Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

Так как а < с, то c2 − a2 > 0 . Введем обозначение b = с2 − а2 , b будет действительным числом, отличным от нуля. Имеет место соотношение c2 = a2 +b2 . Используя введенное обозначение, запишем уравнение гиперболы в виде

Так же, как и для эллипса, можно доказать, что для любой точки М(х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (4.14), выполняется условие (4.13). Следовательно, это уравнение является уравнением гиперболы. Уравнение (4.14) называют каноническим уравнением гиперболы.

Построение гиперболы по ее уравнению

Рассмотрим каноническое уравнение гиперболы:

Гипербола симметрична относительно осей координат, а также относительно точки О(0;0), так x и y входят в уравнение в четных степенях.

Построим часть гиперболы, которая расположена в первой координатной

Отсюда видно, что для точек этой части гиперболы x ≥ a . При х = а ордината y = 0 , поэтому точка А(а;0) принадлежит гиперболе. С возрастанием х значения у также возрастают, и точка М(х;у) кривой при этом неограниченно удаляется как от оси Ох, так и от оси Оу. Кривая обращена вверх выпуклостью (это можно доказать методами дифференциального исчисления) (рис. 4.11).

156

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что уравнению

соответствует гипербола, изображенная на рис. 4.13. В этом случае вершины гиперболы В1 (0;b) и В2 (0;-b), а также фокусы F1 (0, c) и F2 (0, −c) расположены на оси

Оу. Для этой гиперболы b - действительная полуось, а - мнимая полуось. Если a = b, то гипербола называется равносторонней.

Асимптоты гиперболы

Асимптотой кривой называется прямая, обладающая следующим свойством: расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю, когда точка движется по кривой так, что расстояние от нее до начала координат стремится к бесконечности. Из этого определения следует, что асимптоты могут быть только у кривых, имеющих бесконечные ветви.

Рассмотрим гиперболу, заданную уравнением

158

Возьмем на ней произвольную точку M (x0 , y0 ) и найдем расстояние d от этой точки до прямой y = ba x (рис. 4.14):

y

0

Рис. 4.14

159

от начала координат. При этом абсцисса х0 точки М стремится к + ∞, а d - к нулю.

имеют вид y = ± ba x .

Для построения асимптот гиперболы строим прямоугольник со сторонами x = ±a, y = ±b . Асимптоты будут диагоналями этого прямоугольника с угловыми

коэффициентами k1 = tgα1 = ba и k2 = tgα2 = − ba . Для построения гиперболы лучше

сначала построить её асимптоты, а затем уже саму кривую.

Отношение полуфокусного расстояния с к действительной полуоси а называется эксцентриситетом гиперболы ac = ε . Так как с > а, то ε > 1.

§5. Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой её директрисой.

160

Рис. 4.15

возьмём середину между фокусом и директрисой. Тогда уравнение директрисы будет иметь вид

x + p 2 = 0 ,

акоординаты фокуса F p ,0 .

2

Возьмем на параболе произвольную точку М(х;у), тогда

Это и есть уравнение параболы. Возведя его обе части в квадрат и приведя подобные члены, получим:

161

Можно доказать, что это уравнение эквивалентно уравнению (4.17), а значит является уравнением параболы. Уравнение (4.18) называется каноническим уравнением параболы, а число р - параметром параболы.

Построение параболы по ее уравнению

Рассмотрим параболу, заданную уравнением y2 = 2 px .

Так как в уравнение y входит в четной степени, то кривая симметрична

относительно оси Ох. Построим часть кривой, расположенную в первой

координатной четверти. Эта часть кривой имеет уравнение y = 2 px . При x = 0

ордината y = 0 . С возрастанием х значения у возрастают. Часть этой кривой имеет вид, изображенный на рис. 4.16.

То, что кривая обращена выпуклостью вверх, можно доказать средствами дифференциального исчисления.

Пользуясь симметрией параболы относительно оси Ох, строим всю кривую.

Парабола, заданная уравнением y2 = 2 px (p > 0), имеет вид, изображенный на рис. 4.17.

162

Парабола имеет только одну ось симметрии и, следовательно, не имеет центра симметрии. Точка пересечения параболы с её осью симметрии называется вершиной параболы.

Для рассматриваемой параболы осью симметрии является ось Ох, а вершиной -

x2 = −2 py

Заметим, что хотя парабола имеет бесконечные ветви, можно доказать, что асимптот у нее нет. Эксцентриситет параболы принято считать равным 1.

§6. Преобразование координат на плоскости и упрощение общего уравнения кривой второго порядка

Преобразованием системы координат называется переход от одной системы координат к другой. Задача преобразования координат состоит в получении формул, устанавливающих зависимость между координатами одной и той же точки относительно двух различных координатных систем.

Ранее уже был рассмотрен один из случаев преобразования координат, а именно переход от декартовой прямоугольной системы к полярной. В этой главе

163

рассмотрим переход от одной прямоугольной системы координат к другой, тоже прямоугольной. При этом предполагается, что обе системы правые и имеют общую масштабную единицу.

Параллельный перенос осей координат

Так как система x′O′y′ получена из системы хОу переносом начала координат без

164

Итак, старые координаты точки выражаются через новые при параллельном переносе осей координат формулами (4.22), а новые через старые – формулами (4.21). Эти формулы называются формулами параллельного переноса осей координат.

Пример 4.2. В заданной системе координат точка имеет координаты (1,4). Найти её координаты в новой системе, если начало новой системы находится в точке O′(−3,5).

x′ = x − a =1 + 3 = 4 y′ = y − b = 4 − 5 = −1,

т.е. точка М(4;-1).

Поворот осей координат

Пусть даны две прямоугольные системы координат хОу и x′O′y′, которые имеют общее начало (рис. 4.22).

165