Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

сложно, ибо это по сути неопределяемое понятие) можно привести довольно много. Таковыми являются, в частности, множества натуральных чисел, целых, рациональных и действительных чисел. Они обозначаются буквами N, Z, Q, R.

Для обозначения множества используют фигурные скобки {...}. Если элементы множества можно перечислить или задать способ, алгоритм их перечисления, то все элементы множества записывают внутри этих скобок. Например, N = {1,2,3,…}. Множествами являются, например, следующие совокупности: {1,5,6}; {a1,a2 ,..., an }, где n - натуральное число; все люди, живущие в данный момент на Земле; все студенты, сидящие в этой аудитории; все звезды, видимые невооруженным глазом. Множества будем обычно обозначать прописными буквами какого-либо алфавита. Элементы множеств, из которых они состоят, будем обозначать строчными буквами.

Пусть А - множество. Тогда элементы этого множества будем обозначать, например, таким образом: а, аB1B, аB2B и т.п. Для обозначения факта вхождения, принадлежности элемента а множеству А используют знак и пишут а А.

TОпределение 1.2.T Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство двух множеств X и Y обозначают посредством соотношения X = Y, а неравенство X ≠ Y. Обозначение множества посредством фигурных скобок, удобное для явного задания множеств, которые составлены из небольшого числа элементов, легко различимых, весьма неудобно для задания множеств с большим числом элементов и практически неприменимо для бесконечных множеств, имеющих бесконечно много элементов. Для обозначения множеств в этом случае тоже используют фигурные скобки, но внутрь их ставят некоторое высказывание,

7

предложение Р(х), которое может быть либо истинным либо ложным. Точнее говоря множество X обозначают так {х\. При этом данная запись читается следующим образом: X - множество всех таких х, что Р(х) - истинное высказывание. Предложение, утверждение Р(х) определяет некоторое свойство элементов множества X. Для обозначения множеств используют и такие записи {х \ х Х и Р(х)} = {х X \Р(х)}. Эта запись означает, что в качестве элементов множества {х Х \Р(х)} берутся все х Х, которые обладают свойством Р(х).

В теории множеств, кроме отношений и =, используется еще и несколько других отношений между множествами.

TОпределение 1.3. T Пусть А и В - множества. Будем говорить, что А включено

(содержится) в В и писать А В (или А В), если каждый элемент множества А принадлежит В. Множество А называется подмножеством В. Обозначение В А эквивалентно А В. Если же множество А не содержится в множестве В, т. е. существует объект, принадлежащий А, но не принадлежащий В, то пишутA В.

TОпределение 1.4. TБудем говорить, что А строго включено в В или А - истинное подмножество В, если А В (или A B ), но А≠ В.

TТеорема 1.1.T Если A B, и B A, то A = B .

Докaзательство. Из A B, следует, что любой элемент множества А принадлежит

В. С другой стороны, из B A следует, что любой элемент множества В принадлежит А. Поэтому любой элемент, не принадлежащий А не принадлежит В. Отсюда следует, что А = В. Теорема доказана.

TЗамечание 1.2.T Отношения принадлежности и включения различны.

Например, хотя X X (X X ), имеет место соотношение Х X.

TОпределение 1.5.T Множество, которое не имеет элементов, называется пустым множеством и обозначается через .

TЗамечание 1.3.T Пустое множество является подмножеством любого множества.

Действительно, отношение А означает, что из x следует x A.

8

Хотя элементов, принадлежащих множеству , нет, но требование, чтобы любой элемент множества принадлежал А, нужно считать выполненным; оно, во всяком случае, не нарушается. Нарушением было бы существование такого элемента х, что x и х А; но именно потому, что не существует объекта,

принадлежащего , этого быть не может. Таким образом, для любого множества

A имеет место A .

Образовывать новые множества из уже имеющихся можно посредством операций над множествами.

TОпределение 1.6.T Под объединением (соединением, суммой) A B (или

B∩A) множеств А и В понимается множество всех элементов, которые являются элементами множества А и В, т. A B ={x \ x A или x B} (слово "или" имеет неисключающий смысл).

TОпределение 1.7.T Под пересечением (произведением) A∩B (или В∩А) мно-

жеств А и В будем понимать множество всех элементов, являющихся элементами обоих множеств А и B , т.е. A ∩B={x \ x A и x B}.

TОпределение 1.8.T Под абсолютным дополнением множества A (оно обозначается через A) понимают множество {х\х А}, Относительным дополнением (или разностью множеств Х и А) называется множество Х∩ A и

обозначается через Х\А (или Х-А).

Смысл операций над множествами становится очевидным, если воспользоваться диаграммами Эйлера-Венна, которые приведены ниже в серии рисунков 1.1.

9

Из определения операции вытекает, что В В С . Следовательно, заменив в множестве A В множество В на B C , мы не можем получить множество,

которое не содержит хотя бы одного элемента из множества A В. Поэтому имеет место A B A (B C). С другой стороны, изC B C и B C A (B C)

следует, что C A (B C). В свою очередь, из справедливости

A B A (B C) и C A (B C)следует верность (A B) C A (B C).

Данное соотношение справедливо для любых множеств А, В, С. Поэтому, заменяя А

тождеств (1.1).

TЗамечание 1.4.T Множество, образованное из всех подмножеств любого непустого множества М, вместе с определенными выше операциями ,∩,\ и

отношением включения (строгого или нет), фиксируемого символами, , , ,образует специфическую алгебру множеств. Эта алгебра существенно отличается по своим свойствам, например, от алгебраических свойств обычных вещественных чисел.

