Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

r

÷ r0 + t

a

.

(3.72)

x = x0 + mt

+ nt,

t R

(3.73)

y = y0

+ pt

z = z0

Уравнения (3.73) – параметрические уравнения прямой в пространстве.

Исключая параметр t

из уравнений (3.73), легко перейти к каноническим

уравнениям (3.70).

§27. Уравнение прямой, проходящей через две точки

M 0 = (x0 , y0 , z0 ), M1 = (x1, y1, z1 )

Направляющий вектор прямой

= (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ).

M 0 M1

Тогда используя (3.70), получаем

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

(3.74)

x

− x

0

y

− y

0

z

− z

0

1

1

1

P1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0

(3.75)

P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 =

0

ортогональный к векторам

n

1

и

n2 , коллинеарен прямой l.

Следовательно, в

качестве направляющего вектора прямой l можно взять вектор

i

j k

B C

A C

A B

a = [n1,n2 ]=

A1

B1

C1

1

1

1

1

1

1

=

B

C

, −

A

C

,

A

B

.

(3.76)

A B C

2

2

2

2

2

2

2

2

2

от 0. Пусть, к примеру

A1

B1

≠ 0 , тогда, перенеся в уравнениях (3.75)

A

B

2

2

3

2

1

2

1

3

= (4;8;−14)

, −

,

a

1

2

5

2

5

1

Так как

1

3

≠ 0 , то для нахождения M 0 (x0 , y0 , z0 ) прямой уравнения приведем к виду

5

1

x + 3y = 5 − 2z

,

−

2z

5x + y = −3

x + 3y = 5 − 2z

.

−14 y = −28 + 8z

Полагая, например,

z = 0 из данной системы найдем y0 = 2; x0 = −1.

По формулам (3.70) записываем искомые канонические уравнения

x +1

=

y − 2

= −

z

,

4

14

8

следовательно

x +1

=

y − 2

= −

z

.

2

4

7

x = −1 + 2t

+ 4t .

Параметрические уравнения y = 2

z = −7t

l :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

1

m1

n1

p1

l2 :

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

m2

n2

p2

с направляющими векторами

1 = (m1,n1, p1 );

2 = (m2 ,n2 , p2 ) соответственно.

a

a

l

|| l

1 ||

2

m1

=

n1

=

p1

.

(3.77)

a

a

1

2

m2

n2

p2

Если прямая l :

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

с направляющим вектором

= (m,n, p)

a

n

p

m

параллельна (перпендикулярна) плоскости P:

Ax + By +Cz + D = 0 с нормальным

вектором

= (A, B,C ), то как следует из рис. 3.39

n

l ||

P

mA + An + pC = 0 ,

(3.78)

a

n

n

l

n

a

P

a

P

l

Рис. 3.39

Рис. 3.40

а согласно рис. 3.40

l || P

| |

m

=

n

=

p

.

(3.79)

a

n

B

A

C

l

π . Если прямая l

превышать

задана

ψ

n

a

2

ψ

каноническими уравнениями (3.70), а P

p

lB1

общим уравнением Ax + By + Cz

+ D = 0 ,

то

Рис. 3.41

(

,

)

n

a

π

cos(n,a)=

= sinψ .

(3.80)

= cos

−ψ

n

a

2

Здесь выражение для sinψ взято по модулю, т.к.

sinψ ≥ 0 для 0 ≤ψ ≤

π .

2

Пусть требуется найти расстояние ρ(M ,l )

от данной точки

M = (x, y, z)

до данной прямой

M

x − x0

y − y0

z − z0

ρ

l :

=

=

, проходящей через точку

l

α

m

n

p

M 0 (x0 , y0 , z0 ),

с направляющим

вектором

a

= (m,n, p).

Из

рисунка

следует, что

искомое

MB0

a

Рис. 3.42

расстояние

ρ = ρ(M ,l )=

M0M

sinα =

M0M

(3.81)

sin M0M ,a

Согласно определению векторного произведения

[M0M ,a]

sin M0M ,a =

.

M0M

a

Подставив это выражение в (3.81), получим

,

M

0

M

a

ρ(M ,l )=

.

(3.82)

a

l :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

1

m1

n1

p1

l2 :

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

p2

m2

n2

где

1 = (m1,n1, p1 );

2 = (m2 ,n2 , p2 ) -

направляющие векторы прямых

l1 и l2

a

a

соответственно. Для отыскания искомого расстояния

d = ρ(l1,l2 )

проведем

плоскость

P2

через прямую l2 , параллельную направляющим векторам

и

a1

a2

прямых l1

и

l2 . Уравнение этой плоскости в силу равенства (3.60) имеет вид

x0 − x2

y0 − y2

z0 − z2

m1

n1

p1

= 0

(3.83)

m2

n2

p2

где

M 2 = (x2 , y2 , z2 ) l2 .

Разложим определитель по первой строке

n1

p1

(x − x2 )−

m1

p1

(y − y2 )+

m1

n1

(z − z2 )= 0 .