Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

§ 12. Инварианты линейного оператора

Трансформационные свойства компонент векторов и матриц линейных операторов. Инварианты линейного оператора

Перейдем к рассмотрению законов преобразования компонент векторов и матриц линейного оператора при переходе к другому базису.

Пусть l1,...ln - старый (нештрихованный) базис пространства Ln , а l1′,...ln′ -

другой (новый, штрихованный) базис пространства Ln . В силу определения вектором старого базиса

невырожденной (штрихованный – номер столбца матрицы Γ). Разложим теперь контравариантный вектор x Ln по новому и старому базисам

В силу единственности разложения вектора по заданному базису из (8.14) получим

n

xi = ∑γii′xi′,i =1,n . (2.71)

i′=1

Соотношения (2.71) можно записать в матричной форме

86

-где векторы-столбцы X и X ′ сопоставляются одному и тому же

контравариантному вектору x Ln .

Формула (2.72) определяет Uзакон преобразованияU новых контравариантных

компонент вектора x в старые контравариантные компоненты того же вектора.

Сучетом сказанного из (8.16) получим такой Uзакон преобразованияU

контравариантных компонент вектора x Ln при переходе от старого базиса к новому:

n

X ′ = B X ,xi′ = ∑βii′xi ,i′ =1,n (2.74)

i′=1

На основе полученных формул можно дать определение тензоров.

TОпределение 2.67.T Пусть в n - ом линейном пространстве Ln каждому его сопоставлена совокупность чисел ζ 1,...,ζ n . Если при этом совокупности ζ 1,...,ζ n и ζ n′,...,ζ n′ , соответствующие базисам l1,...,ln и l1′,...,ln′ ,

связаны друг с другом посредством закона

i=1

то будем говорить, что задан Uодновалентный контравариантный тензорU. Сами числа ζ 1,...,ζ n - компоненты этого тензора.

TЗамечание 2.29.T Компоненты контравариантного вектора x Ln образуют одновалентный контравариантный тензор.

87

TОпределение 2.68.T Пусть в линейном пространстве Ln каждому базису

l1,...,ln сопоставлена совокупность чисел ζ1,...,ζn . Если при переходе от старого к новому базису совокупности этих чисел преобразуются по закону

i=1

то будем говорить, что задан Uодновалентный ковариантный тензорU. Совокупность чисел ζ1,...,ζn называется компонентами этого UтензораU.

Пример 2.15. Примером одновалентного ковариантного тензора является совокупность чисел a(l1 ),...,a(ln ), где a(x)- линейная форма ( a(x)- частный случай линейного оператора,

который отображает Ln в R ).

Перейдем к выяснению трансформационных свойств матрицы линейного оператора и поиску его инвариантов. Сразу отметим, что сам линейный оператор

A Uне зависитU от выбора базиса в Ln . От этого базиса зависит только матрицы этого оператора. Для выявления закона преобразования матрицы линейного оператора используем формулу (2.63) и соотношения (2.72), (2.74). Обозначим

Соотношение (2.78) и определяет Uзакон преобразованияU матрицы линейного оператора при переходе от исходного к новому базису. Данный закон можно переписать в координатной форме, если учесть правило перемножения матриц. Имеем из (2.78)

i=1 j=1

88

TЗамечание 2.30.T Совокупности чисел, однозначно сопоставляемые базисам

в

Ln и преобразующиеся по закону (2.79), называются UдвухвалентнымU Uсмешанным тензором U(один раз ковариантным и один раз ковариантным).

Формула (2.78) позволяет легко выявить UинвариантыU линейного оператора, т.е. величины, которые не изменяются при переходе к любому другому базису. Для отыскания этих инвариантов рассмотрим характеристическое уравнение для линейного оператора в новом базисе det(A′ − λ′E)= 0. Из (2.78) получим

det(A′ − λ′E)= det((ΓΤ )−1 AΓΤ − λ′(ΓΤ )−1 EΓΤ )=

=det((ΓΤ )−1 (A − λ′E)ΓΤ )= det((ΓΤ )−1 )det(A − λ′E)det ΓΤ =

=det(A − λ′E)det((ΓΤ )−1 ΓΤ )= det(A − λ′E)det E = det(A − λ′E).

