Информатика. Практикум

2) Из третьего уравнения вычесть произведение второго уравнения и первого коэффициента третьего уравнения (число 4). Вместо третьего уравнения системы будет получено (4 4)x1

(5 0,79 4)x2 6,5 2,12 4.

После упрощения третье уравнение примет вид 1,84x2 1,98 . В результате будет получена система уравнений

Таким образом, система приведена к треугольному виду, в котором все коэффициенты под главной диагональю равны нулю.

Обратный ход. Выполнить вычисление переменных последовательно, начиная с третьего и заканчивая первым уравнением.

Шаг 6. Получить x2 из третьего уравнения:

x3 0,4x1 0,2x2 0,1; x1 0,79x2 2,12;

1,98

x2 1,08. 1,84

Шаг 7. Получить x1 из второго уравнения:

Шаг 8. Получить x3 из первого уравнения:

x1 2,98;

x2 1,08.

371

Таким образом, корни системы уравнений: x1 = 2,98; x2 = –1,08; x3 = – 1,51.

П2.2. Основные теоретические сведения

очисленных методах решения нелинейных уравнений

Общая постановка задачи. Во многих практических инженерных задачах возникает необходимость решения уравнения вида

аналитическом виде, так как решение нельзя выразить в виде алгебраических функций.

Только для простейших нелинейных уравнений можно найти решение в аналитическом виде, т. е. записать формулу, выражающую искомую величину x в явном виде через параметры pk. В большинстве же случаев уравнения вида (П 2.5) приходится решать численными методами. В результате численного решения уравнения (П 2.5) получают таблицы зависимостей искомой величины x от параметров pk. Чаще всего фиксируют все параметры, за исключением одного, который изменяют в интересующем интервале с выбранным шагом и получают одномерные таблицы и графики на плоскости.

Численное решение уравнения (П 2.5) обычно проводят в два этапа. На первом этапе необходимо отделить корни уравнения, т. е. найти такие интервалы изменения переменной x, где расположен только один корень. Для этого в определенном интервале изменения переменной x [x0, xn ] при фиксированных параметрах pk

необходимо вычислить ряд значений f(x) и результаты поместить в таблицу. На втором этапе находят корни с заданной точностью. Для уточнения корней могут использоваться методы дихотомии, методы Ньютона и др.

В основе этих методов лежат рекуррентные последовательности. Рекуррентная последовательность – это последовательность, члены

372

которой связаны рекуррентной формулой. Рекуррентная формула – это формула вида

[a, b]. Необходимо с заданной погрешностью ε найти корень уравнения

П 2.2.1. Метод дихотомии

Сущность метода дихотомии состоит в поэтапном делении отрезка [a, b], на котором находится корень уравнения (П 2.6), пополам.

На первом этапе табулируют функцию на отрезке [x0 , xn ] с заданным шагом. В результате получают таблицу значений

373

Из рисунка видно, что на отрезках [x0 , x1] , [x3 , x4 ] , [x6 , x7 ] функция меняет свой знак, следовательно, на интервале [x0 , x7 ] она

имеет три корня. На втором этапе на выделенных интервалах осуществляется поиск корней с заданной точностью .

Пошаговый алгоритм решения

Шаг 1. Определяется первое приближение корня x1 = (a + b)/2, которое затем проверяется на точность (условие окончания вычислений). Если (b – a)/2 > , вычисления продолжаются.

Шаг 2. Из двух отрезков [a, х1] и [х1, b] выбирается тот, на котором функция f(x) меняет знак. В соответствии с иллюстрацией выбирается отрезок [a, х1], на котором выполняется условие f(а) f(х1) < 0.

Шаг 3. Вычисляется второе приближение корня х2 = (a + х1)/2 и проверяется условие окончания вычислений. Если (х1 – a)/2 > , вычисления продолжаются.

Шаг 4. Из двух отрезков [a, х2] и [х2, х1] выбирается тот, на котором функция f(x) меняет знак. В соответствии с иллюстрацией выбирается отрезок [х2, х1], на котором выполняется условие f(x2) f(х1) < 0.

Шаг 5. Вычисляется третье приближение корня х3 = (х1 + х2)/2 и проверяется условие окончания вычислений.

374

Проверяется условие окончания вычислений. Если |b – a| > , вычисления продолжаются.

Шаг 2. Из двух отрезков [a, х1] и [х1, b] выбирается тот, на котором функция f(x) меняет знак. В соответствии с иллюстрацией выбирается отрезок [х1, b], на котором выполняется условие f(b)∙f(х1) < 0.

