - слева кривая вогнута,

y′′(x > −2)< 0 - справа выпукла (−2,0) - точка перегиба.

y

Рис. 6.23

4. Асимптоты графика функции

TОпределение 6.6.T Если расстояние δ от точки кривой до некоторой прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то такая прямая называется асимптотой данной кривой.

277

Рис. 6.26

а) Нахождение невертикальных асимптот y = kx +b

Рассмотрим случай наличия у кривой правой асимптоты:

ϕ

x

δy = f (x)

Рис. 6.27

278

Замечание 6.17. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной:

k = 0, y = b, b = lim f (x)

x→+∞ ( x→−∞)

y

y = b

y = f (x)

279

б) Нахождение вертикальных асимптот x = x0

y

Замечание 6.18 . Очевидно, x0 - точка разрыва 2-го рода, следовательно,

график непрерывной функции не имеет вертикальных асимптот.

280

План полного исследования функции для построения графика

1.D(y).

2.Четность, периодичность, интервалы знакопостоянства.

3.Непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты.

4.Интервалы монотонности, экстремум.

5.Интервалы выпуклости, точки перегиба.

6.Асимптоты.

7.Для уточнения графика: точки пересечения с осями координат, поведение функции на концах D(y).

281

РАЗДЕЛ 7. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Функции двух переменных

1. Основные понятия

TОпределение 7.1. TСоответствие f, которое каждой паре чисел (x; y) D

сопоставляет одно и только одно число z R , называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается z = f (x, y), где x и y – аргументы, z – функция.

x2 + y2 ≤1, а областью значений отрезок [0,1]. Функция изображается верхней полусферой с

центром в точке О (0,0,0) и радиусом R = 1 (рис. 7.1)

Геометрически z = f (x, y) представляет собой

z

некоторую поверхность и как функция одной

1

переменной может быть задана таблицей, y аналитически, графиком.

1

x 1

Рис. 7.1

282

2. Предел функции

TОпределение 7.3. TМножество точек M (x, y) плоскости, координаты

которых удовлетворяют неравенству (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 <δ , называется δ –

окрестностью точки M0 (x0 , y0 ).

Другими словами, δ - окрестность M0 – это все внутренние точки круга с центром M0 и радиусом δ (см. рис. 7.2)

y

B δ B

MB

MB0

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому M → M0 .

283

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в

M0 (x0 , y0 ), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности;

в) этот предел равен значению функции z в точке M0 , т.е.

284

TОпределение 7.6. TФункция непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

TОпределение 7.7. TТочки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва, которые могут образовывать линии разрыва.

Пример 7.3. Так функция z = y −32x имеет линию разрыва y = 2x .

§ 2. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть задана функция z = f (x, y). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменятся, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение ∆х, сохраняя значение у неизменным.

TОпределение 7.8. TПриращение, которое при этом получит z называется частным приращением z по х и обозначается ∆x z .

Итак,

называется равенство

285