Информатика. Практикум

ми: массив значений корней системы XK, флаг существования решения системы – переменная B (равна false, если матрица коэффициентов невырожденная и система имеет решение).

Символ 1. Начало алгоритма.

Символы 2–3. Присвоение первоначальных значений коэффици-

ентам T0, T1, T2, T3, T4, C0, C1, C2.

Символы 4–8. В цикле с параметром I = 1; 10 производится ввод значений элементов массивов X[I] и Y[I] и вычисление коэффициентов T0, T1, T2, T3, T4, C0, C1, C2 с использованием суммирования.

Символы 9–11. Формирование массива коэффициентов А, содержащего коэффициенты системы уравнений (передаются в качестве входного параметра в процедуру Gauss).

Символ 12. Вызов процедуры Gauss, реализующей решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Символ 13. Проверка условия существования решения системы уравнений (B = false).

Символ 14. Вывод на экран сообщения «Система не имеет решения». Символ 15. Вывод значений корней системы уравнений производится в цикле (табл. П 1.13), на схеме для упрощения вывод пред-

ставлен в одном символе. Символ 16. Конец алгоритма.

151

Рис. 3.7

152

3.4. Дифференцирование и интегрирование табулированных функций

Задача 3.8. Разработать схему алгоритма и программу вычисле-

x1

ния и вывода на экран значения интеграла (12x2 e x )dx с помо-

x0

щью метода прямоугольников с шагом интегрирования h. Значения h, x0, x1 задаются с клавиатуры. Вычисление значения функции

12x2 ex оформить в виде подпрограммы (function).

Решение задачи

Схема алгоритма решения задачи представлена на рис. 3.8.

1Начало

7 Вывод

Int

8

Конец

Рис. 3.8

153

Пояснения к схеме алгоритма

Обозначения:

Int – значение интеграла, вычисленное методом прямоугольников;

F – функция для вычисления значения функции 12x2 ex ; D – число узлов на отрезке интегрирования.

Символ 1. Начало алгоритма. Символ 2. Ввод начальных данных.

Символ 3. Вычисление числа разбиений на прямоугольники (D) – числа узлов на отрезке интегрирования.

Символы 4–6. Вычисление в цикле с параметром I = 1; D суммы Int с помощью функции F для вычисления исходной функции.

Символ 7. Вывод на экран значения интеграла. Символ 8. Конец алгоритма.

Программа

Program Intgr;

Var

X0, X1, h, Int : Real; D, I : Integer;

Function F(X : Real) : real;

Begin {начало раздела операторов функции F}

F := 12*X*X + Exp(X);

end; {конец функции F}

Begin {начало раздела операторов основной программы} {ввод пределов интегрирования X0, X1}

Write('Введите пределы интегрирования '); Readln(X0, X1); Write('Введите шаг h '); Readln(h); {ввод шага h}

D:=Round((X1-X0)/h); {вычисление числа узлов отрезка} Int := 0; {первонач. значение значения интеграла} For I:=1 to D do {цикл – по узлам отрезка интегрирования}

Int := Int + F(X0 + I*h/2)*h; {вычисление интеграла}

Writeln('Значение интеграла = ', Int:6:2); {вывод результата}

End. {конец основной программы}

Результаты работы программы

Введите пределы интегрирования 1 5 Введите шаг h 0.1

Значение интеграла = 248.43

154

156

Пояснения к схеме алгоритма

Обозначения:

a1, b1 – нижний и верхний пределы для внешнего интеграла; a2, b2 – нижний и верхний пределы для внутреннего интеграла; Int1 – значение двойного интеграла;

Int2 – значение внутреннего интеграла, вычисленное методом прямоугольников;

D – число узлов интегрирования по переменной х. Символ 1. Начало алгоритма.

Символ 2. Ввод значений шагов интегрирования h1, h2.

Символ 3. Присвоение значений для пределов интегрирования внутреннего и внешнего интегралов.

Символ 4. Обнуление переменной суммы Int1 и вычисление начального значения переменной Х.

Символ 5. Проверка условия X ≤ b1. Если условие верно, то выполняется символ 6, иначе – символ 12.

Символ 6. Вычисление числа интервалов для внутреннего интеграла. Обнуление переменной суммы внутреннего интеграла Int2.

Символ 7. Открытие цикла с параметром I = 1; D.

