Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

также являются гиперболическими параболоидами.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямой, перемещающейся параллельно себе вдоль некоторой кривой. При этом перемещающаяся прямая называется образующей, а кривая – направляющей.

Чтобы задать цилиндрическую поверхность, достаточно задать образующую и направляющую этой поверхности.

Пусть в прямоугольной системе координат образующая задана уравнениями

т. е. как линия пересечения двух поверхностей.

В качестве точки М(х;у;z), через которую проходит образующая, возьмём

точку, лежащую на направляющей. Исключив из уравнений (4.40) и (4.41) x, y, z

получим уравнение Ф(X ,Y, Z )= 0 , которому удовлетворяют координаты любой точки цилиндрической поверхности. Это и есть уравнение заданной цилиндрической

поверхности.

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат образующая

цилиндрической поверхности задана уравнением

X 0− x = Y −0 y = Z 1− z ,

176

т. е. параллельна оси Оz, а направляющая – уравнениями

т. е. лежит в плоскости хОу. Исключив из данных уравнений x, у, z, получим уравнение цилиндрической поверхности в виде F (X ,Y ) = 0 . Легко убедиться, что если на плоскости Оху уравнению F (x, y) = 0 соответствует некоторая линия L, то

это уравнение в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с

направляющей L и образующей, параллельной оси Оz.

является уравнением параболического цилиндра (рис. 4.31)

177

где (x,y,z) – координаты некоторой точки, лежащей на направляющей. Исключив из уравнений (4.45) и (4.46) x, y, z, получим уравнение Ф(X ,Y, Z ) = 0 , которое и является уравнением заданной конической поверхности.

Пусть направляющая конической поверхности задана уравнением

где C ≠ 0 , а вершина конуса в точке О(0,0,0). Уравнения образующей запишем в виде

Исключив из уравнений (4.47), (4.48) x, y, z, получим уравнение

конуса, изображенного на рис. 4.32.

z

0

y

x

Рис. 4.32

Поверхности вращения

Поверхность, образованная вращением плоской линии вокруг прямой, расположенной в одной плоскости с этой линией, называется поверхностью вращения.

179

Пусть задана прямоугольная система координат Охуz и в плоскости Оyz линия L определена уравнением

Составим уравнение поверхности, полученной вращением этой линии вокруг оси Оz.

Возьмем на линии L точку M (y, z). При вращении плоскости Оyz вокруг оси Оz

точка M опишет окружность. Пусть (X,Y,Z) – произвольная точка этой окружности.

Очевидно, что z = Z, y = x2 + y2 , или y = ± x2 + y2 ; z = Z , подставив найденные значения y и z в уравнение (4.50), получим

F (± X 2 +Y 2 , Z )= 0,

которое и является уравнением поверхности вращения.

180

РАЗДЕЛ 5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§1. Числовые последовательности и функции

При изучении явлений природы и в своей жизненной практике люди встречаются с множеством различных величин: время, длина, вес, сила, скорость и т. п. Эти величины могут принимать разные значения либо только одно фиксированное значение. В первом случае имеем дело с переменной величиной, а во втором- с постоянной.

В математике отвлекаются от физического смысла величины, интересуясь лишь числом, которым она выражается, физический смысл величины снова приобретает важность, лишь когда занимаются приложениями математики. Таким образом, будем говорить о числовой переменной. Её обозначают каким-либо символом (например, буквой х), которому приписываются числовые значения.

Переменная считается заданной, если указано множество X ={x} значений,

которые она может принимать. Постоянную величину, сохраняющую одно и то же значение, удобно рассматривать как частный случай переменной, он отвечает предположению, что множество Х состоит из одного элемента.

Рассмотрим частный тип переменной величины - варианту.

TОпределение 5.1.T Если каждому натуральному числу n N в порядке

возрастания, так что большее число следует за меньшим, по какому-нибудь закону поставлено в соответствие некоторое вполне определённое число x n R ,

то говорят, что на множестве N задана числовая последовательность, и обозначают

Таким образом, элементы последовательности все занумерованы и расположены в

181

порядке возрастания номеров, при n2 > n1 элемент xn2 следует за xn1 независимо от того, будет ли само число xn2 больше, меньше или равно xn1 .

TЗамечание 5.1.T Аналогично определяется понятие последовательности точек на прямой или объектов какой-либо другой природы.

