Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3528 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Неопределённости вида ∞ − ∞

Аналогично поступают с неопределённостями вида ∞ −∞ .

Пример 6.18. lim

−

(∞ −∞) .

x→π

ctgx

2cos x

Решение.

xsin x −

sin x + xcos x

lim

−

(∞ − ∞) = lim

= lim

= −1.

2cos x

cos x

−sin x

x→π ctgx

x→π

Неопределённости вида 00 , ∞0 , 1∞

раскрывают с помощью предварительного логарифмирования.

lim(cos 2x)

(1∞ ) .

Пример 6.19.

x→0

lim(cos 2x)

(1∞ ) = lim y ,

Решение.

x→0

limln y = lim3

ln cos 2x

3lim

−2sin 2x

= −6

lim y = e

−6

cos 2x 2x

x→0

∞

Пример 6.20.

lim 1

(1 ) .

x→+∞

∞

y ,

Решение.

lim

(1 ) = lim

x→+∞

ln 1

−

lim ln y = lim

= lim

= 0

x→+∞

x→+∞ x

−

Cледовательно

lim y = e0 =1.

x→+∞

TТеорема 6.6. TФормула Тейлора (самая общая теорема о среднем).

Рассмотрим многочлен:
P(x) = a + a (x − x ) + a (x − x )2					+... + a (x − x )n			(6.24)
0 1		0	2	0		n	0
P '(x) = a + 2a (x − x ) + 3a (x − x )2						+... + na (x − x )n−1
1		2	0	3	0		n	0
P ''(x) =1 2a	2	+ 2 3a (x − x ) +... + (n −1)na (x − x )n−2
	2		3	0			n	0

……………

266

P(n) (x) =1 2 3...na

= n!a

при x = x0

a0 = P(x0 ) ,

a1 = P′(x0 ) ,

P′′(x0 )

, . . . , a =

P(n) (x0 )

следовательно,

P(x) = P(x

) +

P′(x0 )

− x ) + P′′(x0 )

(x − x )2

+... +

P(n) (x0 )

(x − x )n

(6.25)

в частности, при

x0 = 0

P(x) = P(0) +

P′(0) x +

P′′(0)

+... +

P(n) (0)

(6.26)

Формулы (6.25) и (6.26) называются формулами Тейлора и Маклорена для многочлена, они имеют важные применения в высшей алгебре.

Теперь рассмотрим произвольную функцию f (x) , удовлетворяющую условиям:

1)Определена и непрерывна на отрезке [a,b], содержащем точку x0 ;

2)Имеет непрерывные производные до n-го порядка включительно на [a,b] и

хотя бы на (a,b)

конечную f (n+1) (x).

По образцу формулы Тейлора для многочлена составим многочлен для

f (x) :

P (x)

= f (x )

f ′(x0 )

(x − x )

+... +

f (n) (x0 )

(x − x

(6.27)

где x [a,b], x0 (a,b)

Очевидно, при

x = x0 ,

Pn (x0 ) = f (x0 ) , но при

x ≠ x0 ,

Pn (x) ≠ f (x)

если

f (x)

- не многочлен, т.е. f (x) − Pn (x) = Rn (x) .

Следовательно,

если

Rn (x)

малая

величина,

f (x) ≈ Pn (x) , т.е.

многочлен

Pn (x) может служить приближением для функции

f (x) , а точная формула

f (x) = f (x ) +

f ′(x0 )

(x − x

) +

f ′′(x0 )

(x − x )2 +... +

f (n) (x0 )

(x − x )n + R (x)

(6.28)

267

называется формулой Тейлора для функции					f (x) ,	Rn (x) называется остаточным
членом формулы Тейлора.
В частом случае, при x0 = 0 формула Тейлора даёт формулу Маклорена
f (x) = f (0) +	f ′(0)	x +	f ′′(0)	x2	+... +	f (n) (0)	xn + R (x)

1!		2!				n!	n

Rn (x) представляет собой погрешность, которая допускается при замене функции

f (x) на её многочлен Тейлора /Маклорена/ - Pn (x) .

