Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

выражающие старые координаты через новые.

Разрешив равенство (4.23) относительно х' и у', получим формулы:

x′ = xcosϕ + ysinϕ

(4.24)

y′ = −xsinϕ + y cosϕ

которые выражают новые координаты через старые. Формулы (4.23) и (4.24) будем называть формулами поворота осей.

Эллипс, гипербола и парабола с осями, параллельными осям координат

Рассмотрим эллипс с центром в точке О'( a;b), оси которого параллельны осям

координат (рис. 4.23).

сними направлены.

xТак как новые оси координат

0

совпадают с осями эллипса, а его центр находится в новом начале, то

относительно новой системы координат уравнение эллипса будет каноническим:

166

Чтобы получить уравнение эллипса в старой системе координат, надо воспользоваться формулами параллельного переноса осей:

Аналогично можно показать, что уравнение гиперболы с центром в точке О'(α; β ) и

с осями симметрии, параллельными осям координат, имеет вид:

Если в любом из уравнений (4.25) – (4.29) раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение вида:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ,

которое является частным случаем общего уравнения:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

167

которое называется общим уравнением кривой второго порядка на плоскости.

Упрощение общего уравнения кривой второго порядка в случае отсутствия члена с произведением (X Y )

Выясним, какие кривые соответствуют этому уравнению. Возможны следующие случаи:

1.АС > 0 (эллиптический случай).

Без ограничения общности можно считать, что А > 0 и С > 0.

В уравнении (4.30) дополняем до полного квадрата члены, содержащие x2 и х,

атакже y2 и у, получим

удовлетворяют, следовательно, этому уравнению соответствует пустое множество.

Если F1 = 0 , то уравнение (4.31) принимает вид A(x − x0 )2 + C(y − y0 )2 = 0 и

определяет точку M (x0 , y0 ).

2. AC < 0 (гиперболический тип).

Не нарушая общности, можно считать A > 0, C < 0. Как и в первом случае, уравнение (4.30) можно привести к виду (4.31).

168

ось которой параллельна оси Оу.

Если F1 = 0 , то уравнение (4.31) принимает вид

A(x − x0 )2 + C(y − y0 )2 = 0 .

Докажем, что ему соответствует пара пересекающихся прямых.

Обозначим A = m2 , C = −n2 и запишем уравнение в виде: m2 (x − x0 )2 − n2 (y − y0 )2 = 0 ,

или

(m(x − x0 )− n(y − y0 ))(m(x − x0 )+ n(y − y0 ))= 0 .

Это уравнение равносильно следующим двум:

m(x − x0 )− n(y − y0 )= 0 m(x − x0 )+ n(y − y0 )= 0 ,

каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку M (x0 , y0 ). 3. АС = 0 (параболический тип).

Предположим, что А≠ 0, С = 0, тогда уравнение (4.30) имеет вид

Ax2 + Dx + Ey + F = 0 .

Можно считать, не нарушая общности, что А > 0. Дополнив члены, содержащие x2 и х до полного квадрата, получим

A(x − x0 )2 + Ey = F1 .

Если Е≠ 0, то уравнение можно записать в виде y − y0 = a(x − x0 )2 , которому соответствует парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу.

169

Если Е = 0, F1 > 0 , то уравнение A(x − x0 )2 = F1 равносильно уравнениям

Если предположить, что А = 0, С ≠ 0, то повторив аналогично исследования, получим те же результаты.

Итак, уравнению (4.30) могут соответствовать следующие фигуры: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых, точка или пустое множество.

Пример 4.3. Рассмотрим уравнение

9x2 + 4 y2 −18x + 24 y + 9 = 0 .

Этому уравнению в декартовой системе координат соответствует эллипс, центр которого находится в точке О'(1;-3), а полуоси равны соотаетственно 2 и 3.

§7. Поверхности второго порядка

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

170

В этом уравнении не все коэффициенты при членах второго порядка равны

нулю.

В общем случае может оказаться, что уравнение (4.32) определяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей, прямую). Если же поверхность (4.32) невырождена, то с помощью преобразования координат (параллельного переноса и поворота осей координат в пространстве) и теории квадратичных форм её уравнение может быть приведено к ниже рассматриваемым поверхностям.

Эллипсоид

Поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет вид

(4.33)

называется эллипсоидом.

Для исследования формы эллипсоида применим метод сечений. Пересечем эллипсоид плоскостями z = h . Линия, полученная в сечении, определяется системой уравнений:

171

соответственно направления осей Ох и Оу. В этой системе координат линия, полученная в сечении, имеет уравнение

эллипса соответственно равны a и b. С возрастанием h от нуля до с полуоси эллипса

уменьшаются. Если h = с, то уравнение (4.34) определяет точку. При h > c

уравнение определяет пустое множество, т.е. плоскость не пересекается с эллипсоидом. Аналогичная картина имеет место при пересечении эллипсоида плоскостями y = m, x = n.

Таким образом, эллипсоид, заданный уравнением (4.33), имеет вид, изображенный на рис. 4.24.

Положительные числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. В частном случае, если две полуоси равны, эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как он может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей.

Если a = b = c , то уравнение (4.33) определяет сферу x2 + y2 + z2 = a2 .

Гиперболоиды

Поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой прямоугольной системе координат Оxyz имеет вид

называется однополостным гиперболоидом.

Пересечем гиперболоид плоскостью z = h . Выберем в плоскости z = h систему координат O'х'у', как это было сделано выше. В этой системе линия пересечения имеет вид

172

координат О''х''z'', у которой начало координат находится в точке О''(0;m;0), а оси

пересекающихся прямых, а при m > b – гиперболу, вершины которой находятся на оси О''z''.

Аналогичная картина имеет место при пересечении однополостного гиперболоида плоскостями x = h .

173

также являются однополостными гиперболоидами.

Поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Параболоиды

Поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет вид

x

Рис. 4.27

174

Если p = q , то такой параболоид называется параболоидом вращения и может

быть получен вращением параболы вокруг её оси симметрии. Поверхности, которые в некоторой прямоугольной системе координат задаются уравнениями:

также являются эллиптическими параболоидами.

Поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой прямоугольной

называется гиперболическим параболоидом.

Пусть p > 0, q > 0 . Пересекая гиперболический параболоид плоскостью x = h

легко убедиться, что в сечении получим параболу при любом h. Пересекая параболоид плоскостью y = m , в сечении получим параболу, ветви которой направлены вниз при любом m.

Рассуждая аналогично, легко убедиться в том, что при пересечении гиперболического параболоида плоскостью z = h (h ≠ 0) получим гиперболы, а при z = 0 – пару пересекающихся прямых.

Гиперболический параболоид, заданный уравнением (4.39), имеет вид, изображённый на рис. 4.28.

Поверхности, которые в некоторой

z прямоугольной системе координат

y

задаются уравнениями

Рис. 4.28

175