Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

точки a ) ни взять, все точки xn B, Bначиная с некоторого xn0 , должны попасть внутрь этого промежутка, так что вне его может остаться разве лишь конечное число этих точек. Сама точка, изображающая предел a , является как бы средоточием сгустка точек, изображающих значения варианты. По определению несущественно, лежат ли значения варианты по одну сторону или по разные стороны от точки a , приближаются ли они с каждым большим номером к своему пределу или нет, достигают ли своего предела. Существенно лишь то, что члены последовательности должны отличаться от предела сколь угодно мало для достаточно больших номеров n.

TЗамечание 5.2.T Находить пределы по определению сложно, неудобно, для

этого применяют различные приемы, основанные на свойствах пределов.

196

Согласно определениям (5.15)-(5.17) БМП имеет пределом число 0, а ББП имеет бесконечный предел (+∞, − ∞ или ∞) .

Используя понятие БМП, можно сформулировать следующее утверждение: чтобы последовательность (xn ) имела своим пределом число a , необходимо и достаточно, чтобы разность αn = xn − a между членами последовательности xn B Bи

числом a была бесконечно малой.

Таким образом, если варианта xn B Bимеет пределом число а, то она может быть представлена в виде xn = a +αn , где αn B Bесть бесконечно малая, и обратно,

если xn B Bдопускает такое представление, то xn → a . Это свойство часто используют на практике для установления предела переменной.

Укажем некоторые свойства сходящихся последовательностей. TТеорема 5.2. TСходящаяся последовательность имеет только один

предел.

Доказательство. Предположим, что последовательность (xn ) сходится и имеет два различных предела а и b. Тогда элементы последовательности можно представить xn = a +αn B Bи xn = b + βn ,B Bгде αn ,B B βn – элементы бесконечно малых последовательностей (αn ) иB B (βn ).

Вычитая представления xn B, Bполучим xn - xn = (a +αn )−(b + βn ) = 0 αn − βn = b − a , т.е.

все элементы бесконечно малой последовательности αn − βn имеют одно и то же постоянное значение b − a , следовательно b − a = 0, b = a .

TТеорема 5.3.T Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть (xn ) - сходящаяся последовательность и lim xn = a . Тогда для

n→∞

последовательность (xn ) ограничена.

197

Ограниченность последовательности является необходимым, но не достаточным признаком её сходимости. Например, последовательность

((−1)n )= (−1,1,−1,1,...) ограничена, но не имеет предела. Достаточным признаком

сходимости последовательности является следующее утверждение:

TТеорема 5.4. TВсякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Монотонность ограниченной последовательности является только достаточным, но не необходимым условием её сходимости, существуют ограниченные немонотонные сходящиеся последовательности. Например,

монотонна.

Неограниченная возрастающая последовательность стремится к + ∞, а убывающая стремится к - ∞.

Укажем теперь общий признак существования конечного предела последовательности (xn ). Само определение предела для этой цели служить не может, так как в нём фигурирует уже тот предел, о существовании которого идёт речь. Этот признак сформулирован в следующей теореме, которую называют критерием или принципом сходимости числовой последовательности.

TТеорема 5.5. TДля того, чтобы последовательность (xn ) вообще имела конечный предел необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал

Суть дела в этом утверждении в том, что для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы элементы последовательности безгранично сближались между собой по мере возрастания их номеров.

198

Последовательность, удовлетворяющая условиям критерия сходимости, называется фундаментальной по Коши.

Введём ещё понятие подпоследовательности числовой последовательности.

Пусть некоторая последовательность, рассмотрим произвольную

возрастающую последовательность натуральных чисел n1,n2...nk ,... , и запишем соответствующие элементы из последовательности (xn ) : (xnk )= xn1 , xn2 ,..., xnk ,....

Полученную последовательность называют частичной последовательностью или

подпоследовательностью последовательности Здесь номером,

принимающем последовательно все натуральные значения, является число k, а nBkB представляет собой варианту, принимающую натуральные значения и стремящуюся к +∞ при возрастании k.

Из всякой последовательности можно извлечь монотонную подпоследовательность, а из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. B B

§ 4. Предел функции

Пусть функция y = f (x) определена на некотором множестве Х и точка хB0 PB Pпринадлежит или не принадлежит этому множеству, но в любой окрестностиP Pэтой точки содержатся точки множества Х, отличные от хB0B. Выражение “функция fP Pопределена на множестве Х” не означает, что указанное множество является областью определения функции, а лишь, что это множество принадлежит области определения ( X D( f ) ) и что в данном случае функция f рассматривается только на указанном множестве Х, т.е. по существу рассматривается лишь сужение функции f на множестве Х. Естественно, что для числовой функции одной действительной переменной множество Х есть некоторый промежуток на числовой прямой.

199

Для определения предела функции наряду с понятием окрестности (δ -

x0 , обладающая указанным выше свойством, называется точкой сгущения или точкой прикосновения множества Х.

Точка сгущения хB0B, вообще говоря, может и не принадлежать множеству Х. Например, на интервале (a, b) любая внутренняя точка является точкой сгущения, в то же время точки a и b, не принадлежащие (a, b), также являются точками сгущения данного промежутка.

Приведем теперь определения конечного предела функции y = f (x) при x → x0 . Первое определение, называемое “на языке последовательностей” или “по Гейне”, основано на уже установленном понятии предела последовательности.

функция y = f (x) может иметь в точке хB0B только одно предельное значение.

200

Другое определение (по Коши) называется “на языке ε – δ “.

y0 = limx x f (x) ε > 0 δ(ε) > 0 : x | 0 <| x − x0 | < δ | f (x) − y0 | < ε

→ 0

или

эквивалентны. В определениях предела предполагается, что точка x, приближаясь

201

любого ε > 0 существует δ (ε ) > 0 , такое, что при всех x, принадлежащих проколотой левой (правой) δ - окрестности точки хB0B, соответствующие значения функции попадают в ε - окрестность точки yB0B.

Пределы слева и справа соответственно обозначаются

В точке x0 функция y = f (x) может иметь и бесконечный предел.

TОпределение 5.25.T (на языке ε - δ). Предел функции y = f (x) при x → x0

называется бесконечным, если для любого положительного числа М существует

только положительные или только отрицательные значения , то это обозначают

Аналогично определяются B Bодносторонние бесконечные пределы.

При исследовании функции также рассматривают ее поведение при x → +∞ и x → −∞, где функция может иметь как конечный, так и бесконечный предел.

202

TОпределение 5.27. T(на языке последовательностей). Число yB0B называется

положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к y0 , обозначается

f(x) > M .

§5. Вычисление пределов

Вычисление пределов последовательностей и функций. Неопределенности, приемы раскрытия неопределённостей

203

Сформулируем теперь утверждения о пределах функций.

TТеорема 5.11.T Если в Oδ (x0 ) точки x0 для функций ϕ(x), f (x), g (x)

TТеорема 5.12.T Если в Oδ (x0 ) точки хB0 Bзадана сложная функция y = f (z (x)) и

Приведенные свойства пределов используют при вычислении пределов последовательностей и функций. В результате выполнения необходимых действий по вычислению предела общего члена последовательности или предела функции находим конечный или бесконечный предел или устанавливаем, что предел не существует. При этом во многих случаях приходится сталкиваться с выражениями, которые называют неопределенностями. К неопределенностям

относят выражения вида 00 , ∞∞ , 0 ∞ , ∞ − ∞, 00 , 0∞ , ∞0 , 1∞ . Они возникают при выполнении, например, действий вычитания, умножения, деления, возведения

205