Информатика. Практикум

Программа

a:= 0;

If x >= 14 Then for I := 1 to 100 do a := a + 1/(I*I) Else for I := 1 to 33 do a:=a+Cos(I*I)*Cos(I*I)*Cos(I*I);

b:= sin(a)*sin(a)*sin(a); {вычисление параметра b}

{вычисление значения функции z}

If (x>1) and (x<10) Then

Begin {начало блока 1}

z:= Exp(a*x/3) + Exp(1/3*Ln(Cos(x*x*x*b)+2));{вычисление z}

Writeln('Значение функции равно ',z:10:3);{вывод z на экран}

z:=Exp(5*Ln(x))+cos(ln(x))*cos(ln(x))*cos(ln(x));{вычисление z}

Writeln('Значение функции равно ',z:10:3); {вывод z}

{вычисление z}

z:= Exp(1.5*Ln(x)) + Ln(x*a)*Ln(x*a)*Ln(x*a); Writeln('Значение функции равно ',z:10:3);{вывод z}

Результат работы программы

Введите число: 1 Функция при заданном аргументе не определена. Введите число: 100

122

Значение функции равно 13159.802 Введите число: 10.75 Значение функции равно 143562.559 Введите число: 15

123

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПЕРСОНАЛЬНОМ КОМПЬЮТЕРЕ

В разделе рассмотрены численные методы решения математических задач. Краткие теоретические сведения о численных методах, используемых при решении задач этого раздела, приведены в прил. 2.

3.1.Решение систем линейных уравнений

3.1.1.Задача с использованием матричного метода

Задача 3.1. Разработать схему алгоритма и программу решения системы линейных уравнений матричным методом:

Коэффициенты системы уравнений a11, a12, …, a33 формировать по закону aij = cos(i + j), свободные члены – по закону ci = sin(i), i, j = 1, 3 (1). Результаты решения системы вывести на экран.

Решение задачи

Формульный аппарат матричного метода описан в прил. 2. В соответствии с постановкой задачи сформируем систему линейных уравнений:

Схема алгоритма основной программы представлена на рис. 3.1а, схема алгоритма процедуры вычисления определителя союзной матрицы DetSM – на рис. 3.1б. Согласно этим схемам ниже представлен текст программы.

124

125

7

J=J1 нет 8

9

B

10

A

11

Вычисление

DetSM=... определителя союзной матрицы

12DetSM

Конец

Рис. 3.1б

Пояснения к схеме алгоритма (см. рис. 3.1а)

Обозначения:

Det – определитель матрицы А;

ObrM – матрица, обратная для матрицы А; X – массив корней системы уравнений;

TmpS – массив значений промежуточных слагаемых для вычисления корней системы;

DetSM – процедура вычисления определителя союзной матрицы.

126

Символ 1. Начало алгоритма.

Символы 2–5. Формирование коэффициентов и свободных членов системы.

Символ 6. Вычисление определителя матрицы А. В этом символе происходит вызов функций Koef и DetSM.

Символ 7. Проверка условия равенства определителя нулю. Если условие верно, то далее выполняются символы 9–17, если нет – сим-

вол 8.

Символ 8. Вывод на экран сообщения о том, что система не имеет решения.

Символы 9–11. Формирование обратной матрицы в двух циклах с параметрами I, J. В символе 11 происходит вызов функций Koef и DetSM.

Символы 12–16. Вычисление корней системы X[I] в двух циклах с параметрами I, J. В символе 13 производится первоначальное обнуление X[I]. В символах 14–15 в цикле с параметром J производится вычисление X[I] суммированием TmpS[I, J]. TmpS[I, J] – это произведение элемента ObrM[J, I] обратной матрицы и значения свободного члена системы C[J]. В символе 16 производится вывод значения корня X[I] на экран.

Символ 17. Конец алгоритма.

Пояснения к схеме алгоритма (см. рис. 3.1б)

Обозначения:

Matr1 – исходная матрица коэффициентов системы, переданная в процедуру DetSM в качестве формального параметра;

I1, J1 – номера строки и столбца исходной матрицы Matr1, для которых формируется союзная матрица;

SMatr – союзная матрица;

DetSM – определитель союзной матрицы;

I, J – параметры циклов, используемые для перебора строк и столбцов матрицы Matr1;

IS, JS – значения номеров строк и столбцов союзной матрицы SMatr; Koef (I,J) – функция вычисления значения (–1)I + J.

