Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3520 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

поэтому к последовательностям применимы многие понятия, характеризующие поведение функций. Определение тех или иных свойств функций или последовательностей позволяет проводить как можно более полное их исследование, построить графики функций. Рассмотрим вначале некоторые характеристики функций. Пусть D( f ) — область определения функции y = f (x).

TОпределение 5.3. T Функция y = f (x) называется чётной (нечётной), если

выполняются следующие условия:

1.Область её определения симметрична относительно точки x = 0 , т.е. для любой точки x D( f ) существует точка (− x) D( f );

2. Для любого x D( f ); выполняется равенство f (−x) = f (x) (f (−x) = − f (x)).

	Используя символы математической логики, свойство чётности или
нечетности функции можно записать так:
f (x)	- чётная функция x D( f ) : (−x D( f ) ∩ f (−x) = f (x));
f (x)	- нечётная функция x D( f ) : (−x D( f ) ∩ f (−x) = − f (x));
	Если хотя бы одно из условий определения не выполняется, то функция не
является ни чётной ни нечётной.
	Примеры 5.2. Функции f (x) = x2 , f (x) =	x	, f (x) = cos x	- чётные; функции

f (x) = x , f (x) = sin x , f (x) = 1 - нечётные; функции f (x)= x2				+ x +1, f (x) = ln x ,
	x

f (x)= xx2 ++1x sin x не являются ни чётными, ни нечётными.

По определению ось ОY является осью симметрии графика чётной функции, а начало координат - центром симметрии графика нечётной функции. При исследовании чётной (нечётной) функции достаточно изучить её при любых x > 0 из области её определения и продолжить это изучение по симметрии на x < 0 из области определения.

186

TОпределение 5.4.T Функция y = f (x) называется периодической, если для неё

существует такое число T ≠ 0 , что выполняются условия:
1.	При любом x из области определения функции числа x −T	и x +T также
	принадлежат области определения;
2.	f (x) = f (x − T ) = f (x + T ).
	Или:
f (x) - периодическая функция
T ≠ 0 : x D( f ) : (x ±T ) D( f ) ∩ f (x ±T ) = f (x).
	Число T ≠ 0 , прибавление которого к аргументу или вычитание из него не
меняет значение функции f (x), называется периодом функции,		при этом число

nT , n N также является периодом этой функции. Если существует наименьший положительный период функции, то его называют основным периодом. Для периодической функции достаточно провести её исследование и построить график на одном из интервалов длиной Т, а затем произвести параллельный

перенос его вдоль оси ОХ на			± nT , n N .
Примеры 5.3.	Функции	f (x) = sin x ,		f (x) = cos x , f (x) = tgx					периодические на
своих естественных областях определения соответственно с периодами 2π,2π,π .
Следует заметить, что если		f (x) периодическая с периодом					Т, то функция f (ω x) также
периодическая и её период равен			T . Функцию		f (x) = c	(с=const),		D( f ) = R можно также
			ω
отнести к периодическим, где		любое число		Т	является	периодом,		но	основного периода
функция не имеет.
TОпределение 5.5.T Функция y = f (x)					называется возрастающей (убывающей)
на множестве Х, если большему значению аргумента							х	из этого множества
соответствует большее (меньшее) значение функции у.
TОпределение	5.6.T	Функция		y = f (x)		называется			неубывающей

(невозрастающей) на множестве Х, если большему значению аргумента х из этого множества соответствует не меньшее (не большее) значение функции у.

Таким образом,

187

f (x) возрастает на Х x1 , x2 X : x2 > x1 f (x2 ) > f (x1 ); f (x) убывает на X x1 , x2 X : x2 > x1 f (x2 ) < f (x1 ); f (x) не убывает на X x1 , x2 X : x2 > x1 f (x2 ) ≥ f (x1 );

f (x) не возрастает на Х x1, x2 X : x2 > x1 f (x2 ) ≤ f (x1 ) .

TОпределение 5.7.T Возрастающие и убывающие на множестве Х функции

называется монотонным на этом множестве.

Иногда возрастающие, убывающие функции называют строго монотонными, а неубывающие, невозрастающие — монотонными в широком смысле.

