Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 3 ч. Ч. 1

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, ЛОГИКИ И ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

§1. Некоторые исторические сведения

Археологические исследования древних стойбищ, пещер, в которых жили далекие предки современного человека, указывают на то, что 30 - 40 тысяч лет тому назад наиболее выдающиеся представители эпохи палеолита уже обладали интеллектуальными способностями, сравнимыми с творческим потенциалом исследователей нашего времени. Примерно в те давние времена зародились первые представления о числе и счете, были построены достаточно совершенные календарные системы, а также созданы достаточно изящные произведения искусства (статуэтки животных). Во 2-ом десятке тысяч лет до нашей эры человечество, несмотря на Ледниковую эпоху, сумело создать весьма точные календари, которые позволяли предсказывать даже время наступления солнечных и лунных затмений. Примером такого календаря является, в частности, ритуальный жезл из бивня мамонта, который был найден в 1972 г. в Хакасии (его возраст составлял примерно XVIII тыс. лет).

Несравненно более высокий уровень интеллектуальной деятельности был достигнут в течение эпохи неолита (VIII-III тыс. лет до н. э.). В конце этой эпохи появились первые (ранние) цивилизации (Древние царства Египта, Шумер), в недрах которых зародилась архитектура, первые истоки философии, математики и инженерной мысли. В частности, около 3400г. до н. э. в Шумере были изобретены гончарный круг и колесо, представлявшие наиболее симметричные искусственные объекты, созданные в те времена руками человека. Кроме того, несколько позднее были изобретены весы и клещи, использование которых было неявно основано на законах рычага. В конце неолита была создана письменность (Шумер, Древний Египет), что позволило фиксировать и сохранять информацию и первые "научные" знания. Это обстоятельство существенно способствовало возникновению астрономии, математики и первых элементов физики в бронзовом веке (III-I тыс. лет до н.э.).

1

В эпоху бронзового века были сделаны первые попытки упорядочения данных опытов и наблюдений. В Древнем Египте около 2500г. до н.э. были введены единицы измерения длины, веса, объёма, времени. В Шумере, Древнем Египте, а затем в Вавилоне, были разработаны системы исчисления и процедуры выполнения арифметических операций. К тому же появились первые школы и первые математические работы. Древнейший манускрипт египетской математики был написан около 2000 лет до н.э. Ахмесом. Древними египтянами были созданы развитые календари, одна из модификаций которого (юлианский календарь) использовалась в Европе вплоть до XVI века н.э. Ремесленники и художники Древнего Востока (особенно египтяне) создали вес возможные изящные типы узоров на плоскости, которые соответствуют всем 17 типам симметричных орнаментов, которые только и могут реализовываться.

Колоссальный прорыв был достигнут человечеством в 1-ом тысячелетии до н.э. (железный век). Несмотря на то, что в эпоху бронзового века мудрецы Древнего Востока могли производить достаточно сложные вычисления, находить площади и объёмы относительно простых фигур (например, треугольников, трапеций, пирамид, цилиндров и т.п.) и решать некоторые другие задачи, они не создали развитого рационального мышления, которое основывается на использовании логических умозаключений, обобщений и элементов анализа, синтеза, Такое мышление, подход к решению разнообразных задач было разработано древними греками, Они, в частности, создали философию, логику, первые основы современной математики и физики. Среди выдающихся представителей Древней Греции нужно отметить Фалеса (ок. 624 - ок. 547 гг. до н.э.), Пифагора (VI в. до н.э.), Платона (428 или 427 - 348 или 347 гг. до н.э.), Аристотеля (ок.384 - ок,322 гг. до н.э.), Евклида (III в. до н.э.), Архимеда (ок. 287212 гг. до н.э.), Апполония (ок. 260-ок.170 гг. до н.э.), Диофанта (III в. н.э.). Древнегреческим математикам принадлежит честь создания евклидовой геометрии, а также некоторых других разделов геометрии, которые только частич-

2

но будут затронуты в курсе "Высшая математика". В частности, Апполоний исследовал некоторые важные свойства-эллипса и гиперболы.

Пифагорейцы являются создателями основ математического естествознания. В частности, они знали некоторые закономерности колебаний струн звуковых инструментов. Архимед первым доказал логическую разумность законов рычага и установил свой знаменитый закон Архимеда, используя для этого очень интересные и изящные геометрические построения и логические умозаключения. Диофант наряду с учёными Древнего Китая и Древней Индии создал основы алгебры, подлинный расцвет которой начался только в конце 1-го тысячелетия н.э. в работах арабских математиков.

