Информатика. Практикум

–вычисляем значения функции на границах отрезка f(a2), f(b2) (E5, F5);

–вычисляем приближение корня x2 на отрезке [a2; b2] по форму-

–вычисляем значения функции в точке x2 – f(x2) (G5);

–вычисляем значение погрешности по формуле x2 x1 (I5)

(рис. 4.30).

Рис. 4.30

Шаг 3. Итерации вычислений продолжаем до тех пор, пока не будет получено значение точности, меньшее заданного. Для этого выделяем диапазон B5 : I5. Растягиваем его вниз до тех пор, пока значение точности (столбец I) не станет меньше заданного (0,01) (рис. 4.31).

Рис. 4.31

Таким образом, из рисунка видно, что для поиска корня уравнения с заданной точностью достаточно восьми итераций и значение корня на заданном отрезке составляет 2,362 (значение x8).

Иллюстрация решения приведена на рис. 4.32. Как видно из рисунка, проведенная хорда для каждой итерации стремится к искомому корню уравнения.

191

Задача 4.4. Разработать алгоритм решения нелинейного уравне-

ния ex2 x3 10 0 на отрезке [1, 4] методом касательных с точностью 0,01. Положение корня в плоскости XY проиллюстрировать графически.

Алгоритм решения

Предварительное табулирование. Найдем значения функции f (x) ex2 x3 10 на отрезке [1, 4], используя шаг изменения

переменной х, равный 0,2 (см. рис. 4.16). Построим график функции (см. рис. 4.17). Найдем первую и вторую производные функции f(x) по формулам

192

В дальнейшем при вычислении производных будем использовать полученные формулы.

Алгоритм нахождения корня уравнения

Шаг 1. Первая итерация (результаты представлены на рис. 4.35):

–вводим номер итерации (i = 1) (B4);

–вводим значения границ отрезка (a1 = 1 и b1 = 4) (C4, D4);

–вычисляем значения функции на границах отрезка f(a1), f(b1)

(E4, F4);

–вычисляем значение второй производной в точке a1: f (a1) по

формуле (4.5) (G4) (рис. 4.33);

Рис. 4.33

– вычисляем приближение корня x1 на отрезке [a1; b1]; для этого необходимо оценить выражение f (a) f (a1) : если f (a) f (a1) ,

то касательная проводится к точке а и приближение x1 вычисляется по

f (b) , f (a) – это значения производной в точке b и a (G4), ко-

торые определяются по формуле (4.4) с использованием функции ЕCЛИ(), а именно: для ячейки H4 вводится формула

=ЕСЛИ(E4*G4>0;C4-E4/(EXP(C4/2)/2 – 3*C4*C4);D4-F4/(EXP(D4/2)/2 –

– 3*D4*D4)) или с помощью диалогового окна (рис. 4.34);

193

– вычисляем значения функции на границах отрезка f(a2), f(b2) (E5, F5); значение второй производной в точке a2: f (a2 ) (G5),

приближение корня x2 на отрезке [a2; b2] (H5); значение функции в точке х2: f(x2) (I5) – для этого выделяем диапазон E4 : I4 и растягиваем маркер заполнения вниз на одну строку (рис. 4.39);

Рис. 4.39

– вычисляем значение точности по формуле x2 x1 (J5) (рис. 4.40).

Рис. 4.40

Шаг 3. Итерации вычислений продолжаем до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Для этого выделяем диапазон B5 : J5 и растягиваем его вниз до тех пор, пока значение точности (столбец J) не станет меньше заданной (0,01) (рис. 4.41).

Рис. 4.41

196

4.2.4. Задача решения нелинейного уравнения методом простых итераций

Задача 4.5. Разработать алгоритм решения нелинейного уравне-

ния ex2 x3 10 0 на отрезке [1, 4] методом простых итераций с погрешностью 0,01.

197

ex2

2) производная x) ,

6 3 (10 ex2 )2

то можно использовать метод простых итераций, по которому следующее приближения корня xi+1 вычисляется по формуле xi 1 i ) .

Шаг 1. Первая итерация:

–введем номер итерации (i = 1) (B3);

–введем начальное приближение к корню уравнения (x1 = 1) (C3) (рис. 4.43).

Рис. 4.43

Шаг 2. Вторая итерация:

– введем номер итерации (i = 2) (B4);

– вычислим следующее приближение к корню уравнения

Шаг 3. Повторяем действия шага 2, пока не будет достигнута заданная точность. Для этого необходимо выделить диапазон ячеек B4 : D4 (рис. 4.46) и растянуть маркер заполнения вниз (рис. 4.47).

198

программы MS EXCEL или Microsoft Office и затем, следуя инструкциям в окне пошаговой установки, установить надстройку По-

иск решения, указав для нее опцию запускать с моего компьютера всегда.

Алгоритм работы с надстройкой Поиск решения

В диалоговом окне Поиск решения есть три основных параметра:

1.«Установить целевую ячейку»;

2.«Изменяя ячейки»;

3.«Ограничения».

Сначала нужно заполнить поле Установить целевую ячейку. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул, в ней происходит оптимизация результата. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или же установить конкретное значение.

Второй важный параметр — это параметр Изменяя ячейки. Изменяемые ячейки — это те ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К изменяемым ячейкам предъявляются два основных требования. Они не должны содержать формул, и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависима от изменяемых ячеек.

Третий параметр, который нужно вводить для функции Поиск решения, – это ограничения. В качестве ограничений можно указать, например, диапазон изменения данных в изменяемых ячейках.

Задача 4.6. Разработать алгоритм решения нелинейного уравнения f (x) ex2 x3 10 0 на отрезке [–10, 4] с помощью надстройки MS EXCEL Поиск решения.

Алгоритм решения

Предварительное табулирование. Построим табулированную функцию f (x) ex2 x3 10, используя шаг изменения переменной х, равный 1 (рис. 4.48).

200