Существует несколько различных форм представления

Rn (x) . Мы получим

остаточный член в форме Лагранжа.

Rn (x) = f (x) − Pn (x) ,

Rn′(x) = f ′(x) − Pn′(x)

R(n+1)

(x) = f

(n+1) (x) − P(n+1) (x) = f (n+1) (x) , т.к. P (x) многочлен n – ой степени.

Кроме того,

Rn (x0 ) = Rn′(x0 ) =... = Rn(n) (x0 ) = 0.

Теперь для функций R (x)

и g(x) = (x − x )n+1

несколько раз применим формулу

Коши, учитывая, что g(x0 ) = g′(x0 ) =... = g(n) (x0 ) = 0 .

R (x)

R (x) − R (x

)

′(ξ

)

=, (x [x

, x],

′(ξ

) − R (x

)

ξ (x

, x)) =

g(x)

g(x) − g(x0 )

g′(ξ1 )

g′(ξ1 ) − g′(x0 )

″

(ξ

)

Rn+1 (ξ

n+1

)

=... =

,ξ ) (x

, x)...ξ

n+1

,ξ

) (x

, x)

g′′(ξ2 )

g (n+1) (ξn+1 )

R (x)

R( n+1)

(ξ)

, ξ (x0 , x)

g(x)

g ( n+1) (ξ)

g(x) = (x − x

)n+1

g ( n+1) (x) = (n +1)!,

R( n+1) (x) = f ( n+1) (x)

R (x) =

f (n+1) (ξ)

(x − x

)n+1, ξ = x

+θ(x − x

), 0 <θ <1.

(n +1)!

Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

f (x) = f (x

) +

f ′(x0 )

(x − x

) +

f ′′(x0 )

(x − x

+... +

f (n) (x0 )

(x − x

)n + R (x) =

268

n	f ( k ) (x	)		f ( n+1) (ξ)	+
= ∑	0		(x − x0 )k +		(x − x0 )n 1	,	ξ = x0 +θ(x − x0 )
= ∑	k!		(x − x0 )k +	(n +1)!	(x − x0 )n 1	,	ξ = x0 +θ(x − x0 )
k =0	k!			(n +1)!

Частный случай формулы Тейлора – формула Маклорена, при x0 = 0 :

n		(k )	(0)		f	(n+1)	(θx)
f (x) = ∑	f			xk +				xn+1

k=0		k!				(n +1)!

TUЗамечание 6.9.UT При n = 0 из формулы Тейлора следует формула Лагранжа: f (x) = f (x0 ) + f ′1(!ξ) (x − x0 ) .

TUЗамечание 6.10.UT Формула Тейлора дает возможность функции сложной природы, имеющие непрерывные производные всех порядков, заменять с большой степенью точности многочленом, что дает простой способ приближенного вычисления значений функции с оценкой погрешности с помощью Rn .

TЗамечание 6.11.T При использовании дифференциала в приближенных вычислениях:

∆f ≈ df

′

= f ∆x

с помощью формулы Тейлора можно оценить погрешность от замены ∆f

на df .

f ′(x0 )

′

При n =1

f (x) = f (x0 ) +

(x − x0 ) + R1 (x)

∆f = f (x)∆x

+ R1 (x)

ошибка= R =

f ′′(ξ)

∆x2

Пример 6.21. Представить формулой Маклорена функцию

y = ex

и вычислить

e с

точностью 0,001

(k )

(x) = e

′

= ... = y

(k )

(0) =1

y(0) = y (0)

=1 +

+... +

+ R (x)

(n+1) (θx)

n+1

eθx

n+1

1 n

(x) =

e = e2

=1 +

+... +

+ R

(n +1)!

n 2

1 n+1

2 =

= 0.001

(n +1)!

269

R2 12 = e32! 18 < 33! 18 = 161 > 0.001 R3 12 < 43! 161 = 1281 > 0.001

R4 12 < 53! 321 = 12801 < 0.001

e ≈1 + 11!2 + 2!122 + 31! 213 =1 + 0.5 + 18 + 421 =1.646

∆ = R4 12 < 0.001

Пример 6.22.

