Задание 9 Исследование колебаний математического маятника
1 Постановка задачи
Математическому маятнику массой m и длиной нити l в низшем положении сообщена горизонтальная скорость v0 .
Исследовать характер колебаний маятника при изменении времени от 0 до tкон , определив зависимость перемещения по дуге S(t) и построив ее график. Силами сопро-
тивления пренебречь.
Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные
v0 , м/с |
l, м |
|
tкон , с |
|
Количество участков разбиения n |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
1,0 |
1,8 |
|
40 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
l |
||
S |
ϕ |
|
0 vr0 |
mg |
x |
Рисунок 1 – Расчетная схема колебания маятника
2 Математическая модель задачи
В соответствии со вторым законом Ньютона дифференциальное уравнение движения имеет вид
md 2S = −mg sin ϕ. dt 2
Так как угловое отклонение ϕ = |
S |
|
, то |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
d 2 S |
= −g sin |
S |
. |
||||
dt 2 |
l |
||||||
|
|
|
|
||||
Начальные условия движения тела |
dS |
|
|
|
|||
S(0) = 0 , |
(0) = v0 . |
||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
Таким образом, для исследования характера движения теля необходимо найти решение задачи Коши
58
d 2S |
= −g sin |
S |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
||||
dt |
|
|||||
dS |
|
(0) = v0 |
. |
|||
|
|
|
||||
|
|
|||||
dt |
|
|
|
|
|
|
S(0) = 0 |
|
|
||||
Преобразуем ее к системе дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями
|
dS |
= v |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dv |
= −g sin |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
l |
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
v(0) = v0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S(0) = 0 . |
|
|
|
|
|||||||||
Решим построенную систему методом Эйлера, используя формулы, |
||||||||||||||
t = 0 , |
v |
= v |
0 |
, |
S |
= 0 , t = |
tкон |
, |
||||||
|
||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|||
|
|
|
Si−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
ti = (i −1) t , vi = vi−1 − t g sin |
|
|
, |
Si |
= Si−1 + t vi−1, для i = 2, 3, ...,n +1. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим таблично заданную зависимость S(t) .
Список использованных источников
1.Васильев, А.В. Microsoft Office 2007: новые возможности / А.В. Васильев. –
СПб : Питер, 2007. – 159 с.
2.ГОСТ 19.701-90. ЕСПД. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения.
3.Информатика: методическое пособие к лабораторным работам для студентов машиностроительных специальностей : в 4 ч. / П.П. Анципорович [и др.]. – 2-е изд., испр. и доп. – Минск: БНТУ, 2007. – Ч. 1. Алгоритмизация инженерных задач. – 56 с.
4.Информатика: базовый курс : учебное пособие для вузов / С.В. Симонович [и др.] ; под ред. С.В. Симонович. – 2-е изд. – СПб : Питер, 2011. – 639 с.
Содержание
…
59
Вариант 10 Определение количества оборотов платформы
1 Постановка задачи
На краю горизонтальной платформы стоит человек массой m1 . Платформа представляет собой круглый однородный диск радиусом R и массой m2 , вращающийся вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, с частотой n1 .
Сколько оборотов в секунду n2 будет делать платформа, если человек перейдет
от края платформы к ее центру? Момент инерции рассчитывать как для материальной точки.
Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные |
Масса платформы |
|
||||
|
|
Масса человека |
|
Радиус платформы |
Частота оборотов |
|
|
|
m1 , кг |
|
R, м |
m2 , кг |
n1 , об/с |
|
|
80 |
|
3 |
160 |
0,1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
m2 gr |
m1gr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 – Расчетная схема вращения платформы |
|||
|
|
|
|
2 Математическая модель задачи |
|
|
|
|
Система «человек–платформа» замкнута в проекции на ось y, так как моменты |
||||
сил |
M m g = 0 и M m g = 0 на эту ось. Следовательно, можно воспользоваться законом со- |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
хранения момента импульса, который в проекции на ось y имеет вид
J1ω1 = J2ω2 ,
где J 1 — момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю, J 2 — момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, ω1 и ω2 — угловые скорости платформы в обоих случаях. В нашей задаче
J1 = m22R2 + m1R2 , J2 = m22R2 .
Зная, что щ = 2рn |
и щ = 2рn |
, получаем n |
= |
J1 |
n . |
||
|
|||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
J2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Содержание
…
60
Вариант 11 Определение параметров колебательного контура
1 Постановка задачи
Колебательный RLC-контур находится в состоянии резонанса и имеет две ветви активного сопротивлениями R1 и R2 и два пассивных элемента: конденсатор ёмкостью C и соленоид индуктивностью L. При резонансе угловая частота данного контура принимает значение ν.
Определить значение сопротивления второй ветки резонансного RLC-контура R2. Исходные данные приведены в таблице 1.
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
+ |
L |
C |
|
|
|
|
_ |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рисунок 1 − Схема простейшего RLC-контура |
|
|||||||
Таблица 1 – Исходные данные |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Наименования и технические обозначения параметров |
Значения |
Единицы |
|||||||
|
измерения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
Диэлектрическая проницаемость среды ε |
|
||||||||
|
Электрическая постоянная ε0 |
|
|
|
|
|
8,85·10-12 |
Ф/м |
||
|
Расстояние между пластинами d |
|
|
|
|
|
10-5 - 10-3 |
м |
||
|
Площадь пластин конденсатора S |
|
|
|
|
|
(5 - 150)·10-3 |
м2 |
||
|
Диаметр провода D |
|
|
|
|
|
|
(5 - 10)·10-3 |
м |
|
|
Длина провода l |
|
|
|
|
|
|
10-1 - 1 |
м |
|
|
Частота колебаний контура fр |
|
|
|
|
|
500 - 5·104 |
Гц |
||
2 Математическая модель
Угловая частота ν зависит от f p — частоты колебаний контура и определяется по
следующей |
формуле: |
|
ν = |
1 |
; индуктивность соленоида |
L определяется |
по |
формуле: |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f p |
|
|
|
|
|
L = |
|
0,01Dν |
2 |
; ёмкость конденсатора C определяется по формуле C = |
εε0S |
; сопротивле- |
||||||||||||
|
l |
+0,46 |
d |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
резонансного RLC-контура R2 |
|
|
|
|
||||||
ние |
|
второй |
ветки |
|
определяется по |
формуле: |
||||||||||||
|
|
|
|
R2 +(νL)2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R2 |
= |
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
νC |
|
(νC)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Содержание
…
61