Переменную х, принимающую некоторую последовательность (5.1) значений, называют вариантой.

Последовательность (5.1), а с нею и отвечающая ей варианта, считается заданной, если указано правило, по которому может быть вычислено любое значение варианты, лишь только известен его номер. При этом определяются всё множество принимаемых вариантой значений в целом и порядок, в котором эти значения принимаются; каждому номеру отвечает своё значение варианты, и из двух значений следующим считается то, номер которого больше.

другим правилом, например, правилом приближенного вычисления корней можно

члена этой последовательности мы не знаем.

Вообще, в математическом анализе предметом исследования является не изменение одной величины, а взаимосвязь двух или нескольких переменных, другими словами, законы, которые выражают одни переменные через другие. При этом наряду с последовательностями изучаются переменные, изменяющиеся непрерывным или сплошным образом: время, путь, проходимый движущейся

182

материальной точкой, и т. п. Переменные задаются множествами тех значений, которые они способны принимать. Такое множество, в котором каждое значение переменной встречается по разу, называется областью изменения переменной. Это может быть любое числовое множество, например, для непрерывной переменной числовой промежуток (конечный или бесконечный).

Пусть Х, Y произвольные подмножества множества действительных чисел, X R , Y R , переменные x и y - элементы этих множеств, x X , y Y .

TОпределение 5.2.T Переменная y Y называется функцией переменной х в

области её изменения Х, если по некоторому правилу или закону каждому значению x X ставится в соответствие одно определённое значение y Y .

Для записи функции (функциональной зависимости) используют обозначения: y = f (x), y = y(x), f : X →Y и т.п., где f - символическое

обозначение закона соответствия у переменной х. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, у - зависимой переменной или значением функции.

называют образом элемента х, а х - прообразом элемента у, соответственно Y образ множества Х, Х - прообраз множества Y. Другими словами, с помощью функции f множество значений независимой переменной х преобразуется или отображается в множество Y.

Определение функции дано для однозначной функции. Если же каждому x X отвечает не одно, а несколько значений у, то функцию называют многозначной.

183

В определении функции существенны два момента: указание области Х изменения х и установление правила или закона соответствия между значениями х и у. Область изменения функции обычно не указывается, она определяется соответствующим законом соответствия между х и у.

Закон соответствия между значениями переменных, определяющий сущность функциональной зависимости, может быть разнообразной природы, поскольку он ничем не ограничен. Наиболее распространёнными способами задания функции являются аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в том, что с помощью одной или нескольких формул указывается на те операции или действия над постоянными числами и над значением х, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение у. При этом область определения функции либо указывается, либо понимается как множество значений аргумента х, при которых формула имеет смысл. В последнем случае говорят о естественной области определения функции.

Примеры 5.1 аналитического задания функций:

х +1, х (−∞;−1) y = x, y = x2 + 2x + 3, y = f (x)= 2, х [−1;1] ,

х3 , х (1;∞)

F (x, f (x))= 0 , например, x2 + y2 −1 = 0 , а также параметрически

184

х = х(t)

, t T ,

y = y(t)

где обе переменные выступают как функции некоторого параметра t, например, времени, или в зависимости от выбранной системы координат (например, в

полярных координатах r = r (ϕ), r - полярный радиус точки, ϕ - полярный угол точки).

По результатам эксперимента, наблюдений функция может быть задана в виде таблицы, где перечисляются n значений аргумента x1, x2 , x3 ,..., xn и

соответствующих значений функции.

Графический способ задания функции состоит в представлении функции y = f (x), r = r (ϕ), ... в некоторой системе координат, в изображении с помощью приборов, компьютера. Графиком L функции y = f (x) называют множество точек

M (x, y) плоскости R2 , координаты которых связаны данной функциональной зависимостью, т.е. L ={M (x, y) R2 y = f (x)}. Графиком функции может быть линия, множество изолированных точек и т.п. Не всякая линия является графиком однозначной функции. Для этого требуется, чтобы прямая, параллельная оси ОY пересекала график функции не более, чем в одной точке (одному значению переменной х соответствует одно значение у).

§ 2. Основные характеристики поведения функций

Основные характеристики поведения функций и последовательностей. Сложная функция. Обратная функция.

Анализ функций и последовательностей является одной из основных задач математического анализа. Последовательность можно рассматривать как функцию, определённую на множестве натуральных чисел, т.е.

xn = f (n), n N;

185