Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

в степень бесконечно больших или бесконечно малых переменных величин. В таких случаях уже недостаточно знать лишь пределы последовательностей

(xn ) B Bи (yn ) или функций f (x) и g (x), но необходимо учитывать и самый закон

их изменения, характер поведения в окрестности предельной точки. Для вычисления таких пределов приведенные теоремы неприменимы, проводится исследование выражений, которое называют раскрытием неопределенности, и только после этого можно применять указанные выше правила операций предельного перехода.

Рассмотрим подробнее пример одной неопределенности 00 , возникающей при

этом случае, хотя нам известны пределы (xn ) B Bи (yn ), но о пределе их

отношения, не зная самих этих вариант, никакого общего утверждения сделать нельзя. Этот предел, в зависимости от частного закона изменения каждой из переменных, может иметь различные значения или даже вовсе не существовать.

В самом деле, пусть xn = n12 , yn = 1n ; обе варианты стремятся к нулю и их

не имеет предела.

Подобные обстоятельства возникают и в случае других неопределенностей, будь то последовательности или функции.

Приведем некоторые рекомендации по раскрытию неопределенностей.

Основная трудность раскрытия неопределенности 00 состоит в выделении

множителя (x − x0 )α в числителе и знаменателе дроби, если x → x0 . Если дробь

рациональная, то числитель и знаменатель раскладывают на множители. Если дробь содержит иррациональные выражения, то выделение подобных множителей достигается переводом иррациональностей в числитель или знаменатель. Если дробь содержит тригонометрические функции, то используют первый замечательный предел или эквивалентные бесконечно малые

206

функции, о которых говорится ниже. Кроме того, полезными оказываются пределы

Неопределенность вида 1∞ раскрывается с помощью второго замечательного предела, который приводится ниже.

Для раскрытия неопределенностей 00 , ∞0 применяют логарифмирование

выражений или правило Лопиталя, которое будет рассмотрено ниже в разделе “Дифференциальное исчисление функции одной переменной”.

§ 6. Первый и второй замечательный пределы

Установим два важных предела, которые используются при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей.

TТеорема 5.14.T Справедливо равенство

207

Рис. 5.2

208

lim sin x =1.

x→0 x

Предел (5.3) называют первым замечательным пределом. Он используется для раскрытия некоторых неопределенностей вида 00 .

TЗамечание 5.3. TИз равенства (5.3) можно легко получить

возрастающая. Кроме того, заменяя в формуле (5.4) все множители в скобках единицами, найдем с учетом формулы суммы геометрической прогрессии

Предел этой последовательности называют числом е. Число е является иррациональным

209

Предел (5.5) - (5.7) называют вторым замечательным пределом, его применяют, например, для раскрытия неопределенностей вида 1∞ .

При вычислении этого предела прежде всего убеждаемся, что имеем неопределенность 1∞ , а затем преобразуем выражение с целью применить второй замечательный предел.

B B

210

§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Приведём равносильные определения БМФ по Коши (на языке “ε-δ”) и по Гейне (“на языке последовательностей”).

TОпределение 5.33. TФункция y = f (x) называется бесконечно малой при

аргумента x , отличных от x0 , соответствующая последовательности ( f (xn ))

значений функции стремится к нулю.

БМФ принято обозначать α (x), β (x), γ (x)... .

211

БМФ и ББФ обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые и бесконечно большие последовательности соответственно. Укажем некоторые основные свойства БМФ и проведём их сравнение.

α(x) f (x) = α(x) f (x) < Mε M = ε , т.е. α(x) f (x) при условиях теоремы есть БМФ.

предел при x → x0 , неравный нулю, также есть БМФ.

Поведение функции вблизи точки x0 , в которой функция, как правило, не определена, называют асимптотическим поведением функции в окрестности этой

212

точки. Асимптотику обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значение изучаемой функции.

называют БМФ одного порядка малости при x → x0 .

TТеорема 5.17.T Предел отношения двух БМФ равен пределу отношения эквивалентных им функций, т.е., если при x → x0 α1 (x) ≈α2 (x) ,

Теорема используется при вычислении пределов, где бесконечно малые величины заменяют более простыми, эквивалентными им.

213

называют БМФ более высокого порядка малости по сравнению с функцией β(x) ;

одновременно β(x) - БМФ низшего порядка малости, чем α(x) . Символически это записывается так: α(x) =o(β(x)) при x → x0 , читается: α(x) есть o малое от

k > 0, то α(x) называется функцией k -го порядка малости по сравнению с β(x) .

В частности, если α(x) и (β(x))k эквивалентные БМФ при x → x0 , то α(x) -

функция k -го порядка малости по сравнению с β(x) .

Аналогичным образом сравниваются и ББФ при x → x0 . В частности, α(x) -

ББФ более высокого порядка при x → x0 в сравнении с ББФ β(x) , если

α(x) - функция k -го порядка роста по сравнению с β(x) , и т.д.

214

TЗамечание 5.5.T Все правила сравнений функций остаются справедливыми и для больших значений аргумента, т.е. при x →+∞ или x →−∞.

Если выбрана основная БМФ α (x), то простейшими БМФ считают

TОпределение 5.39. TПростейшая БМФ c(α (x))k , эквивалентная данной БМФ

β(x), называется ее главной частью.

Приведенные свойства БМФ и ББФ используются при раскрытии неопределенностей.

§8. Непрерывность функции

СпоTнятием предела функции тесно связано другое важное понятие математичесTкого анализа – понятие непрерывности функции.

Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связано с такой функцией, график которой – непрерывная линия.

Рассмотрим функцию y = f (x), определенную в некоторой окрестности

O(x0 ) точки хB0B, для которой хB0 Bявляется точкой сгущения, при этом сама точка хB0B

принадлежит области определения функции. При определении предела функции при x → x0 B Bподчеркивалось, что значения хB0B переменная х не принимает, это

215