Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

функция y = x , непрерывна в точке x = 0 , но не является дифференцируемой в этой точке,

т.к. f ′(0 − 0)≠ f ′(0 + 0).

Рассмотрим

функцию

y = 3

x ;

она

определена и

непрерывна

x R .

Найдем

производную этой функции

f '(x) = lim

3 x + ∆x − 3 x

= lim

x + ∆x − x

∆x

∆x(3 (x

+ ∆x)

+ 3 x(x

+ ∆x) +

)

∆x→0

= lim

1 .

∆x→0 3 (x + ∆x)2 + 3 x(x + ∆x) + 3 x2

33 x2

В точке x = 0 f ′(0)= ∞, т.е. не существует конечной производной в точке

х = 0.

§ 6. Основные правила дифференцирования

Пусть функции

u (x) и v(x)

дифференцируемы x (a,b).

1. Производная алгебраической суммы

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых

функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Доказательство.

Рассмотрим

функцию

y = u (x)+ v

(x).

Дадим

фиксированному значению

х приращение

∆х,

тогда

функции

u (x)

v(x)получают приращения, соответственно равные

∆u и

∆v ,

и функция

получает приращение ∆y = ∆u + ∆v .

По определению

y'= lim

∆x

= lim

∆u + ∆v

= lim

∆u + lim

∆v

∆y

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

Т.к. функции u (x) и v(x) дифференцируемые, то

lim

∆u

= u′,

lim

∆v = v' .

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

Окончательно получим

236

y	′	′	= u	′	+ v	′	(6.6)
		= (u + v)

2. TПроизводная произведения двух дифференцируемых функцийT

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый, т.е. если y = uv , то y′ = u′v + v′u .

Доказательство. Пусть y = u (x)v(x). Если х получает приращение ∆x , то функции

y, u, v получают приращения			соответственно
∆y = (u + ∆u)(v + ∆v)−uv = v∆u + u∆v + ∆u∆v .
lim	∆y	= vlim	∆u	+ u lim	∆v
∆x→0	∆x	∆x→0	∆x	∆x→0	∆x

∆y, ∆u, ∆v . При этом

+ lim ∆u lim∆v .

∆x→0 ∆v ∆x→0

Учитывая, что

lim	∆y	= y',	lim	∆u	= u',			lim	∆v = v',	lim∆v = 0
∆x→0	∆x		∆x→0	∆x				∆x→0	∆x	∆x→0
(так как функция v = v(x) непрерывна), окончательно получим:
					y	′	=	′	′	′	(6.7)
					y		=	(uv) = u v + v u .			(6.7)

Правило дифференцирования произведения двух функций распространяется на произведение любого конечного числа функций. Так, например,

y′ = (uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′,

т.е. производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные.

В частности, если v = c (c −const ), то
	′	′	′	′	,	(6.8)
	(cu)	= c u + cu		= cu	,	(6.8)
′	= 0 . Отсюда следует, что постоянный множитель можно выносить за
так как c

знак производной.

3. Производная частного функций

Производная дроби (частного двух дифференцируемых функций) равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя данной дроби, а числитель равен разности между произведением производной числителя на

237

знаменатель и произведением числителя на производную знаменателя, т.е., если y = uv , где v ≠ 0 , то

= u'v − uv' y' v2 .

Доказательство. Пусть u = u (x) и v = v(x) – дифференцируемые функции, v(x)≠ 0 .

Дадим фиксированному значению аргумента х приращение ∆x , и найдем приращение функции

у:

∆y = u + ∆u − u	= v∆u − u∆v .
v + ∆v v	v(v + ∆v)

Тогда

			∆u		∆v
lim	∆y	= lim	v ∆x	− u	∆x	=
lim	∆x	= lim	v(v + ∆v)			=
∆x→0	∆x	∆x→0	v(v + ∆v)

vlim	∆u	− u lim	∆v
∆x→0	∆x	∆x→0	∆x	.
v lim (v + ∆v)				.
v lim (v + ∆v)
∆x→0

Следовательно,

u ′	=	u 'v −uv'
y ' =	=	v	2	(6.9)
v		v

4. Производная сложной функции
Пусть y = f (u), u = u (x), тогда у						является сложной функцией независимой
переменной	x,	u – промежуточная функция. При этом известна производная
функции u (x)		в точке	х	и производная функции					f (u) в	точке	u ,
соответствующей точке х.
Тогда	y′ =	fu′(u)u′(x).
Доказательство. Дадим фиксированному значению аргумента х приращение ∆x . Этому
приращению соответствует			приращение		∆u	функции u (x)		и приращение		∆y функции
y = f (u). Составим отношение
				∆y	=	∆f	∆u .
				∆x		∆u	∆x
При	∆x → 0 приращения			∆u ,	∆f		стремятся к	нулю.	Так как	u (x),	f (u)
дифференцируемые функции, то

