Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Пример 3.2. Какие отрезки отсекает на осях координат прямая

M0 = (x0 , y0 ) и M1 = (x1, y1 ). В этом случае направляющий вектор прямой - вектор a = (M0M1 )= (x1 − x0 , y1 − y0 ). Используя уравнение (3.45), получаем

x − x0		=	y − y0		,	(3.48)
x − x
			y − y	0
1	0		1

Уравнение (3.48) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки M0 = (x0 , y0 ) и M1 = (x1, y1 ).

§16. Уравнение прямой в отрезках

Составим уравнение прямой, проходящей через точки M0 = (a,0) и

M1 = (0,b), где a ≠ 0, b ≠ 0.

MB1

Согласно уравнению (3.48), получим

	x − a	=	y	xb + ya = ab .
	−a		a

Разделив		это		равенство на ab ≠ 0,

будем иметь

MB0

0 Рис. 3.30

=1,

(3.49)

где a и b - величины направленных отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Уравнение (3.49) называется уравнением прямой в отрезках на осях.

3x − 2 y −12 = 0 .

Приведем наше уравнение к виду (3.49)

3x − 2 y =12

123x − 122 y =1

4x + −y6 =1

126

a = 4; b = −6

§17. Условие параллельности и перпендикулярности прямых

A1x + B1 y +C1 = 0

A2 x + B2 y + C2 = 0

(3.50)

в векторной форме

= λ

1 = (A1, B1 );

2 = (A2 , B2 )

- нормальные векторы прямых (3.50).

A1 = λA2 ;

B1 = λB2

(3.51)

- условие параллельности двух прямых.

TОпределение 3.17. TУглом между двумя прямыми будем называть из двух

смежных углов, образованных этими прямыми, угол ϕ

определяется согласно

формуле угла между двумя векторами

cosϕ =

A1 A2 + B1B2

(3.52)

A2 +

, т.е.

В случае перпендикулярности прямых (3.50) угол между ними равен 90P

cosϕ = 0 (3.52)

условие перпендикулярности двух прямых

A1 A2 + B1B2 = 0 .

(3.53)

§18. Расстояние от точки до прямой

y			Пусть требуется найти расстояние от точки
			M1 (x1 , x2 ) до прямой Ax + By + C = 0.


	n
	n		Опустим из точки M1 перпендикуляр M1K на


Q		MB1
			данную прямую l, тогда расстояние d от точки
			данную прямую l, тогда расстояние d от точки

127

Рис. 3.31

Обозначая через K(x0 , y0 )

проекции векторов, получим

M1 до прямой l будет равно модулю KM1 . Так

как

и нормальный

вектор

(A, B)

KM1

перпендикулярны между

собой,

то их

скалярное произведение

= ±

d .

KM1

и выражая скалярное произведение

через

A(x1 − x0 )+ B(y1 − y0 )= ± n d .

В левой части равенства раскроем скобки, прибавим и вычтем С.

Ax1 + By1 + C −(Ax0 + By0 + C)= ± n d .

Так как K (x0 , y0 ) l , то

Ax0 + By0 + C = 0 ,

следовательно (3.54) примет вид

Ax1 + By1 + C = ± n d

d = ± Ax1 + By1 + C . A2 + B2

(3.54)

(3.55)

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно в левой части общего уравнения прямой подставить вместо текущих координат координаты данной точки, взять это по абсолютной величине и разделить на длину нормального вектора прямой.

Пример 3.3. Найти расстояние точки M1 (1,7) от прямой 3x − 4 y + 5 = 0 .

d =		3 1− 4 7 + 5	=		−20	= 4 .
		3 1− 4 7 + 5			−20

	9 +16			5
	9 +16			5

§19. Плоскость. Общее уравнение плоскости

				Положение	плоскости	P	в

			n(A, B,C )
			n(A, B,C )	пространстве определено, если		известно
	P	M (x, y, z)


							128

M0 (x0 , y0 , z0 )
M0 (x0 , y0 , z0 )

Рис 3 32

точка M0 = (x0 , y0 , z0 ) P и ненулевой вектор n = (A, B,C ) P . Вектор n называется нормальным вектором плоскости. По этим данным составим уравнение плоскости P.