Значительные успехи в области алгебры, тригонометрии, приближённых вычислений, создания удобных систем исчисления были достигнуты в XI-XV вв. в странах Древнего Востока. Кроме того, ряд выдающихся результатов был получен учёными этих стран в области астрономии.

Интеллектуальное пробуждение Западной Европы после падения Римской империи (476 г. н. э.) наступило только в XI-ХIII вв. н. э. Значительную роль в этот процесс внесли школы при монастырях и первые университеты, появившиеся в XII в. в Париже, Болонье, а в ХIII в. в Падуе, Оксфорде, Кембридже, Неаполе, Риме и т.д. Наиболее значительным вкладом европейских учёных в первой половине 2-го тысячелетия н. э. является формирование основных понятий механики (скорость, ускорение, сила и т.п.), построение функций типа у = x PаP, а - любое действительное число, а также развитие логических форм мышления (в рамках схоластических учений). Кроме того, европейским художникам эпохи Возрождения удалось установить эмпирическим путем ряд законов перспективы (они относятся к области проективной геометрии). Среди этих художников и учёных особо выделялся Леонардо да Винчи (1452-1519 гг.).

Начиная со второй половины 2-го тысячелетия н.э. европейские учёные, инженеры, изобретатели внесли наибольший вклад в развитие человеческой

3

цивилизации. В XVI в. были, в частности, решены алгебраические уравнения 3 и 4-ой степеней, были введены комплексные числа. У. Гильберт (1544-1603 гг., англ., физик) впервые использовал метод физического моделирования магнитного поля Земли, а Симон Стевин (1548-1620 г.г, нидерл. физик, матем. и инженер) использовал для доказательства закона равновесия тела, опирающегося на наклонную плоскость, невозможность существования вечного движения.

В XVII в. было создано интегральное и дифференциальное исчисление, заложены основы аналитической геометрии, сформулированы законы Кеплера, построено здание классической механики, введены понятия рядов, бесконечных произведений, цепных дробей, определены логарифмические и показательные функции, созданы первые элементы теории дифференциальных уравнений, сформулированы первые теоремы проективной геометрии.

ВXVIII в. чрезвычайно сильно были разработаны аналитические методы, а также введены двукратные, трёхкратные и иные интегралы, исследованы многие элементарные и более сложные функции. Кроме этого, в те времена зародилась математическая физика, аналитическая механика, начали усиленно развиваться методы вычислений, зародилась теория функций комплексного переменного.

ВXIX в. продолжал усиленно развиваться математический анализ, значительных успехов добились в области проективной и дифференциальной геометрии. В этом же веке были заложены основы современной алгебры, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Тогда же было разработано векторное и тензорное исчисление и даны плодотворные применения математических методов к решению физических и инженерных задач. Существенного прогресса в XIX в. добились в области теории чисел и построения более строгих и общих математических теорий, что позволило сразу охватывать и анализировать целые классы математических объектов. Это обстоятельство существенно расширило область применения математики, ее эффективность и гибкость.

4

В XVIII-XIX вв. математика в значительной мере абстрагировалась от своих истоков, что дало возможность конструировать математические объекты и развивать теории, которые сыграли неоценимую роль, в частности, в разработке физических теорий (термодинамики, статистической механики, квантовой механики, общей теории относительности). Математики в XIX и особенно в XX вв. исследовали не только количественные характеристики различных объектов, но и изучали качественные их стороны и свойства.

В XX в. математические исследования отличались уже весьма высокой степенью абстракции, широко использовались, при моделировании разнообразных процессов и применялись при проведении качественного и количественного анализа реальных технических конструкций. Математика в XX в. стала неотъемлемой частью не только науки, но и технического прогресса. Без использования ее методов невозможно решить практически ни одну сложную техническую проблему, строить физические теории, объясняющие поведение тех или иных физических объектов, явлений, процессов. Более того, без употребления образов, символов, языка, математических конструкций, методов вычислений, теорем и т.п., которые созданы и доказаны в недрах математики, по сути невозможно объяснить закономерности окружающего мира, фиксировать информацию, проводить анализ свойств объектов и делать правильные выводы о их свойствах, а также нельзя надеяться на реализацию наукоемких технических проектов.

Итак, человеческий интеллект, который является продуктом развития человечества в течение многих и многих тысячелетий, стал огромной движущей силой, развивающей человеческое сообщество. Наряду с другими науками математика играет в этом процессе не последнюю роль.

§ 2. Элементарные понятия теории множеств.

Элементарные понятия интуитивной («наивной») теории множеств. Операции над множествами. Диаграммы эйлера-венна. Примеры множеств и доказательств тождеств теории множеств

5