238

lim	∆u	= u′(x), lim	∆f	= fu′(u) .
∆x→0	∆x	∆x→0	∆u
Следовательно, если y = f (u(x)) , то
		y ' = fu′(u)u′(x)			(6.10)

Итак, производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по x.

5. Производная обратной функции

Пусть функция y = f (x) монотонна на отрезке [a,b]. Функции y = f (x) и x =ϕ( y) - взаимно обратные дифференцируемые функции и y′x ≠ 0. Тогда

′

xy =

y′x

Доказательство. Так как

∆x

, то

lim

∆x

. Откуда следует

∆y

lim

∆y

∆y→0

∆x

∆x→0

′

(6.11)

y′x

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

§ 7 Производные основных элементарных функций

1. Производная логарифмической функции
Пусть y = loga x , где a > 0, a ≠1. Дадим		фиксированному значению
x D( y) приращение ∆x , тогда
∆y = loga (x + ∆x)− loga x = loga	x + ∆x			∆x
		= loga 1	+	.
	x	= loga 1	+	.
	x			x

По определению

239

∆x

∆y

loga 1+

∆x

y ' = lim

= lim

loga lim 1

loga e =

∆x

xln a

∆x→0

Итак,

y = loga

y'= 1 loga e

xln a

Для сложной функции y = loga u(x)

y'=

loga e u'(x) =

u'(x) .

u(x)

u(x)ln a

В частном случае при a = e

y = ln u(x) y'=

u'(x) .

u(x)

2. Производная степенной функции

Пусть

y = (u(x))n ,

n R .

Рассмотрим

случай,

когда

u (x)> 0 .

Тогда

ln y = nlnu(x). Дифференцируем обе части полученного равенства по правилу

дифференцирования сложной функции, считая y функцией от x:

′

y′

nu′(x)

′

nu′(x)

n−1

′

(ln y)

= n(ln u(x))

u(x)

= y u(x)

= n(u(x))

u (x) .

Пусть u (x)< 0 , тогда функцию y = (u(x))n

представим в виде y = (−1)n (v(x))n , где

v(x) > 0; y

′

= (−1)

n(v(x))

n−1

′

= n(u(x))

n−1

′

(x)

(x) .

Итак,

y = (u(x))

′

= n(u(x))

n−1

′

u (x) .

3. Производная показательной функции

Пусть

y = au( x) ,

где

a > 0,

a ≠1,

u (x) - непрерывная функция. Тогда

ln y = u (x)ln a . Дифференцируем обе части полученного равенства:

y′

′

= a

u( x)

ln a .

= u (x)ln a

Итак,

y = au( x)

y'= au( x) ln au'(x) .

240

4. Производные тригонометрических функций

В примере 6.2 было получено

y = sin x

y′ = cos x .

Для сложной функции

y = sin u (x)

y'= cosu(x)u'(x) .

Пусть y = cos x . Дадим фиксированному значению x приращение ∆x , тогда

∆y = cos(x + ∆x) − cos x = −2sin x +

∆x

sin

∆x .

По определению

∆y

sin ∆x

∆x

y′=lim

= − lim

∆x

sin x +

= − sin x .

∆x→0

∆x

Итак,

y = cos x

y′ = −sin x .

Для сложной функции

y = cosu(x)

y'= −sin u(x)u'(x) .

Пусть y = tgx ; так как

tgx = sin x ,

то по правилу дифференцирования частного,

cos x

получим

sin x ′

cos xcos x −sin x(−sin x)

y ' =

cos

cos x

Итак,

y = tgx

y'=

cos2 x

Для сложной функции

y = tgu(x)

y'=

u'(x)

cos2 u(x)

Аналогично для y = ctgx

cos x ′

−sin xsin x −cos xcos x

y ' =

= −

sin

sin x

241

Итак,

y = ctgx

y'= −

sin2

Для сложной функции

y = ctgu(x)

y'= −

u'(x)

sin2 u(x)

5. Производные обратных тригонометрических функций

Пусть

y = arcsin x

имеет

обратную

функцию

x = sin y ,

−

≤ y ≤ π

−1 ≤ x ≤1, x′y = cos y

не

обращается

нуль

−

По

правилу

дифференцирования обратной функции имеем

y′x =

cos y

1−sin2 y

x′y

1− x2

−

cos y > 0 , поэтому перед квадратным корнем выбран знак

В интервале

“+”.

