Информатика. Практикум

Этап 6. Решим систему линейных уравнений (4.9) с помощью матричных операций в MS EXCEL.

Шаг 1. На первом шаге представим коэффициенты системы линейных уравнений (4.9) в виде матрицы коэффициентов Т размером 4 4, а свободные члены линейных уравнений (4.7) – в виде матри- цы-вектора С размером 4 1 (рис. 4.69). Значения а0, а1, а2, а3 будут

представлены как вектор неизвестных А4 1. Таким образом, система уравнений (4.9) будет записана в матричном виде: АТ = С. Чтобы найти вектор А4 1, необходимо умножить обе части полученного

уравнения на матрицу T4 14 , обратную матрице Т4 4: АТТ–1 = СТ–1. В результате получим соотношение А = СТ–1.

Рис. 4.69

Шаг 2. На втором шаге найдем обратную матрицу T4 14 , исполь-

зуя функцию возвращения обратной матрицы МОБР(). Для этого выделим диапазон ячеек, в которых должна разместиться обратная матрица, и последовательно активизируем команды Вставка функции → МОБР (рис. 4.70). Зайдя в диалоговое окно МОБР(), заполним поле Массив, задав координаты матрицы Т4 4 (рис. 4.71). Для завершения действия с функцией МОБР() нажимаем одновременно комбинацию клавиш Ctrl + Shi ft + Enter (рис. 4.72).

214

Шаг 3. Найдем вектор неизвестных А, умножив матрицу Т–1 на вектор С: А = СТ–1. Для этого выделим группу ячеек, в которых должен разместиться вектор неизвестных, и активизируем последо-

вательно команды Вставка функции → МУМНОЖ (рис. 4.73).

Рис. 4.73

Заполним поля Массив1 и Массив2, задав координаты матрицы Т–1 и вектора С (рис. 4.74).

Рис. 4.74

216

Завершаем действие с функцией МУМНОЖ(), нажав одновременно комбинацию клавиш Ctrl +Shift+Enter. В результате на листе EXCEL получаем столбец со значениями элементов вектора неизвестных А размером 4 1 (рис. 4.75), т. е. при решении системы линейных уравнений (4.9) получен полином следующего вида:

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3,

где a0 = –7,71, a1 = –2,39, a2 = –1,09, a3 = 2,98.

Рис. 4.75

Этап 7. Для построения функций у и урасч, используем табличные (см. табл. 4.2) и расчетные данные. Расчетные данные величины урасч получаются путем прямой подстановки значений х в формулу полинома y = –7,71 – 2,39x – 1,09x2 + 2,98x3. Это можно сделать с помощью операторов MS EXCEL. Полученные значения урасч представлены в табл. 4.4.

Таблица 4.4

217

Этап 8. По данным табл. 4.2 и 4.4 построим графики зависимости у от х ( ) ) и урасч от х (•) (рис. 4.76).

Рис. 4.76

На рис. 4.77 представлена часть диаграммы (см. рис. 4.76), на которой хорошо видно различие между заданными у и полученными урасч величинами. Тем не менее ход рядов у и урасч аналогичен (рис. 4.76), а значения у и урасч достаточно близки (см. табл. 4.2 и 4.4).

Рис. 4.77

218

4.4.Численное дифференцирование

иинтегрирование функций

Задача 4.8. Провести численное дифференцирование функции y = cos(2x), заданной таблично на участке [–2π, 2π] с шагом 0,25, предварительно её протабулировав. Построить графики исходной и дифференциальной функций. При дифференцировании использовать формулы для левой, правой и центральной разностей

(П 2.11)–(П 2.13).

Алгоритм решения

Шаг 1. Зададим начальное значение аргумента х = –6,28. Введем ряд значений Х с шагом 0,25. Вычислим соответствующие значения Y. В результате проведенных действий будет получена таблица значений Х и Y, представленная на рис. 4.78.

Шаг 2. Вычислим табличные значения производной по формуле центральных разностей (П 2.11) (рис. 4.79).

219

Шаг 3. Вычислим табличные значения производной по формуле левых разностей (П 2.12) (рис. 4.80).

Шаг 4. Вычислим табличные значения производной по формуле правых разностей (П 2.13) (рис. 4.81).

Шаг 5. Используя функцию Мастер диаграмм, построим следующие графические зависимости:

y1 = f(x), y2 = f2(x), y3 = f3(x), y4 = f4(x),

где f2(x), f3(x), f4(x) – табличные функции, полученные на основе формул центральной, левой и правой разностей соответственно. Графики исходной (кривая 1) и дифференциальных функций, полученных на основе формул для центральной (кривая 2), левой (кривая 3), правой (кривая 4) разностей представлены на рис. 4.82.

220