Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

Пусть в RB3B дана некоторая линия L и задана декартова система координат Оxyz.

которые называются параметрическими уравнениями линии в пространстве.

Если линия расположена на плоскости, то ее праметрические уравнения имеют

вид :

Исключив из уравнений (4.4), (4.5) параметр t (если это возможно), получим уравнения , связывающие х и у, в виде F (x, y)= 0 .

146

TЗамечание 4.2. TОдна и та же линия может быть задана различными параметрическими уравнениями . Например, две пары уравнений определяют одну и ту же линию

Исключив параметр t, получим одно и то же уравнение y − 2x + 3 = 0 .

Примеры построения кривых по их уравнениям.

1. Построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением r = a(1 + cosϕ), где а

> 0 (кардиода).

Функция r = a(1 + cosϕ) является периодической с периодом 2π . Поэтому достаточно давать φ

Построив в полярной системе координат точки с соответствующими координатами и соединив их плавной линией получим линию, график которой называется кардиоидой.

147

В декартовой прямоугольной системе координат построим точки с найденными координатами, а затем соединим их плавной линией. Получим кривую в интервале от 0 до 2πa .

Если давать параметру t значения, разность которых 2π , то у будет получать одинаковые значения, а значения х будут отличаться на 2πa . Следовательно, кривая имеет период 2πa . (рис. 4.6)

y

x

Рис. 4.6

§ 3. Кривые второго порядка

Линией второго порядка или кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовой системе координат уравнением второй степени, т.е. уравнением

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ,

где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля, т.е. A2 + B2 + C2 ≠ 0 .

149

В этой главе рассмотрим следующие линии второго порядка: эллипсы, гиперболы, параболы .

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек FB1 Bи FB2B, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Выберем декартову прямоугольную систему координат следующим образом:

Это уравнение является уравнением эллипса.

Для упрощения уравнения (4.7) запишем его в виде

(х − с)2 + у2 = 2a − (х + с)2 + у2 .

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

x2 − 2cx + c2 + у2 = 4a2 − 4a (х + c)2 + у2 + x2 + 2cx + c2 + у2

150

После повторного возведения в квадрат, уравнение примет вид a2 (x2 + 2cx + c2 + у2 )= a4 + 2a2cx + c2 x2

или

(a2 −c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ).

Так как а > с, то a2 −c2 > 0 . Обозначим b = а2 + с2 . Число b действительное и

0 < b ≤ a .

Имеет место соотношение с2 = а2 −b2 .

Тогда можно записать b2 x2 + a2 y2 = a2b2 . Разделив обе части этого уравнения на a2b2

(a ≠ 0, b ≠ 0), получим

Докажем, что уравнение (4.8) является уравнением эллипса, т.е. эквивалентно уравнению (4.7). Это не очевидно, так как уравнение (4.8) получено двукратным возведением в квадрат уравнения (4.7).

Возьмем точку M (x, y), координаты которой удовлетворяют уравнению (4.8),

151

(х + с)2 + у2 = r2 , следовательно r2 = a + ac x .

Построение эллипса по его уравнению

Рассмотрим каноническое уравнение эллипса

152

ипостроим кривую, соответствующую этому уравнению.

Вуравнение эллипса координаты х и у входят в четных степенях,

следовательно, эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат.

Построим часть эллипса, расположенную в первой координатной четверти.

эллипса, у которых х > а не существует . С возрастанием х от нуля до а значения у убывает от b до нуля. На рис.4.8 изображена кривая, которая является частью эллипса, расположенного в первой четверти. Методами дифференциального исчисления можно доказать, что кривая обращена выпуклостью вверх. Учитывая симметрию кривой, построим весь эллипс (рис.4.9)

Точка пересечения осей симметрии эллипса (центр симметрии) называется центром эллипса. Центр эллипса, задаваемого каноническим уравнением, находится в начале координат. Точки АB1B(а,0), АB2B(-а,0), ВB1B(0,b), ВB2B(0,-b), т.е. точки пересечения эллипса с осями симметрии, называются вершинами эллипса.

Отрезок АB1BАB2B, а также его длина 2а называются большой осью эллипса, отрезок ВB1BВB2B, а также его длина 2b - малой осью.

153

Фокусы FB1 Bи FB2 B находятся на оси Оx между вершинами АB1B и АB2B эллипса , т. к.

с < а.

Легко убедиться, что уравнение

х2 + у2 =1, где а < b,

а2 b2

также является уравнением эллипса. Фокусы такого эллипса находятся на оси Оy. Если а = b, то каноническое уравнение примет вид

x2 + y2 = a2 .

Этому уравнению соответствует окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситет.

Отношение полуфокусного расстояния с к большой полуоси а называется эксцентриситетом эллипса и обозначается

Т.к. с < a, то эксцентриситет эллипса меньше 1. Для окружности с = а2 − b2 = 0 ,

следовательно, ε = 0 . Значит для эллипса 0 < ε < 1. Формулу для ε можно представить в виде

Отсюда видно , что чем отношение ba ближе к 1, тем ближе эксцентриситет

эллипса к нулю и тем ближе форма эллипса к окружности. Если эксцентриситет возрастает, то эллипс делается все более вытянутым.

154

§4. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, обладающих следующим свойством: модуль разности расстояний от любой точки этого множества до двух данных точек плоскости есть величина постоянная, меньшая расстояние между данными точками и отличная от нуля.

Данные точки FB1B и FB2 Bназываются фокусами. Расстояние между ними обозначим через 2с, а модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до фокусов – через 2а. Согласно определению гиперболы, 0 < a < с.

Выберем систему координат таким же образом, как и при выводе уравнения эллипса (рис. 4.10)

Для любой точки М(х,у) гиперболы (и

yтолько для точек гиперболы) будет справедливо равенство

Освободившись от иррациональности так, как это мы делаем для эллипса, получим

(a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ).

155