Из этой цепочки равенств видно, что характеристические уравнения в новом и старом базисах совпадают (штрих над λ не играет никакой роли, а служит всего лишь меткой). Так как характеристическое уравнение представляет собой полином и два полинома равны тогда и только тогда, когда все их коэффициенты

уравнения в новом и старом базисах; см. формулу (2.67)). Итак, доказана.

TТеорема 2.27.T Все коэффициенты характеристического уравнения являются инвариантами по отношению к выбору базиса в Ln′.

89

РАЗДЕЛ 3. ВЕКТОРЫ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

§ 1. Скалярные и векторные величины

Основные понятия

Величины, с которыми приходится встречаться в физике, механике и других прикладных науках, можно разделить на два вида. Одни из них вполне определяются числом и называются скалярными величинами или скалярами (от латинского слова scala – шкала). Примерами таких величин являются длина отрезка, площадь, объём, масса тела, плотность и т.д. Любое вещественное число называется скаляром.

Величины же другого типа, для определения которых, кроме числовых значений необходимо задать ещё и направление их в пространстве, называются векторными или векторами. Физические величины: сила, скорость, ускорение движения – примеры векторных величин.

Всякую векторную величину (вектор) геометрически можно изобразить с помощью отрезка прямой определённой длины и определённого направления в пространстве.

На чертеже вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмечено направление. Одна из двух конечных точек вектора называется началом вектора, другая – концом. Вектор, имеющий началом точку А, а концом – точку В,

обозначается так: АВ (рис. 3.1).

Длина направленного отрезка, обозначающего вектор, называется длиной вектора, его модулем. Он обозначается двумя вертикальными чертами слева и справа: AB ; | a | .

90

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными.

Коллинеарные векторы или параллельны, напр. AB и CD (рис. 3.3)

B B D

C

A A

D C

Рис. 3.3

или лежат на одной прямой, например AB и EF (рис. 3.4)

1)имеют равные модули;

2)коллинеарны, т.е. расположены на одной прямой или на параллельных прямых;

3)направлены в одну сторону.

Если векторы AB и CD равны, то записывают | AB | = | CD |

B

D

A

C

Рис. 3.5

Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно помещать в любую точку пространства.

В разделе теоретической механики (статике) и геометрии такие векторы, не связанные ни с какими материальными или геометрическими точками, начало которых при параллельном переносе можно помещать в любую точку пространства, называют свободными.

91

В статике абсолютно твёрдого тела часто встречаются ещё так называемые скользящие векторы. Это векторы, начало которых при параллельном переносе можно переносить лишь по направлению каждого данного вектора. Например, на твёрдое тело А действует сила F , приложенная в точке В. Действие силы на тело не изменится, если точку приложения её перенести в другую точку тела, например в точку С, лежащую на линии действия данной силы (рис. 3.6).

A

F F

C B

Рис. 3.6

Умножение вектора на скаляр

a

2a

12 a

−2a

Рис. 3.7

Пусть вектор а (рис. 3.7) изображает перемещение точки, тогда под вектором 2а естественно подразумевать вдвое большее перемещение точки в том

же направлении, под вектором 12 a - вдвое меньшее перемещение в том же

направлении, под вектором: − 2a - вдвое большее перемещение, но в противоположном направлении и т.д. Такие соображения дают основание к следующему определению:

TОпределение 3.1.T Произведением вектора a на скаляр (число) m

называется такой вектор b ,

92

который:

1)имеет модуль, равный модулю вектора a , умноженному на абсолютное значение числа m;

2)коллинеарен с вектором a ;

3)направлен в одну сторону с вектором a при m > 0 и в противоположную сторону при m < 0.

Результат умножения вектора a на скаляр m записывается равенством b = ma .

Единичный вектор

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором (или ортом). Всякий вектор a можно выразить через единичный вектор того же

направления. В самом деле, разделив вектор a на его длину (т.е. умножив на 1a )

получим единичный вектор того же направления, что и вектор a , обозначаемый через a0 = | aa | .

§ 2. Сложение и вычитание векторов

Сложение

Пусть движущаяся точка (рис. 3.8) прошла сначала путь OА = a , затем

AB = b , затем BC = c . В результате она переместилась из точки О в точку С.

Вектор OC = R естественно назвать суммой всех данных перемещений.

Рис. 3.8

93