Примеры 5.4. Функции f (x) = x ,

f (x) = 2

, P

f (x) = ln x

возрастают на их области

определения, функции

y = −x , y =

P Pубывают на их области определения, функция P P

f (x) = x

убывает при изменении х от − ∞ P

до 0 и возрастает, когда х возрастает от 0 до ∞ .

TОпределение

5.8.T Функция

y = f (x)

называется

ограниченной сверху

(снизу) на множестве X D( f ) , если существует такое число M (число m), что для любых x X выполняется условие f (x) ≤ M ( f (x) ≥ m ). Функция y = f (x)

называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Таким образом, f (x) ограничена сверху на X M R : x X f (x) ≤ M ; f (x) ограничена снизу на X m R : x X f (x) ≥ m;

f (x) ограничена на X m, M R : x X m ≤ f (x) ≤ M или f (x) ≤ M * , где

M * = max( m , M ).

TОпределение 5.9.T Функция y = f (x) называется неограниченной сверху

(снизу) на множестве X D( f ), если для любого числа M R найдётся x X

такое, что f (x) ≥ M ( f (x) ≤ M ) .

188

Примеры 5.5. Функция y = x2 ограничена снизу на её области определения, функция

у =	1	ограничена сверху на промежутке ( −∞,0), функция y = sin x ограничена при всех х,

	х
функция у = 1 не ограничена на её области определения.
		х
	При исследовании функции и построении графика также полезно определять

нули, промежутки знакопостоянства функции, множество значений, которые может принимать функция.

TОпределение 5.10. TНулем функции				y = f (x)	называют значение			x D( f ),
при котором функция обращается в нуль.
Таким образом, нули функции есть корни уравнения						f (x) = 0 . В нуле график
функции	имеет общую		точку с осью OX.		Промежутки,		где	функция
f (x) положительна		(отрицательна),		находят,		решая	неравенство
f (x) > 0	( f (x)< 0),	при	этом график	функции	располагается		соответственно
выше (ниже) оси OX.

Введем теперь понятия сложной функции (суперпозиции функций) и обратной функции.

Суперпозиция (наложение) функций состоит в том, что вместо аргумента данной функции подставляется некоторая функция от другого аргумента, причем таких вложений может быть и больше двух. Например, суперпозиция функций


z = sin x , y = ln z			дает функцию y = ln (sin x), аналогично, суперпозиция функций
z = x2 , u =	1	, y = arctgu есть функция y = arctg		1	.

	z			x2
Рассмотрим простейший случай суперпозиции двух функций в общем виде.
Пусть функция			y = f (z) определена на некотором множестве Z, а функция

z =ϕ(x)определена на множестве X, причем значения ее содержатся в множестве

Z. Тогда переменная y через	посредство z и сама является функцией от x:
y = f (ϕ(x)), функция ϕ(x)	называется промежуточной функцией. Здесь по

189

заданному x X сначала находят соответствующее ему (по закону ϕ ) значение z Z , а затем устанавливают соответствующее этому значению z (по закону f) значение y и считают его соответствующим выбранному x. Полученная функция от функции или сложная функция и есть результат суперпозиции функций ϕ(x) и

f (z).
Предположение, что значения функции ϕ(x)						не выходят за пределы того
множества	Z, на	котором	определена функция			f (z),	весьма существенно,
например,	если	y = ln z ,	z = sin x ,		то для функции		y = ln (sin x)следует
рассматривать лишь такие значения x,					для которых sin x > 0 , иначе выражение
ln (sin x) не имеет смысла, а для функции y = sin (ln x) должно быть x > 0 .
Пусть функция y = f (x) задана на некотором множестве X, а Y множество ее
значений.	Выберем	y = y0 Y ,		тогда в X необходимо найдется такое значение
x = x0 , при котором f (x0 )= y0 ,				причем подобных значений может оказаться и

несколько. Таким образом, каждому значению y из Y ставится в соответствие одно или несколько значений x, этим определяется на множестве Y соответственно

однозначная или многозначная функция x =ϕ(y),	которая и называется обратной
для функции y = f (x).
Приведем примеры 5.6. Пусть y = ax , a >1,	D(y) = X = (−∞;∞).Значения y

заполняют промежуток Y = (0;∞), причем каждому y из этого промежутка отвечает в X одно

определенное	x = loga y . Полученная обратная функция однозначная.		Для функции y = x2 ,
определенной	при всех x, обратная функция будет двузначной:		каждому	значению
y Y = (0;∞)	отвечает два значении x = ±	y из X. Вместо этой двузначной функции
обычно рассматривают раздельно две однозначные функции x = + y			и x = −	y (“ветви”
двузначной функции). Для функции y = sin x		в силу ее периодичности обратная функция
является многозначной.

