Задание 6 Определение угла отклонения маятника
1 Постановка задачи
Тело, подвешенное на нити длиной l, при движении описывает коническую поверхность с периодом обращения Т.
Определить угол α, который образует нить конического маятника с вертикалью. Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные
Длина нити l, м |
Период обращения T, с |
|
|
1,2 |
2 |
|
|
y
α
l
|
Fн |
|
|
|
α |
|
|
0 arц |
mg |
x |
0 |
Рисунок 1 – Расчетная схема движения тела
2 Математическая модель задачи
На маятник, изображенный на рисунке 1, действует сила тяжести mgr и сила натяжения нити Fн . Ускорение маятника направлено по радиусу к центру окружности. Запишем основное уравнение динамики: marц = mgr + Fн .
Спроецируем на оси 0x и 0y: |
0 = Fн cosα−mg . |
|
|
||||
maц = Fн sin α, |
|
|
|||||
Следовательно, |
|
mg = Fн cosα. |
|
|
|||
maц = Fн sin α, |
|
|
|
||||
Разделим одно уравнение на другое |
aц |
= |
sin α |
. Но aц = |
v2 |
, где r – радиус ок- |
|
g |
cos α |
r |
|||||
|
|
|
|
||||
ружности, которую описывает маятник в горизонтальной плоскости. Из рисунка 1 видно,
что r = l sin α . Но v = |
2πr |
. Поэтому aц = |
4π2r |
= |
4π2l sin α |
. |
|
|
|||||
T |
T 2 |
|
T 2 |
|
|
||||||||
|
|
4π2l sin α |
|
|
|
|
|
gT 2 |
|||||
|
|
|
= |
|
sin α |
|
cosα = |
||||||
Подставив, получим |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
T 2 g |
cosα |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4π2l |
|||||
Содержание
…
54
Задание 7 Определение параметров движения тела
по наклонной плоскости
1 Постановка задачи
На наклонной плоскости расположено тело массой m1 , которое связано нитью с телом массой m2 . Угол наклона плоскости α, а коэффициент трения μ.
Определить ускорение а, с которым будут двигаться тела. Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные |
|
Коэффициент трения |
|
|
|
|
|||
|
Масса первого тела |
Масса второго тела |
|
Угол наклона |
|||||
|
m1 , кг |
|
m2 , кг |
|
μ |
плоскости α, град. |
|||
|
5 |
|
3 |
|
0,2 |
|
|
|
45 |
|
|
|
r |
|
|
|
x′ |
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
r |
|
|
|
T |
ar2 |
|
|
|
N |
Fтр |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
m2 gr |
|
|
|
|
α |
m1gr |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x
Рисунок 1 – Расчетная схема расположения тела на наклонной плоскости
2 Математическая модель
Запишем основное уравнение динамики материальной точки для двух тел m1gr +T1 + Fтр + N = m1ar1, m2 gr +T2 = m2ar2 .
После проецирования векторов получим скалярные уравнения
m1g sin α −T1 − Fтр = m1a1x , |
−m2 g +T2 = m2a2x , |
N − m1g cos α = 0 , |
Fтр = μN = μm1g cos α. |
Учитываем, что нить пренебрежимо малой массы T1 =T2 = T и нерастяжима a1x = a2x = a . Тогда
m1g sin α −T −μm1g cos α = m1a , − m2 g +T = m2a .
После сложения уравнений и преобразования получим:
a = g(m1 sin α −m2 −μm1 cos α) . m1 + m2
Содержание
…
55
Задание 8 Определение параметров движения тел навстречу друг другу
1 Постановка задачи
Два упругих шара массами m1 и m2 движутся навстречу друг другу. Скорость первого шара v1. После соударения скорость первого шара V1 равна нулю.
Найти скорость второго шара до удара v2 и после него V2 . Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные
Масса первого |
Масса второго |
Начальная скорость |
Скорость первого шара |
||
первого шара |
после соударения |
||||
шара m1 , кг |
шара m2 |
, кг |
|||
v1, м/с |
V1 , м/с |
||||
|
|
|
|||
18 |
12 |
|
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
vr1 |
|
v2 |
|
|
0 |
|
|
V2 |
x |
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
x |
|
|
Рисунок 1 – Расчетная схема соударения шаров |
||||
2 Математическая модель
Систему, состоящую из двух шаров, можно считать замкнутой, поскольку сила качения пренебрежительно мала, а сила притяжения шаров к Земле скомпенсирована силой реакции опоры.
Так как для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса, можно записать
r r m1vr1 + m2 vr2 = m1V1 + m2V2 ,
где V1 и V2 – скорости тел после соударения.
При проецировании векторов на ось 0х получаем
m1v1 − m2 v2 = m1V1 + m2V2 .
По условию V1 = 0 , следовательно
m1v1 − m2 v2 = m2V2 .
Используя закон сохранения механической энергии для данной замкнутой системы, в которой не действует сила трения, получим
m12v12 + m22v22 = m12V12 + m22V22 .
После преобразования составим систему уравнений
m1v1 − m2 v2 = m2V2 , m1v12 + m2v22 = m2V22 .
56
Произведем некоторые преобразования
m1v1 = m2V2 + m2 v2 = m2 (V2 + v2 ) ,
m1v12 = m2V22 −m2 v22 = m2 (V22 − v22 ) .
Поделив уравнение на уравнение, получим v1 =V2 - v2 .
Выразим v2 и подставим его в уравнение
v2 =V2 − v1 ,
m1v1 − m2(V2 - v1) = m2V2 .
Отсюда получаем
V2 = m1 + m2 v1 .
2m2
Список использованных источников
1.Васильев, А.В. Microsoft Office 2007: новые возможности / А.В. Васильев. –
СПб : Питер, 2007. – 159 с.
2.ГОСТ 19.701-90. ЕСПД. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения.
3.Информатика: методическое пособие к лабораторным работам для студентов машиностроительных специальностей : в 4 ч. / П.П. Анципорович [и др.]. – 2-е изд., испр. и доп. – Минск: БНТУ, 2007. – Ч. 1. Алгоритмизация инженерных задач. – 56 с.
4.Информатика: базовый курс : учебное пособие для вузов / С.В. Симонович [и др.] ; под ред. С.В. Симонович. – 2-е изд. – СПб : Питер, 2011. – 639 с.
Содержание
…
57