Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

Решение. По формуле (6.18) ∆y ≈ dy = (x3 − 4x2 + 4x + 3)′∆x = (3x2 −8x + 4)∆x .

dy ∆x0x==10,03 = (3 1 −8 1 + 4) 0,03 = −0,03 .

Следовательно, приращение функции ∆y ≈ −0,03.

Найдем погрешность, которую допустили, заменив приращение функции в точке ее дифференциалом.

∆y = (x + ∆x)3 − 4(x + ∆x)2 + 4(x + ∆x) + 3 − (x3 − 4x2 + 4x + 3) = x3 + 3x2∆x +

+3x(∆x)2 + (∆x)3 − 4x2 −8x∆x − 4(∆x)2 + 4x + 4∆x + 3 − x3 + 4x2 − 4x − 3 =

=∆x(3x2 + 3x∆x − 4∆x + (∆x)2 −8x + 4).

∆y x=1 = 0,03 (3 1 + 3 1 0,03 − 4 0,03 + 0,032 −8 1 + 4) = −0,030873.

∆x=0,03

Абсолютная погрешность приближения

∆y − dy = − 0,030873 − (−0,03) = 0,000873 .

Относительная погрешность приближения

5 31 ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x = 2 + 801 (−1) = 15980 =1,9875.

Если принять εx =1, то абсолютная погрешность вычисления значения функции

ε y < f ′(x0 ) εx = 801 = 0,0125.

256

Относительная погрешность вычисления

§ 13. Дифференциалы высших порядков

Дифференциал dy функции y = f (x) есть функция двух переменных:

независимой переменной x и ее дифференциала dx , причем dx не зависит от x , т.к. при данном значении x значения dx могут выбираться произвольно. Считая

y = f (x) называется дифференциал от дифференциала (n - 1) - го порядка: d (n) y = d (d (n−1) y)= d (d (n−1)f (x)).

Можно установить для дифференциала n - го порядка справедливость формулы d (n) y = f (n) (x)dxn .

Отсюда следует, что

257

f (n) (x) = d (n) y , dxn

т.е. производная n - го порядка равна отношению дифференциала n - го порядка к n -ой степени дифференциала независимой переменной. В частности, при n = 1,2,3, получим:

Сравнивая формулы (6.22) и (6.23) убеждаемся, что в случае сложной функции в формуле дифференциала 2-го порядка появляется второе слагаемое fx′(x)d 2 x .

Покажем, что формула (6.22) является частным случаем формулы (6.23), когда x - независимая переменная. Ясно, что если x - независимая переменная, то

d 2 x = x′′dx2 = 0 dx2 = 0

и формула (6.23) переходит в (6.22).

Итак, если x перестает быть независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам.

Пример 6.12. Найти дифференциал 2-го порядка функции y = a sin(bx + c) ,

где x - независимая переменная.

Решение. dy = f ′(x)dx = abcos(bx + c)dx .

258

(6.23) получаем

d 2 y = 6xdx2 + 3x2 12t 2dt 2 = 6(t 4 +1)(4t3dt)2 + 36t 2 (t 4 +1)2 dt 2 = =12t 2 (t 4 +1)(8t 4 + 3t 4 + 3)dt 2 =12t 2 (t 4 +1)(11t 4 + 3)dt 2 .

Эту задачу можно решить другим способом: y = x3 и x = t 4 +1 то y = (t 4 +1)2 . Тогда

y′ = 3(t 4 +1)2 4t3 =12t3 (t 4 +1)2

y′′ = 36t2 (t4 +1)2 + 24t3 (t4 +1) 4t3 =12t2 (t4 +1)(3t4 + 3 +8t4 )= =12t2 (t4 +1)(11t4 + 3);

d 2 y =12t2 (t4 +1)(11t4 + 3)dt2 .

§ 14. Теоремы о среднем значении

Под таким общим названием собраны несколько теорем о дифференцируемых функциях, которые применяют для оценки значений функций, производных и пределов.

TТеорема 6.2. TТеорема Ферма. Пусть функция y = f (x) определена при

x (a,b) и в некоторой внутренней точке этого интервала x = c (a,b) достигает

своего наибольшего (наименьшего) значения, т.е. f (c) > f (x) или f (c) < f (x) .

259

Геометрический смысл теоремы Ферма иллюстрирует график

f ′(c) ≠ 0 , она бесконечна.

TТеорема 6.3.T Теорема Ролля. (О корнях производной). Если функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке и дифференцируема при

260

x (a,b) , а на концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b) , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка x =ξ , такая, что f ′(ξ) = 0.

Доказательство теоремы Ролля аналогично доказательству теоремы Ферма, т.к. функция, непрерывная на отрезке, имеет на этом отрезке своё наименьшее и

y = f (x) .

TЗамечание 6.3.T Все условия теоремы Роля существенны, что легко обнаружить на графиках:

y

f (a)≠ f (b)

x

261

в точке x = c разрыв f (x)

y

Рис. 6.13

- при нарушении одного из условий теоремы Роля ни в одной внутренней точке отрезка нет горизонтальной касательной.

TТеорема 6.4. TТ. Лагранжа (о конечных приращениях). Если функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема

при x (a,b) , то существует хотя бы одна внутренняя точка ξ отрезка, такая, что f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b − a) , где ξ = a +θ(b − a) , 0 <θ <1.

Доказательство теоремы Лагранжа основано на рассмотрении вспомогательной функции, удовлетворяющей условиям теоремы Роля – его не будем приводить, т.к. используем аналогичное доказательство теоремы Коши, представляющей собой обобщение теоремы Лагранжа.

262

TЗамечание 6.6.T Возможно, предел отношения производных не существует, а

предел отношения функций существует.

264

Лопиталя неприменимо. Раскроем неопределённость без него:

TЗамечание 6.7.T Правило Лопиталя можно применять несколько раз.

TЗамечание 6.8.T Правило Лопиталя применимо и при x → ∞. Аналогично

Раскрытие “неопределённостей” вида 0 ∞

Для использования правила Лопиталя предварительно преобразуют произведение

265