Итак,

y = arcsin x

y'=

1 .

1 − x2

Для сложной функции

y = arcsin u(x)

y'=

u'(x) .

− u2 (x)

Аналогично доказывается

y = arccosu(x)

y'= −

u'(x) .

1 − u2 (x)

Пусть y = arctgx,

x = tgy , −

< y <

π , − ∞ < x < +∞. Имеем

y′x

= cos2

y =

(tgy)'

+ x2

x′y

+ tg 2 y 1

Итак,

242

y = arctgx

y'=

1 + x2

Для сложной функции

y = arctgu(x)

y'=

u'(x)

+ u2 (x)

Аналогично доказывается

y = arcctgu(x)

y'= −

u'(x)

1 + u2 (x)

6. Производные гиперболических функций

Пусть y = shx , тогда

(shx)′ = ex − e−x

′ =

(ex + e−x )= chx .

Итак,

y = shx

y'= chx .

Для сложной функции

y = shu(x)

y'= chu(x)u'(x) .

Поступая аналогично, найдём производные остальных гиперболических

функций.

y′ =

−x

′

−x

y = chx

+ e

= e

− e

= shx ,

y = thx

y′ =

shx ′

chxchx − shxshx

chx

y = cthx

chx

′

shxshx − chxchx

y ' =

= −

shx

Полученные ранее правила дифференцирования и формулы объединим в таблицы.

Таблица основных правил дифференцирования функций

1.	y = c y′ = 0 .
2.	y = cu y′ = cu′.

243

y = u + v

′

= u

′

+ v .

y = uv

′

= u v +uv .

′

u v

−uv

y = v

y = f (u), u = u (x)

y′ = fu′(u)u′(x).

y = f (x)

x =ϕ(y)

y′x =

x′y

Таблица производных основных элементарных функций

1.	(un )'= nun−1u',			n R .
2.	(au )'= au ln au',			a > 0,	a ≠1.
3. (eu )′ = euu' .
4.	(loga u)'=	u'	,	a > 0,	a ≠1.
4.	(loga u)'=	u ln a	,	a > 0,	a ≠1.
		u ln a

5.(lnu)'= uu' .

6.(sin u)'= cosu u'.

7.(cosu)'= −sin u u'.

8. (tgu)'=		u'			.
8. (tgu)'=					.
		cos2 u
9. (ctgu)'= −				u'			.
9. (ctgu)'= −							.
			sin 2 u
10.	(arcsinu)'=					u' .
				1		− u2
11.	(arccosu)'= −							u' .
							1 − u2
12.	(arctgu)'=				u'			.
12.	(arctgu)'=			1 + u2				.
				1 + u2
13.	(arcctgu)'= −						u'		.
13.	(arcctgu)'= −								.
					1 + u2
14.	(shu)'= chu u' .

244

15.(chu)'= shu u' .

16.(thu)'= chu2'u .

17.(cthu)'= − shu2'u .

§ 8. Дифференцирование неявных функций

Пусть функция y = f (x) задана уравнением F (x, y)= 0 т.е. уравнением,

связывающим независимую переменную x c функцией y, не разрешенным относительно y . В этом случае говорят, что функция y = f (x) задана неявно.

Производную от функции F (x, y)= 0 можно найти дифференцированием по х обеих частей этого уравнения с учётом того, что y есть функция от x. Полученное после дифференцирования уравнение будет содержать x, y, y′.

Разрешая его относительно y′, найдём производную y′ функции y = f (x).

Пример 6.3. Найти производную		функции x +		xy + y = a , заданной неявно.
Решение.	Дифференцируя по	x	данную неявную функцию,			получим:
1 + y + xy' + y'= 0 .	Отсюда 2 xy + y + y '(x + 2			xy )= 0 , y′ = −	y + 2	xy	.
					x + 2
2 xy						xy

Выражая xy из уравнения через x и y

xy = a − x − y ,

получим:

y'= − 2a − 2x − y . 2a − 2 y − x

Отметим, что y'=ϕ(x, y).

245

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]