190


Если функция		y = f (x) является		взаимооднозначным (биективным)
отображением	X на	Y, при котором каждому			элементу		y Y	ставится	в
соответствие	единственный элемент		x X	и наоборот, то на				множестве	Y
определена однозначная функция x =ϕ(y) или x = f −1 (y), обратная к f (x).
Очевидно, что		в этом случае	функции f		и	f −1	являются взаимно

обратными одна по отношению к другой. Функцию, имеющую обратную называют обратимой. Достаточным условием обратимости функции является ее монотонность.

TТеорема 5.1.T Если функция y = f (x) монотонна, то существует

обратная функция x = f −1 (y). При этом если f – возрастающая функция, то и f −1

возрастающая, а если f убывающая, то и f −1 убывающая функция.

Данное утверждение не является необходимым для существования обратной функции – существуют немонотонные обратимые функции.

По графику функции y = f (x) легко видеть, будет ли обратная для нее функция x =ϕ(y) однозначной или нет. Если любая прямая, параллельная оси

ОХ, пересекает график y = f (x) разве лишь в одной точке, то обратная функция однозначная. Если некоторые из таких прямых пересекают график в нескольких точках, то обратная функция многозначная.

Пусть y = f (x) монотонна на Х, т.е. для нее существует обратная функция x = f −1 (y). По существу эти две функции выражают одну и ту же зависимость между переменными x и у. Только при функциональной зависимости y = f (x) x

является аргументом, а у функцией; при функциональной зависимости x = f −1 (y)

аргументом служит y, а функцией x. В таком случае графики обратной и прямой функций совпадают. Следуя общему подходу выбора для всех функций переменной x в качестве аргумента, а переменной y функцией этого аргумента, независимую переменную обратной функции также обозначают x, а зависимую у,

191

и рассматривают обратную функцию в виде				y =ϕ(x)	( y = f −1 (x)). Такая
перестановка переменных в прямоугольной декартовой системе координат ОХY
соответствует перестановке		осей	координат,	другими	словами повороту
плоскости графика на 180P	о	вокруг	биссектрисы	первого	координатного угла.
	P

Таким образом, график обратной функции y = f −1 (x) получается как зеркальное отражение графика y = f (x) относительно этой биссектрисы, т.е. графики прямой

и обратной функций y = f (x) и y = f −1 (x)	симметричны относительно
биссектрисы первого координатного угла прямой	y = x .

Общее правило нахождения обратной функции для взаимно однозначной функции y = f (x) можно сформулировать так: решить уравнение y = f (x)

относительно x, найти x = f −1 (y), поменять обозначения переменных x на y, y на

x и получить функцию y = f −1 (x), обратную к данной.
Подобно	функциям	определим	монотонные		и	ограниченные
последовательности.
T Определение	5.11.T Последовательность (xn )			называется		возрастающей
(убывающей), если
		x1 < x2 <... < xn < xn+1 <...
	(x1 > x2 >... > xn > xn+1 >...),
т.е. если для любых натуральных nB1B, nB2B большему номеру n2 > n1						соответствует
большее (меньшее) значение элемента последовательности xn2					> xn1 (xn2 < xn1 ).
TОпределение 5.12.T Последовательность			(xn )	называется		неубывающей

(невозрастающей), если

x1 ≤ x2 ≤... ≤ xn ≤ xn+1 ≤...

(x1 ≥ x2 ≥... ≥ xn ≥ xn+1 ≥...) ,

192

т.е. если для любых натуральных nB1B, nB2B большему номеру n2 > n1 соответствует не меньшее (не большее) значение элемента последовательности xn2 ≥ xn1 (xn2 ≤ xn1 ).

TОпределение 5.13.T Последовательность (xn ) называется ограниченной

сверху (снизу), если существует такое число М (число m), что для любых элементов xBnB последовательности выполняется неравенство xn ≤ M (xn ≥ m).

