Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

В этом случае δ зависит только от ε и может быть указано до выбора точки x0 : δ годится для всех x0 одновременно.

Равномерная непрерывность означает, что во всех частях промежутка достаточна одна и та же степень близости двух значений аргумента, чтобы добиться заданной степени близости соответствующих значений функции.

Если f (x) равномерно непрерывна на X, то она непрерывна на этом промежутке. Обратное утверждение не всегда справедливо. Условие, при котором непрерывная функция является и равномерно непрерывной определяется следующей теоремой о равномерной непрерывности.

TТеорема 5.25.T (Кантора). Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

TЗамечание 5.5. TРассмотренная в разделе теория пределов и непрерывности функций является основой для построения дифференциального и интегрального исчисления функций.

226

РАЗДЕЛ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Определение производной

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности

фиксированной точки x0 , и пусть x – произвольная точка этой окрестности. Тогда x − x0 = ∆x - приращение аргумента (положительное или отрицательное) такое,

что x0 + ∆x 0δ (x0 ), и приращение функции в точке xB0B выразится формулой

x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. Производную функции y = f (x) в

Таким образом, производная при данном значении x = x0 , если существует - есть определенное число; если же производная существует в произвольной точке x, то

то говорят, что в точке x существует бесконечная производная, равная соответственно +∞, - ∞, ∞.

227

то он называется соответственно, конечной или бесконечной правой (левой)

производной функции f (x) в точке x0 и обозначается f ′(x0 + 0)( f ′(x0 −0)).

Правая и левая производные называются односторонними производными.

f ′(x0 − 0) существуют и равны между собой, причем

f ′(x0 )= f ′(x0 + 0)= f ′(x0 − 0).

Из определения производной следует схема ее нахождения:

1.фиксируется значение x аргумента функции;

2.фиксированному аргументу x D( f ) придается приращение ∆x ;

3.вычисляется приращение функции, соответствующее приращению аргумента, по формуле ∆y = f (x + ∆x)− f (x);

4.составляется отношение приращения функции к приращению аргумента

228

Мгновенная скорость изменения функции

ϑ = lim ∆f∆(x0 ) = f '(x0 ) ,

∆x→0 x

т.е. производная функции в точке равна мгновенной скорости изменения процесса, описываемого этой функцией. В этом состоит механический смысл производной.

229

На интерпретации производной как величины скорости изменения одной величины относительно другой основано применение производной к изучению физических явлений. Рассмотрим некоторые из них.

1.Пусть некоторая материальная точка движется неравномерно и задан закон ее движения s = s(t ), т.е. задана функция, устанавливающая зависимость

пути s от времени t. Тогда скорость движения точки в данный момент времени t

2. Пусть g = g (t ) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника; t – время. Тогда сила тока в данный момент t

3. Пусть дан неоднородный стержень длины l и пусть m = m(x) – масса части стержня длины x , 0 ≤ x ≤ l . Тогда линейная плотность стержня в данной точке x

§ 3. Геометрический смысл производной

Пусть на плоской кривой L задана точка M0 . Рассмотрим другую точку M

этой кривой и проведем секущую M0M (рис 6.1). Когда точка M движется по кривой к точке M0 , то секущая будет поворачиваться вокруг точки M0 .

230

yB

231

§ 4. Уравнения касательной и нормами. Угол между кривыми

Пусть кривая задана уравнением y = f (x). Угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x0 , y0 ), равен k = f ′(x0 ). Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

y − y0 = k (x − x0 ).

Но касательная – это прямая, у которой k = f ′(x0 ). Следовательно, y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 )

(6.4)

является уравнением искомой касательной.

Нормалью к кривой в точке M0 называется прямая, проходящая через точку

M0 перпендикулярно к касательной к кривой в этой точке.

232

знак + указывает, что секущая M0M образует с осью OX острый угол, независимо от того, слева или справа от точки M0 расположена точка М (рис 6.3) и при

острым. Таким образом, предельным положением секущей будет касательная в точке M0 , перпендикулярная оси ОХ, т.е. уравнение касательной x = x0 .

Предположим, что

касательная будет перпендикулярна оси ОХ и ее уравнение x = x0 .

233

Действительно, пусть существует предел слева равный -∞, и предел справа, равный +∞ (рис. 6.6), или же существует предел слева, равный +∞ и предел справа, равный -∞ (рис.6.7). Тогда при приближении точки М только слева к неподвижной точке M0 секущая имеет предельной положение – вертикальную прямую, и при приближении точки М только справа, независимо от того будет ли предельное значение tgϕ равно +∞ или -∞, секущая снова имеет предельным положением вертикальную прямую. Так как через точку M0 (x0 , f (x0 )) проходит

лишь одна вертикальная прямая, то оба предельных положения совпадают и,

234

следовательно, кривая имеет в этой точке вертикальную касательную, уравнение которой x = x0 . Особенностью графика этого случая является наличие острия,

направленного вверх или вниз.

За угол между двумя кривыми принимают угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения.

Кривые, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

§ 5. Дифференцируемость функции

Функция y = f (x), имеющая производную в точке x0 , называется дифференцируемой в этой точке. Функция y = f (x), дифференцируемая в каждой точке интервала (а, в), называется дифференцируемой на этом интервале.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в данной точке устанавливает

TТеорема 6.1. TЕсли функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке x0 B Bприращение ∆x , не равное нулю. Ему соответствует некоторое приращение функции ∆y . Рассмотрим

откуда и следует непрерывность функции y = f (x) в точке хB0B.

Таким образом, непрерывность функции в точке является необходимым условием существования производной функции в этой точке.

Утверждение, обратное теореме, не верно, т.е. из непрерывности функции y = f (x) в

точке x0 еще не следует ее дифференцируемость в этой точке. Например, рассмотренная ранее

235