Пусть M = (x, y, z)		произвольная точка плоскости. Тогда
			= (x − x0 , y − y0 , z − z0 )						(A, B,C),
	M0M							n
т.е.			(		,		)= 0			(3.56)
				n		M0M
или в координатной форме
	A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C (z − z0 )= 0.									(3.57)

Соотношению (3.57) удовлетворяют координаты тех и только тех точек пространства, которые принадлежат плоскости P. Оно и является искомым уравнением этой плоскости и называется уравнением плоскости с нормальным вектором n = (A, B,C) и проходит через M0 (x0 , y0 , z0 ).

Уравнение (3.56) называется уравнением плоскости в векторной форме.

Раскрыв скобки в (3.57), получим
Ax + By + Cz + D = 0 ,	(3.58)

где свободный член D = −Ax0 − By0 +Cz0 .

Уравнение (3.58) называется общим уравнением плоскости с нормальным вектором n = (A, B,C).

§20. Уравнение плоскости, параллельной двум данным векторам

Положение плоскости в пространстве также определено единственным

образом,

если

известны два неколлинеарных

вектора

= (m1,n1, p1 ),

= (m2 ,n2 , p2 ), параллельных

плоскости, и

точка, через которую эта плоскость проходит. По

этим данным

составим уравнение

•

129

Рис. 3.33

MB1

a1 и a2

MB2

плоскости P. В качестве

нормального вектора

MB3

возьмем

(a1,a2 ) перпендикулярный к

1 и

2 , а

значит и к плоскости P.

Рис. 3.34

Выберем произвольную точку M = (x, y, z)

плоскости P, тогда

= (x − x0 , y − y0 , z − z0 ),

M0M

компланарны, следовательно

(

2 )= 0

(3.59)

M0M

- смешанное произведение.

Равенству (3.59) удовлетворяют координаты только тех точек пространства, которые принадлежат P. Следовательно уравнение (3.59) является уравнением искомой плоскости.

Воспользовавшись формулой смешанного произведения в координатной

форме, из уравнения (3.59) получим
			x − x0	y − y0	z − z0
			x − x0	y − y0	z − z0
			m1	n1	p1	= 0 ,	(3.60)
			m2	n2	p2
которое является уравнением плоскости, параллельной векторам								= (m1,n1, p1 ) и
							a1	= (m1,n1, p1 ) и
		= (m2 ,n2 , p2 ) и проходящей через M0 (x0 , y0 , z0 ).
	a2	= (m2 ,n2 , p2 ) и проходящей через M0 (x0 , y0 , z0 ).

§21. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Известно, что точки M1 = (x1, y1, z1 ), M2 = (x2 , y2 , z2 ), M3 = (x3 , y3 , z3 ) однозначно определяют положение плоскости P в пространстве. Составим ее уравнение.

Пусть M = (x, y, z) - произвольная точка плоскости P, тогда

M1M = (x − x1, y − y1, z − z1 )

M1M2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 ),

130

M1M3 = (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1 )

компланарны и значит (M1M , M1M2 , M1M3 )= 0 или

x − x1 x2 − x1 x3 − x1

y − y1 y2 − y1 y3 − x1

z − z1

z2 − z1 = 0 . (3.61) z3 − z1

Равенство (3.61) – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

M1, M2 , M3 .

§22. Уравнение плоскости в отрезках

Составим уравнение

плоскости

P, проходящей через точки

A(a,0,0),

B = (0,b,0) и C (0,0,c), где a ≠ 0,

b ≠ 0,

c ≠ 0.

Согласно (3.61), уравнение этой плоскости имеет вид:

x − a

bc(x − a)+ acy + abz .

−a

= 0

−a

Разделив полученное равенство на abc ≠ 0 , получим

x − a

= 0

или

=1.

(3.62)

Уравнение (3.62) называется уравнением плоскости в отрезках.

Здесь числа a, b, c

не что иное, как величины направленных отрезков,

которые плоскость Р отсекает на осях координат X, Y, Z.