Число М (число m) называют верхней гранью (нижней гранью)

последовательности (xn ).

TОпределение 5.14. TПоследовательность (xn ) называется ограниченной,

если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют числа m и М такие,

что любой

элемент

этой

последовательности

удовлетворяет неравенствам

m ≤ xn ≤ M

или

≤ M * , где M * = max (

TОпределение 5.15.T Последовательность (xn )

называется неограниченной,

если

для

любого

положительного

числа М, найдется элемент xn этой

последовательности, удовлетворяющий неравенству

> M .

Примеры 5.7. Последовательность (xn )= (n2 ) монотонно возрастающая, ограниченная

снизу, неограниченная сверху,

1 n

монотонно возрастающая и ограниченная

(2 ≤ x

< 3,n =1,2,...),

монотонно

убывающая и

ограниченная

(1 < xn ≤ 2),

последовательность

(xn )= (sin n)

немонотонная, ограниченная

(

sin n

<1),

последовательность xn = ((−1)n n2 )

немонотонная и неограниченная.

Особый интерес представляют бесконечно малые (БМП) и бесконечно большие (ББП) последовательности.

193

TОпределение 5.16.T Последовательность (xn ) называется бесконечно малой,

если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно указать


номер n0 (ε ), зависящий от ε , такой, что при			n ≥ n0		все элементы xn этой
последовательности удовлетворяют неравенству	xn			< ε .
последовательности удовлетворяют неравенству	xn			< ε .
Обычно БМП обозначают (αn ),(βn ),(γn )....
TОпределение 5.17. TПоследовательность		(xn )			называется бесконечно

большой, если для любого положительного числа М можно указать номер n0 (M ),

зависящий от М, такой, что при n ≥ n0 все элементы xn B Bэтой последовательности удовлетворяют неравенству xn > M .

Всякая ББП является неограниченной, что следует из определений. Но не всякая неограниченная последовательность является ББП, например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n, … не является ББП,

поскольку	при M >1 неравенство	xn	> M не	выполняется			для	всех xn B Bс
поскольку	при M >1 неравенство	xn	> M не	выполняется			для	всех xn B Bс
нечетными номерами.
Примеры 5.8. Последовательности		(αn )= 1			,	(αn )= (−1)n		являются БМП,
			n				n

(xn )= (n2 ),	(xn )= ((−1)n n)– ББП.

§ 3. Предел числовой последовательности

Одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода. Эта операция встречается в анализе в различных формах. Простейшая форма основана на понятии предела числовой последовательности.

TОпределение 5.18.T Число a называется пределом числовой последовательности (xn ), если для любого сколь угодно малого положительного

194

числа ε найдется такое натуральное число n0 (ε ), зависящее от ε ,

что для всех

n > n0 члены xn B B этой последовательности удовлетворяет неравенству:

xn − a

< ε

(5.2)

В этом случае говорят, что последовательность имеет предел и обозначают:

lim xn = a

или

xn → a,

a R .

n→∞

Итак,

det

n0 (ε) N : n > n0

xn − a

lim xn

= a ε > 0

<ε.

n→∞

Последовательности,

имеющие конечный

предел lim xn = a,

a R

n→∞

называют сходящимися B

B(к числу a ),

а последовательности,

не имеющие

конечного предела, - расходящимися.B

Номер n0

последовательности,

начиная

с которого

для

членов

последовательности выполняется неравенство (5.2), вообще говоря, не может быть указан раз и навсегда, он зависит от выбора ε , как отмечено в определении. Чем большей близости значений B B xn B Bк a требуется, тем более далекие по номеру значения xn приходится рассматривать.

Неравенство (5.2)B Bравносильно неравенствам

−ε < xn − a < ε a −ε < xn < a +ε

Числа xn , (n =1,2,...), a,

a ± ε можно изобразить на числовой оси

a −ε

a +ε

•

••

•••

xn •

••

Рис. 5.1

Множество точек числовой прямой, удовлетворяющее неравенству (5.2) называют

ε– окрестностью точки а и обозначают Оε (а) или ( a −ε , a + ε ).

Из определения следует, что какой бы малый промежуток длины 2ε с центром в точке a (какую бы сколь угодно малую произвольную ε – окрестность

195

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3520 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]