Информатика. Практикум

Постановка задачи. Решить дифференциальное уравнение y 2 y ex на отрезке [0, 2] с начальными условиями y(0) = 1 ме-

тодом Рунге-Кутта четвертого порядка. Задать шаг разбиения отрезка h = 0,5.

Пошаговый алгоритм решения

Для решения уравнения используем итерационную формулу (П 2.22). Отрезок [0, 2] разбивается с помощью шага h = 0,5 и формируется таблица (табл. П 2.2) для получения значений функции

F(x) в каждой точке xi (x0 = 0; x1 = 0,5; x2 = 1; x3 = 1,5; x4 = 2).

Шаг 0. В точке x0 = 0 значение y0 = 1 согласно начальному условию.

Шаг 1. В точке x1 = 0,5 определяется значение y1.

Шаг 2. В точке x2 = 1 определение значение y2.

391

392

Результаты вычислений приведены в табл. П2.2.

Для решения дифференциального уравнения более высокого порядка f x, y, y , y ,..., y(n) используется следующий прием. Любое

уравнение n-го порядка можно свести к системе n уравнений первого порядка способом замены переменных. Для этого вводят новые

чают эквивалентную систему

y y1, y1 y2 ,

...

yn 1 f x, y, y1, y2 ,..., yn 1 .

Указанный метод позволяет свести решение дифференциального уравнения n-го порядка к решению системы n уравнений первого порядка. В свою очередь, методы решения одного уравнения первого порядка распространяются на систему таких уравнений.

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка

393

ветственно решением дифференциального уравнения является не непрерывная функции T(x, t), а ее дискретный аналог Ti j , где i –

координата узла для переменной х; j – номер временного слоя. Таким образом, метод конечных разностей состоит в замене (ап-

проксимации) всех частных производных дифференциального уравнения разностными соотношениями, а именно приближенным вычислением бесконечно малых приращений функций и аргументов, которые называются конечными разностями. Все производные, входящие в уравнение, заменяют разностями значений функции в ближайших узлах пространственной сетки. Так, например, для двумерной сетки вычисление функции для узла (i, j) производится с использованием значений функций, полученных в узлах (i, j + 1), (i, j – 1), (i + 1, j), (i – 1, j) (рис. П 2.8).

x

y

(i, j+1)

(i-1, j) (i, j) (i+1, j)

(i, j-1)

Рис. П 2.8

Применение этого метода позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных, а в общем случае – алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функций в узлах пространственной сетки.

Решение начинается с первого временного слоя, поскольку нулевой слой по времени определяется начальными условиями. Значения функции в каждом из узлов пространственной сетки на первом временном слое определяются по ее значениям в ближайших узлах нулевого слоя. После того как будут известны значения функции в узлах пространственной сети первого временного слоя, аналогично

396

рассчитываются значения функции в узлах второго слоя, затем – третьего и т. д.

Метод конечных разностей для решения двумерной стационарной задачи

Постановка задачи. Пусть дана прямоугольная металлическая пластина с известными значениями теплопроводности ( ), теплоемкости (с) и плотности ( ), начальная температура которой равна T0. Она помещается в температурное поле с температурой T1. Необходимо рассчитать тепловое поле пластины (значение температуры в каждой точке) в последующие моменты времени.

Температура любой точки пластины зависит не только от расположения точки (координат x, y), но и от времени (t). Очевидно, что с течением времени все области пластины нагреваются сильнее и тем больше, чем ближе расположены к границе пластины. Известно, что изменение температуры подчиняется уравнению в частных производных

где T = f(x, y, t) – температура пластины в точке с координатами (x, y) в момент времени t;

a – коэффициент температуропроводности материала:

a , c

где – теплопроводность.

Решение

Шаг 1. Построение сетки в заданной области. Для решения уравнения (П 2.23) численным методом необходимо построить сетку с пространственным шагом h = x = y (рис. П 2.9). При этом пластина разбивается на большое количество узлов, находящихся на пересечении вертикальных и горизонтальных линий. Каждый узел задается парой чисел (i, j), где i = 0; n, j = 0; m. Таким образом, от непрерывных переменных х и y переходим к дискретным набо-

397

разбивается на большое количество узлов, находящихся на

пересечении вертикальных и горизонтальных линий. Каждый узел задается парой чисел (i, j), где i = 0, ,n j = 0, m. Таким образом, от непрерывных переменных х и y переходим к дискретным наборам

Рис. П 2.9

Решениемисходнойзадачиявляетсяя определениетемпературыв в последующиемомоментывремениввкаждом узле сетки, ,т.т.е.ев. вузлахузлах

398

где Ti1, j1 – температура в точке с координатами i1, j1 по осям x, y

соответственно, где i 0 и j 0, т или i 0, n и j 0 .

Таким образом, используя начальное и граничное условие можно записать формулу определения температуры пластины в начальный момент времени (t = 0):

в исходном дифференциальном уравнении разностными аналогами, построенными с помощью формулы конечных разностей. Так, первая производная заменяется конечными разностями с использованием формулы (П 2.11):

Вторые производные заменяются вычислением конечных разностей по формуле (П 2.14):

где Ti, j – температура в узле (i, j) плоскости x0y; k – номер временного слоя;

x и y – шаги сетки для величин x и y.

Таким образом, уравнение (П 2.23) после подстановки формул (П2.24)–(П2.27) будет иметь вид

399

Шаг 5. Составление системы алгебраических уравнений: