Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

Если в n–мерном пространстве R совокупность векторов l1, l2 , ..., ln

выбрана за базис, то не трудно доказать, что всякий вектор ui этого пространства R можно представить и притом единственным образом как линейную комбинацию векторов базиса.

Действительно, рассмотрим совокупность n +1 векторов l1, l2 , ..., ln , ui .

Так как пространство R n–мерное, то любые n +1 векторов, а значит и векторы рассматриваемой совокупности, в нем линейно зависимы, а поэтому справедливо тождество:

где не все постоянные C1, C2 , ..., Cn , Cn+1 равны нулю одновременно. Число Cn+1

где не все Ci (i =1,n) равны нулю, а это невозможно, так как по условию векторы l1, l2 , ..., ln линейно независимы (в силу определения базиса). Деля тождество

Таким образом, мы доказали, что выбор ui представим линейной комбинацией векторов базиса.

Теперь докажем, что такое разложение (3.32) единственно. Предположим,

что наряду с разложением (3.32) имеется другое разложение для вектора ui :

Вычитая почленно (3.33) из (3.32), получим

0 = (ai1 − ai′1 )l1 +(ai2 − ai′2 )l2 +...(ain − ain′ )ln ,

116

откуда в силу линейной независимости векторов базиса следует, что

1)координаты системы векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых векторов;

2)при умножении вектора на число λ все координаты данного вектора умножаются на это число.

Линейная независимость векторов в координатах

Пусть задана система n векторов n–мерного пространства в базисе

l1, l2 , ..., ln

Составим матрицу из координат векторов системы (3.35)

117

Если ранг матрицы (3.36) равен n, то векторы системы (3.35) будут линейно независимыми.

Если же ранг матрицы (3.36) меньше n, то векторы системы (3.35) будут линейно зависимыми и для них будет иметь место равенство

C1u1 +C2 u2 +... +Cn un = 0

где хотя один из коэффициентов C1, C2 , ..., Cn отличен от нуля.

§9. Характеристические числа и собственные векторы матрицы

составить характеристическую матрицу

где λ - скалярный параметр; а Е – единичная матрица порядка n; 2) решая характеристическое уравнение

118

собственным вектором этого преобразования, если для него AX = λX .

Чтобы найти все собственные векторы данного линейного преобразования

Y = AX , нужно прежде всего найти все действительные корни (λ = λi )

характеристического уравнения (3.37) матрицы А, затем из системы (3.38) при

119

Без доказательства отметим два важных положения:

1.Собственные векторы, соответствующие попарно различным характеристическим числом матрицы А, всегда линейно независимыми.

2.Характеристический многочлен матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

§10. Прямая линия на плоскости. Нормальное уравнение прямой

движется по прямой, то ее радиус-вектор r меняется так, что все время связан некоторым условием. Очевидно, что для точки М, лежащей на прямой

Это условие имеет место для всех точек прямой и нарушается, если точка М лежит вне прямой. Таким образом, равенство (3.39) выражает свойство, общее всем точкам прямой и только им. Согласно определению скалярного произведения векторов

прn0 OM = OM n0 = r n0

и следовательно (3.39) может быть переписано

Уравнение (3.40) выражает условие, при котором точка М с радиус-вектором r лежит на данной прямой, и называется нормальным уравнением этой прямой.

120

Радиус-вектор r произвольной точки М прямой называется текущим радиусвектором.

Уравнение (3.40) прямой записано в векторной форме. Переходя к координатам, заметим, что проекциями единичного вектора n0 на оси Ox, Oy являются - cosα и sinα , где α - угол, составленный этим вектором с осью Ох, а

проекциями z(x, y)

n(cosα,sinα).

Так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций, то уравнению (3.40) соответствует

xcosα + ysinα − p = 0 (3.41)

Уравнение (3.41) – уравнение прямой в координатной форме.

Всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени относительно текущих координат.

§11. Общее уравнение прямой

В предыдущем параграфе было доказано, что всякая прямая может быть представлена уравнением 1-ой степени. Но справедливо обратное: всякое уравнение первой степени между двумя переменными определяет на плоскости прямую.

общее уравнение прямой.

TОпределение 3.16.T Всякий вектор, отличный от нулевого,

перпендикулярный к прямой, называется нормальным вектором прямой. Тогда вектор n(A, B) - один из нормальных векторов. Таким образом, коэффициенты

А, В имеют следующий геометрический смысл: они являются проекциями нормального вектора на координатные оси. Свободный член С геометрического

121

смысла не имеет, но если его разделить на длину вектора n и взять этот результат по абсолютной величине, то получим расстояние прямой от начала координат.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, надо его разделить на длину вектора n(A, B), взятую со знаком “+”, если свободный член

С отрицательный, и со знаком “-”, если C > 0 . Другими словами, для приведения

причем знак множителя следует взять противоположным знаку свободного члена

С в уравнении (3.42) (при С = 0 знак множителя выбирается произвольно).

Множитель µ носит название нормирующего множителя. После умножения на µ уравнение (3.42) примет вид

µAx + µBy + µC = 0

исовпадает с нормальным уравнением (3.41). Следовательно

µA = cosα; µβ = sinα; µC = −p .

122

хотя бы один из них равен 0, то уравнение называется неполным. Рассмотрим возможные случаи неполных уравнений:

1) C = 0 Ax + By = 0 определяет прямую, проходящую через начало координат.

перпендикулярную к вектору n = (O, B), параллельному оси Y. Если C = 0 , то это ось OX.

y

n(O, B)

перпендикулярную к вектору n = (A,O), параллельному оси Х. Если C = 0 , то x = 0 определяет ось Y.

123

y

l

n(A,O)

отрезок, отсекаемый прямой на оси Y. Уравнение (3.44) можно получить из общего уравнения (3.42) при B ≠ 0 . Действительно, из (3.42) имеем

y = − BA x − CB .

Обозначив − BA = k; − CB = b , придем к уравнению (3.44).

Угловой коэффициент k прямой y = kx + b численно равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси Х, т.е.

k = tgα ,

где α - угол между прямой l и положительной полуосью Х. Он называется углом наклона прямой l к оси Х.

Пусть прямая (3.44) проходит через точку M0 = (x0 , y0 ), т.е. y0 = kx0 + b .

Вычтя это равенство из (3.44), получим

124

Уравнение (3.45) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом,

проходящим через заданную точку M0 = (x0 , y0 ).

§13. Каноническое уравнение прямой

Положение прямой l на плоскости XY также однозначно определено, если известны точка M0 = (x0 , y0 ) l и вектор a = (m,n)|| l. Вектор a - называется направляющим вектором прямой. По этим данным составим уравнение прямой l.

Пусть M = (x, y) - произвольная точка прямой l. Тогда вектор

M0M = (x − x0 , y − y0 ), лежащий на этой прямой, коллинеарен вектору a . Теперь,

используя условие коллинеарности векторов, получаем соотношение

Уравнение (3.46) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

Уравнение (3.47) – параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку M0 = (x0 , y0 ) с направляющим вектором a = (m,n).

§15. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

125