Информатика. Практикум

В результате проведенной проверки получен вектор свободных членов системы уравнений (4.3), аналогичный вектору С4 1, т. е. система уравнений (4.3) решена правильно (см. рис. 4.15).

Рис. 4.15

4.2.Решение нелинейных уравнений и систем

4.2.1.Задача решения нелинейного уравнения

методом дихотомии

Задача 4.2. Решить нелинейное уравнение f (x) ex2 x3 10 на

отрезке [1, 4] методом дихотомии с точностью 0,01. Проиллюстрировать графически положение корня в плоскости XY.

Алгоритм решения

Обозначим отрезок, на котором будет производиться поиск корня, как [a, b]. Суть метода состоит в циклическом выполнении двух операций:

1)уточнение отрезка существования корня уравнения (выбор половины отрезка [a, b], который содержит корень уравнения);

2)выбор нового отрезка до тех пор, пока допустимая погрешность вычисления корня не станет меньшей либо равной заданной точности (0,01).

182

Предварительное табулирование. Найдем значения функции f (x) ex2 x3 10 на отрезке [1, 4], используя шаг изменения пе-

ременной х, равный 0,2, т. е. проведем предварительное табулирование уравнения (рис. 4.16). Как видно из рисунка, заданная функция меняет знак на отрезке [1, 4] и, значит, можно найти корень функции f(x) на этом отрезке.

Построим график функции f(x) с помощью функции «Мастер диаграмм». Для этого выделим диапазон данных B4 : C19, активи-

зируем функцию «Мастер диаграмм», выберем тип «Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров», зададим значения Х, имена рядам данных и нажимаем кнопку «Готово». В результате появится график табулированной функции f(x) на отрезке [1, 4] (рис. 4.17).

Рис. 4.16

183

-20

-30

-40

-50

Рис. 4.17

Алгоритм нахождения корня

Для поиска корня уравнения используются итерационные вычисления – деление выбранного отрезка пополам.

Шаг 1. Первая итерация (результаты представлены на рис. 4.18):

–вводим номер итерации (i = 1) (B4);

–вводим значения границ отрезка (a1 = 1 и b1 = 4) (C4, D4);

–вычисляем значение координаты середины отрезка – х1 = (a1 +

+b1)/2 (E4);

–вычисляем f(a1), f(b1), f(х1) (F4, G4, H4);

–вычисляем значение точности по формуле |b1 – a1|/2 (I4).

Рис. 4.18

Шаг 2. Вторая итерация (результаты представлены на рис. 4.21):

–вводим номер итерации (i = 2) (B5);

–определяем левую границу нового отрезка a2 (С5) по алгорит-

му: если f(a1) f(х1) < 0, то a2 = a1, иначе а2 = х1 – для этого для ячейки С6 в строке формул вводится формула с использованием функции ЕCЛИ(), а именно, = ЕСЛИ(F4*H4<0;C4;E4) или с помощью диалогового окна (рис. 4.19);

184

– определяем правую границу нового отрезка b2 (D5) по алго-

ритму: если f(a1) f(х1) < 0, то b2 = х1, иначе b2 = b1. Для этого аналогично предыдущему пункту для ячейки D5 в строке формул вводится формула с использованием функции ЕCЛИ(), а именно: =ЕСЛИ(F4*H4<0;E4;D4), или с помощью диалогового окна

(рис. 4.20);

– вычисляем значения х2, f(a2), f(b2), f(х2), точность второй итерации, для этого выделяем диапазон E4 : I4 и растягиваем его на один ряд вниз, в результате в ячейках E5 : I5 появятся значения второй итерации (рис. 4.21).

Рис. 4.19

185

4.2.2. Задача решения нелинейного уравнения методом хорд

Задача 4.3. Разработать алгоритм решения нелинейного уравнения f (x) ex2 x3 10 0 на отрезке [1, 4] методом хорд с точно-

стью 0,01.

Алгоритм решения

Предварительное табулирование. Найдем значения функции f (x) ex2 x3 10 на отрезке [1, 4], используя шаг изменения

переменной х, равный 0,2 (см. рис. 4.16). Построим график функ-

ции (см. рис. 4.17).

Алгоритм нахождения корня уравнения

Шаг 1. Первая итерация (результаты представлены на рис. 4.26):

–вводим номер итерации (i = 1) (B4);

–вводим значения границ отрезка (a1 = 1 и b1 = 4) (C4, D4);

–вычисляем значения функции на границах отрезка – f(a1), f(b1),

(E4, F4) (рис. 4.24);

Рис. 4.24

188

– вычисляем приближение корня x1 на отрезке [a1; b1] по форму-

Рис. 4.25

– вычисляем значение функции в точке x1 – f(x1) (G4) (рис. 4.26).

Рис. 4.26

Шаг 2. Вторая итерация (результаты представлены на рис. 4.30):

–вводим номер итерации (i = 2) (B5);

–определяем левую границу нового отрезка a2 (C5) по алгорит-

му: если f(a1) f(x1) < 0, то a2 = a1, иначе а2 = x1 – для этого для ячейки C5 в строке формул вводится формула с использованием функции ЕCЛИ(), а именно: =ЕСЛИ(C4*G4<0;C4;H4), или с помощью диалогового окна (рис. 4.27);

189