Символ 1. Начало алгоритма.

Символ 2. Обнуление номера строки союзной матрицы SMatr (IS). Символ 3. Открытие цикла с параметром I = 1; 3 для перебора

строк матрицы Matr1.

127

Символ 4. Проверка условия равенства номера строки матрицы Matr1 (I) номеру вычеркиваемой строки (I1). Если условие верно, то выполняется символ 5, если нет – символ 10.

Символ 5. Значение номера строки союзной матрицы SMatr (IS) увеличивается на 1. Переменная номера столбца союзной матрицы SMatr (JS) обнуляется.

Символ 6. Открытие цикла с параметром J = 1, 3 для перебора столбцов матрицы Matr1.

Символ 7. Проверка условия равенства номера столбца матрицы Matr1 (J) номеру вычеркиваемого столбца (J1). Если условие верно, то выполняется символ 8, если нет – символ 9.

Символ 8. Увеличение значения переменой JS на 1. В массив союзной матрицы SMatr заносится значение элемента матрицы

Matr1[I, J].

Символ 9. Закрытие цикла с параметром J.

Символ 10. Закрытие цикла с параметром I.

Символ 11. Вычисление определителя союзной матрицы SMatr. Символ 12. Конец алгоритма.

Программа

Program SLAU_Matr;

Uses Crt;

Type

TMatr3=Array [1..3, 1..3] of Real; {тип матрицы коэффициентов}

Var

I, J : Byte;

Det, DetS : Real;

A, TmpS, ObrM : TMatr3;

C, X : Array [1..3] of Real;

{Функция определения значения коэффициента}

Function Koef(I1, J1 : Byte) : ShortInt;

begin {начало раздела операторов функции Koef} {проверка на четность суммы (I1 + J1)}

If ((I1 + J1) mod 2) = 0 Then Koef := 1 else Koef := -1; end; {конец функции Koef}

{Функция для вычисления определителя союзной матрицы Входные данные:

Matr1 - исходная матрица,

I1, J1 - номера строки и столбца исходной матрицы Matr1, для которых формируется союзная матрица

128

Выходные данные: DetSM - определитель союзной матрицы}

Function DetSM(I1, J1 : Byte; Matr1 : TMatr3) : Real;

Var

IS, JS, I, J : Byte;

SMatr : Array [1..2, 1..2] of Real; {союзная матрица}

{определитель союзной матрицы}

DetSM := SMatr[1,1]*SMatr[2,2] - SMatr[1,2]*SMatr[2,1];

{формирование коэффициентов системы уравнений}

for I:=1 to 3 do {начало цикла 1 - для перебора строк матрицы A} begin

for J:=1 to 3 do {цикл 2 - для перебора столбцов матрицы А}

If Det=0 then Writeln('Система не имеет решения.') else begin {начало блока 1- матрица коэф-тов не вырожденная}

{формирование обратной матрицы} for I:=1 to 3 do

for J:=1 to 3 do

ObrM[J, I] := Koef(I, J) * DetSM(I, J, A)/Det;

{вычисление корней системы}

for I:=1 to 3 do {начало цикла 3-перебор корней X[I]} begin

129

begin

Writeln('X[', I, '] = ', X[I]:8:4); {вывод I-го корня}

Repeat Until KeyPressed;{ожидание нажатия любой клавиши} End. {конец программы}

Результат работы программы

X[1] = -0.6875

X[2] = -0.9375

X[3] = 0.0625

3.1.2. Задача с использованием метода Крамера

Задача 3.2. Разработать схему алгоритма и программу решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными

a11x1 a12 x2 a13x3 c1; a21x1 a22 x2 a23x3 c2 ; a31x1 a32 x2 a33x3 c3

методом Крамера.

Коэффициенты и свободные члены вводить из файла. Результаты решения системы вывести на экран.

Решение задачи

Формульный аппарат метода Крамера описан в прил. 2. Схема алгоритма основной программы представлена на рис. 3.2. Схема алгоритма процедуры вычисления определителя союзной матрицы DetSM представлена на рис. 3.1а. Согласно этим схемам ниже представлен текст программы.

130