Символ 8. Вычисление переменной суммы двойного интеграла Int2 с использованием функции F.

Символ 9. Закрытие цикла с параметром I.

Символ 10. Вычисление переменной суммы двойного интеграла

Int1.

Символ 11. Увеличение значение параметра Х на h1. Символ 12. Вывод на экран значения Int1.

Символ 13. Конец алгоритма.

Программа

Program Intgr2;

Var

h1, h2, a1, a2, b1, b2, X, Int1, Int2 : Real;

D, I : Integer;

Function F(X, Y : Real) : Real;

157

Begin {начало раздела операторов основной программы}

Write('Введите значения шагов интегрирования: '); Readln(h1, h2); {чтение значений шагов}

Int1 := 0;

a1 := 0; b1 := 1;{пределы интегрирования внешнего интеграла} a2 := 2; b2 := 3; {пределы интегрирования внутреннего интеграла}

X := a1 + h1/2;

While X <= b1 do begin

D := Round((b2 - a2)/h2); {число узлов интегрирования} {вычисление внутреннего интеграла}

Int2 := 0;

for I := 1 to D do Int2 := Int2 + F(X, a2+I*h2)*h2; Int1 := Int1+Int2*h1; {суммирование для двойного интеграла}

X := X + h1; end;

{вывод результата}

Writeln('Значение двойного интеграла = ', Int1:6:2);

End. {конец основной программы}

Результаты работы программы

Введите значения шагов интегрирования: 0.1 0.1 Значение двойного интеграла = -15.85

Введите значения шагов интегрирования: 0.001 0.001 Значение двойного интеграла = -15.01

Задача 3.10. Разработать схему алгоритма и программу вычисления первой и второй производной функции f (x) 12x2 ex по

двум узлам для точек х0 и х1. Значение первой производной вычислить, используя формулу центральных разностей (П 2.11), и оформить в виде функции. Значение второй производной вычислить с использованием конечно-разностной аппроксимации первой производной (П 2.15). Шаг сетки дифференцирования hp, значения х0 и х1 задаются с клавиатуры.

Решение задачи

Схема алгоритма решения задачи представлена на рис. 3.10.

158

Пояснения к схеме алгоритма

Обозначения:

P – функция для вычисления первой производной функции f(x); P0, P1 – значения первой производной для точек x0 и х1;

PP0, PP1 – значения второй производной для точек x0 и х1; hp – шаг сетки дифференцирования.

Символ 1. Начало алгоритма. Символ 2. Ввод начальных данных.

Символ 3. Вычисление значений первой производной P0 в точке Х0 и P1 в точке Х1 с помощью вызова функции Р.

Символ 4. Вычисление значений второй производной PP0 в точке Х0 и PP1 в точке Х1 с помощью вызова функции Р.

Символ 5. Вывод на экран значений производных. Символ 6. Конец алгоритма.

159

Программа

Program Proizv;

Var

X0, X1, hp, P0, P1, PP0, PP1 : Real;

Function F(X : Real) : Real;

{ввод значения узлов}

Write('Введите значения узлов); Readln(X0, X1); Write('Введите шаг hp '); Readln(hp); {ввод шага hp}

{вычисление значений первых производны в точках Х0 и Х1}

P0:=P(X0, hp); P1:=P(X1, hp);

{вычисление значения второй производной в точке Х0}

PP0 := (P(X0+hp,hp) - P(X0-hp,hp))/(2*hp);

{вычисление значения второй производной в точке Х1}

PP1 := (P(X1+hp, hp) - P(X1-hp, hp))/(2*hp);

{вывод результатов на экран}

Writeln('Первая производная в точке Х0 = ', P0:6:2, ' в

точке Х1 = ', P1:6:2);

Writeln('Вторая производная в точке Х0 = ', PP0:6:2, ' в

точке Х1 = ', PP1:6:2)

End. {конец основной программы}

Результаты работы программы

Введите значения узлов 1 5 Введите шаг hp 0.001

Первая производная в точке Х0 = 26.72 в точке Х1 = 268.41 Вторая производная в точке Х0 = 26.72 в точке Х1 = 172.42

3.5. Решение дифференциальных уравнений

3.5.1. Задача с использованием метода Эйлера

Задача 3.11. Разработать схему алгоритма и программу решения дифференциального уравнения y 2 y ex на отрезке [0, 2] мето-

160