Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5306 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Информатика. Практикум

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
5.18 Mб
Скачать
☆

Рис. 4.82

Задача 4.9. Изменив формулу функции y = cos2x на y = cos4x, численно определить вторую, третью и четвертую производные, используя формулу центральных разностей. Построить графики функции y = cos4x и вышеперечисленных производных. Определить

значения

сумм

S

n1 f ' (x ) ,

S

n2

f '' (x )

n2 cos( f '' (x )) ,

 

 

 

 

 

1

 

i

 

 

2

 

i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

S

n3

f ''' (x )

n3 cos( f ''' (x )) ,

S

4

n4 f '''' (x )

n4 cos( f

'''' (x )) ,

где

 

3

 

i

 

 

i

 

 

i

 

 

 

i

 

 

i 1

 

 

i

1

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

f′(xi), f′′(xi), f′′′(xi), f′′′′(xi) – производные первого, второго, третьего и четвертого порядка, вычисленные по формуле центральных разностей.

Алгоритм решения

Шаг 1. Используя значение аргумента Х из задачи 4.8, вычислим значения Y. В результате проведенных действий будет получена таблица значений, представленная на рис. 4.83.

Шаг 2. Вычислим табличные значения производной y′ по формуле центральных разностей (П 2.11) (рис. 4.84).

221

Рис. 4.83

Рис. 4.84

Шаг 3. Вычислим табличные значения производных y′′ (рис. 4.85), y′′′ (рис. 4.86) и y′′′′ (рис. 4.87) по формуле центральных разностей

(П 2.11).

Рис. 4.85

Рис. 4.86

222

Рис. 4.87

Шаг 4. Используя функцию Мастер диаграмм, построим следующие графические зависимости:

y1 = f(x),

y2 = y′ = f2(y),

y3 = y′′ = f3(y′),

y4 = y′′′ = f4(y′′),

y5 = y′′′′ = f5(y′′′),

где f2(y), f3(y′), f4(y′′), f5(y′′′) – табличные функции, полученные на основе формулы центральной разности. Графики исходной (кривая 1) и дифференциальных функций первого (кривая 2), второго (кривая 3), третьего (кривая 4) и четвертого (кривая 5) порядков, полученных на основе формулы для центральной разностей, представлены на рис. 4.88.

223

Рис. 4.88

Шаг 5. Найдем значения сумм

 

 

S

n1

f ' (x ) ,

 

 

 

1

i

 

 

 

 

i 1

 

 

 

n2

'' (x )

n2

'' (x )) ,

S

2

f

cos( f

 

 

i

 

i

 

i

1

 

i 1

 

224

S

3

n3 f ''' (x )

n3 cos( f ''' (x )) ,

 

 

 

i

 

i

 

 

 

i

1

i

1

 

 

 

n4

n4

S

4

 

f '''' (x )

 

cos( f '''' (x ))

 

 

i

 

i

 

 

 

i

1

i

1

с помощью встроенных функций EXCEL (рис. 4.89). В результате получим S1 = 0,345; S2 = 15,204; S3 = –19,734; S4 = –7,404.

Рис. 4.89

Задача 4.10. Используя метод трапеций, вычислить значение интеграла (шаг интегрирования равен 0,01)

2

S x2dx .

1

225

Алгоритм решения

Шаг 1. Распишем квадратурную сумму для вычисляемого интеграла в соответствии с формулой суммирования интеграла по методу трапеций:

хn

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx

 

f

x

 

2 f

x

h

...

2 f

x

h(n 1) f x

 

; (4.11)

 

 

0

n

 

2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

х0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0,01

 

 

 

0,01 2

 

 

1 0,01 99 2

 

 

S

x2dx

 

1

2

1

...

2

 

22 .

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 2. Построим табулированную подынтегральную функцию y = x2, используя шаг 0,01. В соответствии с формулой трапеций

(4.11) на

концах табулированной

функции принять

f(x0) = 1,

f(xn) = 2.