Составить формулы Маклорена для sin x и cos x .

f (x) = sin x,

f ( n) (0) : 0,1,0,-1,0,1,0-1…

sin x = x −

(−1)n−1 x2n−1

+ R

(x)

−... +

(2n −1)!

sin θ x + (2n +

2n+1

(x)

x2n+1

≤

(2n +1)!

(−1)n−1 x2n

f (x) = cos x =1 −

−... +

+ R

(x)

(2n)!

2n+1

cos θx

(n +1)

2n+2

(x)

x2n+2

≤

2n+1

(2n

+ 2)!

(2n + 2)!

§ 15. Исследование функций и построение графиков

1. Возрастание (убывание) функции

TТеорема 6.7. TЕсли y = f (x) определена и непрерывна на (a,b) и

x (a,b) имеет конечную производную, то для монотонного возрастания

функции необходимо и достаточно: f '(x) ≥ 0, x (a,b)

270

Пример 6.23 .

Доказательство необходимости. Пусть f (x) монотонно возрастает на (a,b) , т.е. при

x1 < x2	f (x2 ) ≥ f (x1 )
f (x1 + ∆x) − f (x1 ) ≥ 0,		при ∆x > 0,
f (x	+ ∆x) − f (x ) ≤ 0	при ∆x < 0		∆f	≥ 0,	f '(x) ≥ 0
1	1			∆x
1	1
Доказательство достаточности. Пусть				f '(x) ≥ 0 на (a,b) и x1 < x2 (a,b) . По
теореме Лагранжа
f (x2 ) − f (x1 ) = f '(c) (x2 − x1 ),			c (x1, x2 )

f '(c) ≥ 0, (x2 - x1 ) > 0 для x1 < x2 , f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0 т.е. f (x2 ) ≥ f (x1 ) .

TЗамечания 6.12.

Аналогичная теорема для убывающей функции: f ′(x)≤ 0 . y = x − sin x

y'=1 − cos x ≥ 0, x R y'(2πn) = 0.

		0			x
2. Локальный экстремум функции Рис. 6.15
TОпределение 6.4.T Функция f (x) имеет в					точке x0	максимум, если
существует	окрестность		точки	(x0 −δ; x0 +δ) ,		в	которой
f (x0 ) > f (x), x (x0 −δ; x0 +δ) ,			при этом	f (x0 )	называется	fmax .	Аналогично

определение минимума. Функция может иметь несколько экстремумов, это понятие локальное.

271

Необходимое условие экстремума. Если y = f (x) достигает экстремума в точке x0 и существует конечная производная f (x0 ) , то f ′(x0 ) = 0 . Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Ферма.

Следствие. Точки, в которых функция имеет экстремум, следует искать среди точек, в которых f ′(x) = 0 , либо ∞, либо не существует. Такие точки называются критическими.

Замечание 6.13. Необходимое условие экстремума не является достаточным для

его существования

y	y
y
	x
f ′(0)= 0	0	x0	x
		x0	x

Рис. 6.16

f '(x0 ) = ∞

				Рис. 6.17
f '(0) = 0
f '(0) = 0
Достаточные условия				существования
экстремума		0	x0 B	x
1-ое	правило (по	0	x0 B	x	производной):
1-ое	правило (по	1-ой	f ′(x0 )		производной):
если при	переходе	через	f ′(x0 )		критическую
если при	переходе	через	Рис. 6.18		критическую
точку x0 , f ′(x) меняет знак, то				в	точке	x0

функция достигает экстремума; если смены знака нет – нет экстремума.

Доказательство. Пусть f ′(x0 −δ )> 0 - это достаточное условие возрастания функции, f ′(x0 +δ )< 0 - условие убывания f (x0 )= fmax . Аналогично для минимума.