Шаг 3. Вычисляется второе приближение корня

и проверяется условие окончания вычислений. Если |х1 – b| > , вычисления продолжаются.

Шаг 4. Из двух отрезков [х1, х2] и [х2, b] выбирается тот, на котором функция f(x) меняет знак. В соответствии с иллюстрацией выбирается отрезок [х2, b], на котором выполняется условие f(b) f(х2) < 0.

Шаг 5. Вычисляется третье приближение корня

376

и проверяется условие окончания вычислений. Если |х2 – b| > , вычисления продолжаются.

…

Шаг m. Вычисляется n-е приближение корня на отрезке [xn-2, xn-1]

и проверяется условие окончания вычислений. Если |хn-1 – хn-2)| ≤ , вычисления закончены и корнем нелинейного уравнения является значение хn.

Mетод касательных. При использовании метода касательных проводится касательная к графику функции f(x) и за новое приближение принимается точка, в которой касательная пересекает ось Х.

водная f (c) имеют одинаковые знаки. Для проверки этого условия используется выражение f (c) f (c) . Если оно больше нуля, то эти

величины имеют одинаковые знаки, если меньше – разные. Вычисления продолжаются до тех пор, пока разница между приближениями не станет меньше или равна погрешности, а именно |xi+1 – xi| ≤ ε.

В иллюстрациях пошагового алгоритма пунктирной линией обозначена проведенная касательная.

Пошаговый алгоритм решения

Шаг 1. Определяется точка для проведения касательной – это точка начала (a) или конца отрезка (b). Поскольку в точке b функ-

377

Шаг 3. Из двух отрезков [a, х1] и [х1, b] выбирается тот, на котором функция f(x) меняет знак. В соответствии с иллюстрацией выбирается отрезок [a, х1], на котором выполняется условие f(a) f(х1) < 0.

Шаг 4. Определяется точка для проведения касательной – это точка начала (a) или конца отрезка (х1). Поскольку в точке х1 функция f(х1) и вторая производная f (x1) имеют одинаковые знаки

(выполняется условие f (x1) f (x1) ), искомая точка х1.

Шаг 5. Вычисляется второе приближение к корню

Проверяется условие окончания вычислений. Если |x2 – x1| > , вычисления продолжаются.

378

Шаг 7. Из двух отрезков [a, х2] и [х2, x1] выбирается тот, на котором функция f(x) меняет знак. В соответствии с иллюстрацией выбирается отрезок [a, х2], на котором выполняется условие f(a) f(х2) < 0.

Шаг 8. Определяется точка для проведения касательной – это точка начала (a) или конца отрезка (х2). Поскольку в точке х2 функция f(х2) и вторая производная f (x2 ) имеют одинаковые знаки

(выполняется условие f (x2 ) f (x2 ) ), искомая точка – х2.

Шаг 9. Вычисляется третье приближение к корню

Проверяется условие окончания вычислений. Поскольку |x3 – x2| > , вычисления продолжаются.

…

Шаг m. Рассматривается отрезок [xn–2, xn–1]. Определяется точка для проведения касательной – это точка начала (xn–2) или конца отрезка (xn–1). Поскольку в точке хn–2 функция f(хn–2) и вторая производная f (xn 2 ) имеют одинаковые знаки (выполняется условие

f (xn 2 ) f (xn 2 ) ), искомая точка хn-2.

вычислений. Если |хn-1 – хn-2| ≤ , вычисления закончены и корнем нелинейного уравнения является значение хn.

П 2.2.3. Метод простых итераций

Пусть задан отрезок [a, b] для поиска корня функции f(x). Представим уравнение (П 2.6) в виде

379

то существует единственное решение уравнения (П 2.7) при любом начальном значении корня x0 [a,b] .

Для поиска корня необходимо использовать итерационную формулу: каждое следующее приближения корня xi+1 вычисляется по формуле xi 1 i ) . Вычисления продолжаются до тех пор, пока

разница между приближениями не станет меньше погрешности, а именно |xi+1 – xi| ≤ ε.

П2.3. Основные теоретические сведения

очисленных методах аппроксимации

Методы аппроксимации функции используются для определения аналитической формулы многочлена, который наилучшим образом описывает исходную функцию, заданную таблично.

Общая постановка задачи. Пусть функция yi f xi , где

i = 1, п, задана таблично. Определить аппроксимационный многочлен m-степени, наилучшим образом описывающий табличную функцию. В качестве критерия оптимизации использовать функционал, построенный по методу наименьших квадратов и обеспечивающий минимальный разброс точек табличной и моделируемой функций многочлена. Вид функционала следующий:

n – число точек табличной функции;

m – степень аппроксимирующего многочлена.

380