§ 3. Декартовы произведения. Отношения

Декартовы произведения. Отношения, их классификация, примеры отношений; применения отношения эквивалентности

Одним из наиболее общих и важных математических понятий является "отношение", которое используется для обозначения, "описания", какой-либо связи между объектами, предметами, самими понятиями и т.п. При определении понятия отношения исходят из представления о множествах упорядоченных пар, троек и т.д.

11

TОпределение 1.9.T Пусть X и Y- множества, а {х,у} - множество, состоящее из двух элементов x X, y Y. Под упорядоченной парой будем понимать множество (х,у) = {{х},{х,у}}, в котором указано, какой из элементов считается первым, а другой - вторым (х - первый элемент).

TОпределение 1.10.T Упорядоченной тройкой элементов, предметов

называть множество, состоящее из всех упорядоченных пар вида (а, b), где a A,b B .

ρ X × X называется бинарным отношением, заданным на множестве X.

TОпределение 1.14.T Отношение σ называется менее общим, чем отношение τ ,

а τ - более общим, чем σ , если для любых элементов а и b из aσb следует aτb .

Например, на множестве всех фигур на плоскости можно определить

12

отношения равенства и подобия. Так как равные фигуры всегда подобны, то отношение равенства является менее общим, чем отношение подобия.

TОпределение 1.15. TПроекцией элемента c = (a,b) A × B , где a A,b B , на множество А будем называть элемент а. Если M A× B , то проекцией M на А будем называть множество тех элементов из А, которые являются проекциями элементов из М на А.

TОпределение 1.16.T Сечением х=а множества M называется множество элемен-

тов у В, для которых (а,у) М.

Пусть теперь А=В. В этом случае, как уже было отмечено выше, будем говорить, что отношения заданы на множестве А.

TОпределение 1.17.T Отношение σ называется рефлексивным, если для любого элемента a A имеет место аσ а.

Примерами рефлексивных отношений являются равенство отрезков, подобие фигур, включение .

TOпpеделение 1.18.T Отношение σ называется симметричным, если для любых a,b A из aσb следует bσa .

Примерами симметричных отношений являются перпендикулярность, параллельность прямых и подобие фигур.

TОпределение 1.19.T Отношение σ называется транзитивным, если для любых a,b A из aσb следует bσa .

Примерами транзитивных отношений являются отношения равенства отрезков, подобия фигур, отношение "меньше" для чисел.

TОпределение 1.20.T Отношение σ называется связным, если для любых различных элементов a,b A имеет место по крайней мере одно из отношений aσb и bσa . Если данные условия не выполняются, то отношение называется несвязным. Например, отношение "левее" связно, а отношение равенства отрезков несвязно.

13

TОпределение 1.21.T Отношение ρ , заданное на множестве X, называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Это отношение зачастую обозначают знаком ~.

TОпределение 1.22.T Разбиением χ множества А называют совокупность мно-

жеств A1,..., Ar , любые два из которых не имеют общих элементов и которые

TЗамечание 1.5.T Отношение эквивалентности ρ , заданное на множестве А

разбивает его на классы эквивалентности A1,..., Ar . Все элементы любого из множеств ABkB эквивалентны друг другу (находятся в отношении ρ друг к другу) и

TЗамечание 1.6.T Тождество (отношение тождества) представляет собой предельный случай отношения эквивалентности, т.к. единственным элементом, равным какому-либо данному элементу, является этот самый элемент. Разбиение множества, определяемое отношением тождества, есть самое полное разбиение. Класс эквивалентности, порождаемый каким-либо элементом, состоит из одного этого элемента.

Однако, чтобы два элемента были ρ - эквивалентны, они должны быть сходны только в одном, а именно находиться между собой в отношении ρ . Класс

ρ -эквивалентности состоит из всех элементов, которые неразличимы с точки зрения отношения ρ . Следовательно, произвольное отношение эквивалентности на множестве А определяет на A обобщённую форму равенства. С этой точки зрения все элементы одного класса эквивалентности можно отождествить, т.е. приписать всем его элементам одно и то же свойство.

Очень важной областью применения отношений эквивалентности является формализация математических и иных понятий. Эта формализация носит название определений через абстракцию. Суть этой процедуры состоит в

14

определении понятия как совокупности (множества) всех предметов, объектов и т.п., обладающих каким-либо свойством, характеризующим это понятие.

Например, понятие направления определяется как класс эквивалентности, состоящий из параллельных между собой прямых. Понятие геометрической формы определяется как класс эквивалентности, связанный с отношением подобия.

§ 4. Функции одной и нескольких переменных. Последовательности

Функции (отображения), их классификация. Композиция и обращение функций. Способы задания функций одной и нескольких переменных. Последовательности (в частности, числовые). Понятие о метрическом пространстве.

Функция, отображение, соответствие, оператор, преобразование наряду с понятиями множества, отношения являются одним из наиболее важных математических понятий. В зависимости от контекста эти перемены могут использоваться как синонимы, так и в них может быть вложен различный смысл.

содержит один и только один элемент (т.е. оно не пусто), то функциональное отношение σ называется всюду определенным.

TОпределение 1.25.T Отношение σ −1 (UобратноеU к σ ) между элементами b B

и a A имеет место тогда и только тогда, когда имеет место aσb . UПримерами Uобратных друг к другу отношений являются < и >, и .

15