131

			O		b
	A

x		a
x		a		Рис. 3.35

§23. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть две плоскости PB1B и PB2 B заданы своими общими уравнениями

P1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0

(3.63)

P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Если плоскости (3.63) параллельны, то параллельны и их нормальные векторы

= (A1, B1,C1 ) и

= (A2 , B2 ,C2 ).

Отсюда, учитывая условие

параллельности

векторов, получим условие параллельности двух плоскостей

P ||

= C1

(3.64)

Если P1 P2 , то

. Следовательно

(

)= 0

A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .

(3.65)

§24. Угол между двумя векторами

132

Рис. 3.37

Если коэффициенты A1, B1,C1 и

A2 , B2 ,C2 плоскостей P1 и P2 не

пропорциональны, то P1 и P2 пересекается

по

некоторой

прямой

Проведем

плоскость

P l .

Эта

плоскость

пересекается с P1

и P2

по прямым l1 и l2 .

Угол ϕ

между l1

называется углом

между плоскостями

и P2 .

Поскольку

n1 P1

n2 P2 ,

то

угол между

Рис. 3.36

векторами равен углу между плоскостями.

(

)

A A + B B + C C

(3.66)

cosϕ = cos n ,n

1 2

n1 n2

+ B2

+ C 2

+ B2 + C 2

§25. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

n0 - единичный, то

Пусть

единичный

вектор

нормали к плоскости Р, проведенный к

ней из начала координат. Тогда его

координатами будут

= (cosα,cos β,cosγ )

Если M (x, y, z) - произвольная точка

плоскости Р

r –

вектором

= (x, y, z),

то

пр

r = p ,

где

–

длина

перпендикуляра OD. Но так как вектор прn0 r = (r,n0 ). Следовательно

133

(r,		)− p = 0, p ≥ 0 .	(3.67)
	n0
Уравнение (3.67) называется нормальным уравнением плоскости в
векторной форме.
Очевидно, что при p = 0 плоскость проходит через начало координат. В
координатной форме уравнение (3.67) запишется в виде
xcosα + y cos β + z cosγ − p = 0			(3.68)

Пусть плоскость P задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 с нормальным

вектором		= (A, B,C).
	n
Направляющие косинусы
cos α =		A	; cos β =	B	; cosγ =	C
		A2 + B 2 + C 2
				A2 + B2 + C 2		A2 + B2 + C 2

Так как

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

Тогда, умножив обе части общего уравнения

плоскости на

A2 + B2 + C 2 , получим

(обозначим

n =

A2 + B2 + C 2 )

x +

y +

z +

= 0.

Таким

образом,

чтобы

привести

общее

уравнение Ax + By + Cz + D = 0 к

нормальному виду (3.68),

следует это уравнение умножить на нормирующий

µ =

±1

множитель

A2 + B2 + C 2 ,

где знак выбирается противоположным знаку

свободного члена D.

Врезультате общее уравнение примет нормальный вид Ax + By + Cz + D = 0 .

± A2 + B2 + C 2

Напомним, что расстояние ρ от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости p : Ax + By + Cz + D = 0 называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на плоскость P.

134

Повторив дословно рассуждения, проведем при выводе формулы

расстояния от точки до прямой на плоскости, получим
ρ = x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ − p = Ax0 + By0 + Cz0 + D .	(3.69)
A2 + B2 + C 2

Итак, расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости.

§26. Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой

Прямая l в пространстве определяется однозначно, если:

1)известна точка, через которую она проходит и ненулевой вектор, параллельный прямой, называемый направляющим вектором этой прямой;

2)или известны две точки этой прямой.

Пусть заданы точка M 0 (x0 , y0 , z0 )

и ненулевой

(m,n, p). Составим уравнение прямой l,

вектор

MB0

проходящей через точку

M 0 с направляющим

вектором a . Если M (x, y, z) - произвольная точка

прямой l, то вектор

= (x − x

, y − y

, z − z

)

Рис. 3.38

коллинеарен

вектору

a . Из

условия

коллинеарности векторов, получаем

x − x0

y − y0

z − z0

(3.70)

которым удовлетворяют координаты любой точки l.

Уравнение (3.70) называется каноническими уравнениями прямой в пространстве. Из рисунка следует

	=		+		(3.71)
r		r0		M 0 M

135

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]