Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

1) имеет модуль, равный c = ab sinϕ , где ϕ - угол между векторами a и b ,

2)перпендикулярен к плоскости векторов a и b ,

3)направлен так, чтобы тройка векторов (a,b,c) была правой.

c = a b

В D

b

О

A

c1 = a b

Рис. 3.23

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма OADB, построенного на векторах a и b .

Свойства векторного произведения

1P0P. От перестановки множителей векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняя модуль, т.е.

b a = −a b .

2P0P. Если в векторном произведении изменить знак одного из сомножителей на противоположный, то произведение также изменит знак на противоположный, т.е. a (−b)= −a b .

3P0P. Векторное умножение обладает свойством сочетательности по отношению к скалярному множителю, т.е.

(λ a) b = λ (a b) и

106

a (λ b)= λ (a b).

4P0P. Векторное умножение подчиняется распределительному закону, т.е.

(a +b) c = a c + b c .

5P0P. Векторное произведение двух векторов равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

6P0P. Если отличные от нуля векторы a и b параллельны, то их векторное произведение равно нулю.

Доказательство. Действительно, если a ≠ 0; b ≠ 0 и a || b , то угол ϕ , между ними равен 0 или π . В силу определения векторного произведения

a b = a b sinϕ , но sin 0 = sinπ = 0 a b = 0 .

7P0P. Если векторное произведение двух векторов a и b , отличных от нуля, равно нулю, то векторы параллельны.

Рис. 3.24

107

Вектор i j перпендикулярен векторам i и j и образует с ними правую тройку.

Следовательно, произведение i j есть единичный вектор, направленный по оси

OZ , т.е.

i j = k .

Аналогично находим, что j k = i ; k i = j . Переставив множители в этих равенствах на основании переместительного свойства векторного произведения получим

j i = −k ; k j = −i ; i k = − j .

Из этих формул следует, что векторное произведение двух любых смежных единичных векторов и последовательности i, j, k, i, j дает следующий вектором со знаком плюс, и обратной последовательности – со знаком минус. Это можно изобразить схемой

+

i, j,k,i, j

Для векторного произведения ортов можно составить таблицу:

Векторное произведение векторов, заданных координатами

108

Наличие распределительного и сочетательного законов для векторного умножения дает право произвести перемножение векторов

(x1i + y1 j +z1k)(x2i + y2 j +z2k)

по правилам умножения обычных многочленов с учетом свойств векторного умножения ортов.

a b=(x1i + y1 j +z1k)(x2i + y2 j +z2k)=x1x2 (i i)+ y1x2 (j i)+z1x2 (k i)+ +x1y2 (i j)+ y1y2 (j j)+z1y2 (k j)+x1z2 (i k)+ y1z2 (j k)+z1z2 (k k)

Используя таблицу векторного произведения ортов, будем иметь

a b =−y1z1k +z1x2 j +x1y2k −z1y2i −x1z2 j + y1z2i =(y1z2 −z1y2 )i +(z1x2 −x1z2 ) j +(x1y2 − y1x2 )k

Полученную формулу можно представить в виде символического определителя:

Условие коллинеарности векторов в проекциях:

x1 = y1 = z1 . x2 y2 z2

Приложение векторного произведения в геометрии и механике

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна модулю векторного произведения, т.е.

Sп = a b .

Площадь треугольника, построенного на векторах a и b , равна

Sтр. = 12 a b .

Момент силы. Пусть точка А твердого тела неподвижно закреплена, а в точке В приложена сила F .

109

При этом возникает вращающий момент, численно равный

AB F sinϕ - площади параллелограмма, построенного на векторах AB и F . В механике принято его называть моментом силы и обозначить вектором M = AB F .

§7. Смешанное произведение трех векторов и выражение его через координаты сомножителей

(a b) c

называется смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов

a, b и c .

Пусть векторы a, b и c заданы своими координатами a (x1; y1; z1 ); b(x2 ; y2 ; z2 ); c (x3; y3; z3 ).

Выразим смешанное произведение в координатах. Пусть a b = u (x, y, z), тогда по формуле скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами, будем иметь

110

Геометрический смысл смешанного произведения

Пусть векторы OA = a ; OB = b и OC = c не компланарны и составляют

правую тройку. Тогда вектор u = a b будет нормален в ту же сторону от плоскости

OADB, что и вектор c .

Подставляя (3.21) и (3.22) в (3.20), получаем

V = uпрu c = u c = (a b) c

Если векторы a, b и c образуют левую тройку (например, если на рис. 3.26 вектор c будет направлен в противоположную сторону), то все рассуждения останутся теми же, но прu c будет отрицательной, т.е.

H = −прu c ,

поэтому

(”+”, если тройка векторов a, b , c - правая; “-“ - если левая).

111

Геометрический смысл: объем параллелепипеда построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения.

Свойства смешанного произведения

1P0P. От перестановки двух сомножителей смешанное произведение меняет знак, сохраняя абсолютную величину.

Это свойство очевидно из представления смешанного произведения определителем в виде (3.19) и свойства определителей менять знак при перестановке двух строк или столбцов.

2P0P. Операции скалярного и векторного умножения в смешанном произведении можно менять местами, т.е.

(a b) c = a (b c)

Доказательство. Действительно, по предыдущему

В силу этого свойства смешанное произведение принято коротко записывать в виде (a,b, c), или a b c , где опущены знаки действий и скобки, поскольку безразлично, какие два из рядом стоящих векторов перемножаются векторно.

3P0P . Круговая перестановка трех множителей смешанного произведения не меняет его величину. Перестановка же двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный, т.е.

Условие компланарности трех векторов

Очевидно, что смешанное произведение трех векторов может отобразиться

внуль в следующих случаях:

1)если среди множителей есть хоть один нуль-вектор;

112

2)если по крайней мере два из перемножаемых векторов коллинеарны (и

значит их векторное произведение a b = 0 )

вчастности (a, a,b)= (a, b, a)= (b, a, a,)= 0 .

3)если три вектора a, b и c компланарны (параллельны одной и той же плоскости), т.к. в этом случае вектор(a b) c , и (a b) c = 0.

Объединяя все три случая, можно сказать, что (a, b, c)= 0 , если векторы a, b и c компланарны.

TТеорема 3.5. T Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a, b и c является равенство нулю их смешанного произведения.

(a, b, c)= 0

или

Последний результат непосредственно вытекает из геометрического смысла смешанного произведения, как объема параллелепипеда, построенного на ребрах

a, b и c .

Двойное векторное произведение

TОпределение 3.11. TДвойным векторным произведением называют

выражение вида a (b c)или (a b) c .

Запишем формулу, облегчающую вычисление такого произведения