272

y y

f ′(x0 )=∞

f ′(x0 )= 0

f′(x0)=0

f′(x0)

+ -

+ - +

f ′(x0 )

f ′(x0 )= ∞

f (x0 )= fmax

Рис. 6.19

2-ое правило (по 2-ой производной): если в критической точке x0 f ′′ < 0 ,

то f (x0 )= fmax . Если

f ′′(x0 )> 0 , то

f (x0 )= fmin . Это правило имеет более узкий

круг применения: только для критических точек, в которых первая производная равна нулю, а вторая имеет определенный знак.

Доказательство. Пусть		f ′(x0 )	= 0	и существует	непрерывная			f ′′(x)	в
окрестности точки	x0 , при	этом	f ′′(x)> 0 в точке		x0	и ее	окрестности.
Следовательно f ′(x) является возрастающей функцией в окрестности x0
	f ′(x0 −δ )< f ′(x0 )= 0, f ′(x0 +δ )> f ′(x0 )= 0
т.е. f ′(x)меняет знак с минуса на плюс и по 1-му правилу в точке								x0 f (x)
достигает минимума. Аналогично доказывается случай максимума.
3-е правило (примем без доказательства):
если f ′(x0 )= f ′′(x0 )=... = f (n−1) (x0 )= 0,				f (n) (x0 )≠ 0 ,	то	при	n = 2k +1		в
критической точке	x0 нет экстремума,			при n = 2k и	f (2k ) (x0 )< 0		в точке		x0

функция достигает максимума, а при f (2k ) (x0 )> 0 - минимума.

Пример 6.24.

f (x)= ex + e−x − x2 , f ′(x)= ex − e−x − 2x f ′(0)= 0 x0 = 0

273

f ′′(x) = ex + e−x − 2, f ′′(0) = 0,

f ′′′(x)= ex − e−x ,	f ′′′(0)= 0,
f IV (x)= ex + e−x ,	f IV (0)= 2 > 0 f (0)= 2 = fmin

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

(глобальный экстремум, или оптимум)

Пусть y = f (x)определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда по 2-ой теореме Вейерштрасса (см. свойства функций, непрерывных на отрезке) она достигает своего наименьшего и наибольшего значений.

Замечание 6.14. Если x0 единственная внутренняя критическая точка отрезка и в ней максимум или минимум, то f (x0 )= M (или m). Если внутри отрезка [a,b] несколько критических точек, то M - наибольшее из значений функции в этих критических точках и на концах отрезка, а m - наименьшее из этих значений.

Пример 6.25. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

(

)

(

− x2

)(

)

[

]

= 1

1+ 2x2

−1,1 .

Решение. Из необходимого условия для экстремума находим критические точки – корни

производной:

f ′(x) = 2x(1− 4x2 ),

x1 = 0, x2 = 0,5, x3 = −0,5

- все они внутри отрезка.

Находим

значения

функции

этих точках и

на

границах отрезка:

f (

0) =1,

f (−0,5) = f

(

0,5) =1,125,

f (−1) = f (1) = 0 M =1,125,m = 0 .

-1	0	0,5	1	x

Рис. 6.20

274

Характер выпуклости кривой. Точки перегиба

Пусть кривая y = f (x)в точке x0 имеет невертикальную касательную, т.е. f ′(x0 ) - конечна.

TОпределение 6.5.T Если существует окрестность точки x0 , в которой кривая расположена над касательной, то в этой окрестности кривая называется выпуклой вниз или вогнутой вверх (или просто - вогнутой). Если в окрестности точки кривая расположена под касательной, кривая называется выпуклой вверх (или просто выпуклой). Если при переходе через точку x0 кривая пересекает касательную, то x0 называется точкой перегиба. Наиболее распространенный случай точки перегиба: с одной стороны от x0 кривая лежит над касательной, с

другой – под касательной, или наоборот.

y		y		y

Рис. 6.21

TТеорема 6.8. T(Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика

функции).

Если в точке x0 и ее окрестности

f ′′(x) > 0 , то в точке x0 кривая выпукла

вниз (вогнута), если

f ′′(x)< 0 - выпукла вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть f ′′(x) > 0 в точке x0

и ее окрестности – надо доказать, что при

этом кривая

y = f (x)

лежит над касательной к кривой в точке

x0 . Используем возможный

при этом график

275

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3528 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]