Значения f(x0+h),

f(x0+2h), …, f(x0+(n–1)h)

требуется

умножить на 2. В результате получим столбец Si (рис. 4.90).

 

n

 

 

0,01

 

 

Шаг 3. Вычислим S1

Si и S

 

S1 , где S1 –

численное

2

 

i 1

 

 

 

значение интеграла (рис. 4.90).

Шаг 4. С целью проверки полученного численного значения интеграла (S = 2,33) определим его аналитическое значение:

2

 

x

3

 

2

2

3

3

7

 

 

 

 

S

x 2 dx

 

 

 

 

1

2,33 .

3

 

 

3

 

3

 

3

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Численное значение интеграла (S = 2,33) и его аналитическое значение совпали.

226

Рис. 4.90

Рис. 4.91

4.5. Решение дифференциальных уравнений

4.5.1. Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

Задача 4.11. Решить дифференциальное уравнение y 2 y ex

на отрезке [0, 2] методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Начальное условие Коши y(0) = 1.

227

Алгоритм решения

Шаг 1. Распишем формулы для вычисления коэффициентов и значения уравнения.

Для i-й итерации коэффициенты k1, k2, k3, k4 вычисляются с использованием значений xi, yi:

k

 

f (x

, y ) 2y exi ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

i

i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

h k

 

 

 

 

 

h k

 

 

 

 

xi

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

2

f (x

 

 

, y

i

 

 

1

) 2 ( y

i

 

 

 

1

) e

2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

2

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

h k2

 

 

 

 

h k2

) exi

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

3

f (x

 

, y

i

 

) 2 ( y

i

 

2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

2

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

4

f (x h, y h k

3

) 2 ( y h k

3

) exi h .

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для i + 1 итерации значение y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

h

k

2k

 

2k

 

k

 

.

i

1

 

i

 

 

 

 

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг изменения переменной х (xi+1 – xi) установить равным 0,1 (ячейка D1).

Шаг 2. Первая итерация (результаты представлены на рис. 4.97). Используя начальные значения x1 = 0 и y1 = 1, вычислить значения коэффициентов k1, k2, k3, k4 и значение y2 по формулам, приведенным

выше. Для этого необходимо сделать следующее (рис. 4.92–4.97):

–ввести значение шага для переменной х в ячейку D1, ссылку на которую в формулах следует сделать абсолютной (обозначить ее $D$1), таким образом при копировании формул ссылка на эту ячейку не сместится;

–ввести начальные значения x, y (B4, B9) (рис. 4.92);

–вычислить коэффициент k1 (B5) (рис. 4.93);

–вычислить коэффициент k2 (B6) (рис. 4.94);

–вычислить коэффициент k3 (B7) (рис. 4.95);

–вычислить коэффициент k4 (B8) (рис. 4.96);

–вычислить значение y для следующей итерации (C9) (рис. 4.97).

228

Рис. 4.92

Рис. 4.93

Рис. 4.94

Рис. 4.95

Рис. 4.96

Рис. 4.97

Шаг 3. Вторая итерация (результаты представлены на рис. 4.101):

– ввести значение x для второй итерации, получаемой по формуле x2 = x1 + h = 1 + 0,1 = 1,1 (C4) (рис. 4.98);

229

–вычислить коэффициенты k1, k2, k3, k4 , для этого необходимо выделить формулы, находящиеся в ячейках диапазона B5 : B8 (рис. 4.99) и скопировать их в соседние ячейки C5 : C8 (рис. 4.100);

–вычислить значение y для следующей итерации, для этого необходимо скопировать формулу из ячейки B9 в ячейку C9

(рис. 4.101).

Рис. 4.98

Рис. 4.99

Рис. 4.100

Рис. 4.101

Шаг 4. Повторять действия, описанные в шаге 3, пока x не станет равен 2. Для этого необходимо:

230

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности