Информатика и интегрированные прикладные системы

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Если сетка равномерная, то

шаг сетки, при интегрировании – шаг

интегрирования, а координата i-го узла вычисляется по формуле:

xi a i h ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

10.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

1.3.4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Метод Ньютона применяется к решению систем уравнений вида

f (x, y) 0,g(x, y) 0. ,

f (x, y) J (x, y) x

g (x, y)

f y

g y

(x, y)

- матрица Якоби.

(x, y)

Тогда последовательные приближения по методу Ньютона вычисляются по

формуле:

x	x				f (x , y )
n 1	n	J	1(x , y )		n n	,
			n n
yn 1	yn			g(xn , yn )

где J	1(x	, y )	1		g y (xn, yn )

			det J x	, y	g
	n	n					(x , y )
						x
			n	n			n n

	(xn, yn )
f y

	(xn, yn )
fx

или

xn 1 xn

yn 1 yn

det J xn , yn

				(xn , yn ) g(xn, yn )),
(g y	(xn , yn ) f (xn , yn ) f y
		(xn , yn ) f (xn, yn )			(xn, yn ) g(xn, yn )).
( gx			fx

201

1.3.5. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Рассматриваемые методы:

1.	трапеций
2.	прямоугольников
3.	Симпсона
	Необходимость вычисления значений определенных интегралов при
моделировании возникает достаточно часто.
	Формула Ньютона-Лейбница
	b
	I * f (x)dx F (b) F (a)	(1.3.5.1)

имеет ограниченное применение:

во-первых, не позволяет вычислить интегралы от таблично заданной подынтегральной функции f(x);

во-вторых, не всякая подынтегральная функция имеет первообразную F(x).

Численные методы интегрирования универсальны: позволяют вычислить значение определенного интеграла непосредственно по значениям подынтегральной функции f(x),

независимо от способа ее задания или вида аналитического выражения.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, кривой f(x), и прямыми x=a и x=b (Рис.6.1.).

Численные методы интегрирования основаны на различных способах оценки этой площади, поэтому полученные формулы численного интегрирования называются

квадратурными (формулами вычисления площади).

Рассмотрим получение и применение простейших формул.

202

fn-1

fi fi+1

f0	f1	Sn-1
		Sn-1

S0 S1

0	1	2	i	i+1	n	x
a=x0	x1		xi	xi+1	b=xn

Рисунок 1.3.5.1. Геометрический смысл определённого интеграла

Отрезок [a,b] делят на n равных частей – элементарных отрезков. Принято такое деление отрезка называть сеткой, а точки x0, x1,…, xn – узлами сетки.

(1.3.5.2)

Полная площадь криволинейной трапеции состоит из n элементарных

криволинейных трапеций – элементарных площадей:

I *	n 1
I *			S	(3)
	i	0	i
	i	0

Квадратурные формулы отличаются друг от друга способом оценки значения Si –

площади элементарной криволинейной трапеции.

Рассмотрим получение простейших формул для часто используемой равномерной

сетки.

203

1.3.5.1. Формула трапеций

В данном методе элементарная криволинейная трапеция заменяется трапецией

(кривая f(x) заменяется хордой CD).

C D fi+1 fi

xi+1

Рисунок 1.3.5.1.1. Оценка элементарной площади Si трапецией.

Из рисунка видно, что

fi fi 1

Отсюда:

n 1

n 1 f

n 2

n 1

i 1

h h (

...

)

i 0

n 1

f (a) f (b)

n 1

h (

f ) h

f (a i h)

i 1 i

i 1

(1.3.5.1.1)

Погрешность формулы трапеций пропорциональная квадрату шаг h M O(h2)

т.е. формулы центральных прямоугольников и трапеций имеют близкую точность.

Формула трапеций имеет такую же точность, как и формула центральных прямоугольников.

Знак погрешности легко объяснить по геометрической иллюстрации применения формулы.

204

1.3.5.2. Формулы прямоугольников

Площадь i-той элементарной трапеции можно оценить (приближенно вычислить)

как площадь прямоугольника со сторонами

значение интеграла:

x	x	h	и	fi. Тогда	S	f	i	h	и
i 1	i				i		i

I* n 1S

i i 0

i 0

	h h	n 1
fi	h h
	i 0

		h	n 1	f (x ) h	n 1	f (a i h)
f	i	h		f (x ) h		f (a i h)	(1.3.5.2.1)
	i	i 0		i	i 0
		i 0			i 0

	fi+1
fi	→ Погрешность

xi xi+1

Рисунок 1.3.5.2.1. Оценка элементарной площади Si левым прямоугольником.

Полученная формула называется формулой левых прямоугольников, т.к. для оценки площади использовалось левое основание элементарной криволинейной трапеции.

Аналогично можно получить формулу правых прямоугольников:

fi+1

Погрешность ←

xi xi+1

Рисунок 1.3.5.2.2. Оценка элементарной площади Si правым прямоугольником.

Для данного случая Si fi 1 h и тогда значение интеграла:

205

n 1

h h

) h

f (a i h) (5)

f (x

i 0

i 1

Эти формулы не находят широкого применения, т.к. имеют большую погрешность,

пропорциональную величине шага δ M O(h)

Как появляется эта погрешность, видно на рисунках.

Для повышения точности площадь Si можно оценить, используя прямоугольник со стороной, равной значению подынтегральной функции в середине элементарного отрезка

h2)

→ δ2

δ1 ←

xi xi+1

Рисунок 1.3.5.2.3. Оценка элементарной площади Si центральным прямоугольником.

Для данного случая

и формула центральных прямоугольников имеет

вид:

n 1

n -1

) h

f (a i h

)

(6)

i 0 i

i 0

i 2

i 0

Как видно

из рис.

4.,

погрешность в

оценке

площади

Si в данном случае

существенно меньше, чем в двух предыдущих (погрешность оценивается разницей площадей δ1 и δ2).

Погрешность метода пропорциональная квадрату величины шага	M	O(h2)
	M

Формула центральных прямоугольников на порядок точнее предыдущих формул.

206

1.3.5.3. Формула Симпсона

На каждом элементарном отрезке подынтегральная функция f(x) заменяется квадратичной параболой, построенной по трем точкам: концам элементарного отрезка

( xi , fi ), ( xi 1, fi 1 ) и его середине ( xi	h	, ).

	2

Площадь полученной криволинейной трапеции служит оценкой элементарной площади Si:

4 f

f (x ) 4 f (x

)

f (x

)

i 1

Тогда значение интеграла:

n 1

4 f

i 0 6

4 f

Добавим в скобки f

, вынесем общий множитель за скобки:

1 f

2 f

f (b)

f (a)

n 1

f (a ih) 2 f (a ih

)

i 0

(1.3.5.3.1)

Формула Симпсона имеет высокую точность, так как погрешность метода м =

О(h3)

207

1.3.6. АППРОКСИМАЦИЯ

Метод наименьших квадратов

Аппроксимация – это процесс определения аналитического вида функции заданной таблично.

Задача аппроксимации сводится к нахождению свободных параметров функции заданного вида, которые обеспечивают наилучшее приближение функции заданной таблично.

Наиболее распространенным методом аппроксимации полинома является аппроксимация методом наименьших квадратов.

Пусть дана функция yi f (xi ) i 1, n , которая задается таблично.

Пусть

	m	a xi a		a x a	x2 ... a xm
P		a xi a		a x a	x2 ... a xm	,
m	i 0	i	0	1 2	m

который наилучшим образом описывает таблицу (xi , yi ) .

Для нахождения коэффициентов a0, a1,..., am используем

квадратов.

За меру отклонения полинома Pm(x) от данной функции

x1, x2,..., xn принимают величину

(1.3.6.1)

метод наименьших

f (x) на множестве

		n		(x ) f (x ))2
S	m		(P	(x ) f (x ))2		(2),
	m	i 1	m	i	i
		i 1

равную сумме квадратов отклонений полинома Pm(x) от функции f (x) на заданной

системе точек.

Критерий метода наименьших квадратов является минимизация функции многих переменных Sm .

Из условия минимума формируется система линейных уравнений относительно

a0, a1,..., am :

208

	S	2	n		a x	... a	xm y ) 0,
				(a
	a0
		i 1		0	1 i	m i		i
	S		n
		2			a x	... a	xm y )x 0,
				(a
	a0
		i 1		0	1 i	m i		i i

.....................................................................
	S		n
		2			a x	... a	xm y )xm 0.
				(a

		i 1		0	1 i	m	i	i i
	a0

После преобразований система имеет вид:

a x ... a xm )

y ,

1 i

i 1

x a x

... a x

m 1

)

x y ,

i 1

0 i

1 i

m i

i 1

i i

.....................................................................

m 1

yi.

(a0xi

a1xi

... amxi

)

i 1

xk ,

После введения обозначений t

n ; t

k 0,2m ; c

xk y , k 0, m ;

i 1

i i

линейная система имеет вид:

t a		t a		... t	a c ;
0 0		1 1			m m		0
t a	t a			... t			a c ;
1 0		2 1			m 1 m			1
...........................................
t a		t		a	... t		a	c ;
m 0			m 1 1			2m m m

Эта линейная система может быть решена любым методом (методом Гаусса или итерационными методами).

209

1.3.7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка:

	(1.3.7.1)
F (x, y, y ) 0 .

Если это уравнение разрешимо относительно y , то

y f (x, y)

или dy f (x, y)

(1.3.7.2)

Общим решением уравнения (1) называется функция

y (x, C)

(1.3.7.3)

от x и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Частным решением уравнения (1) называется решение, полученное из общего решения

(1.3.7.3) при фиксированном значении С:

y (x,C0 ) ,		(1.3.7.4)
C0 - фиксированное число.
Задача Коши. Найти решение y f (x, y) дифференциального		уравнения (1.3.7.1),
удовлетворяющее заданным начальным условиям: y y0 при	x x0 . Другими словами:

найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через данную точку M 0 (x0 , y0 ) .

Уравнение, содержащее производные от искомой функции y = y(x), называется

обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Общий вид дифференциального уравнения:

F (x, y, y , y ,..., y(n)) 0

(1.3.7.1)

210

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20257.16 Mб0Интегрированный модуль Политология.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Интеллектуальная собственность охрана и реализация прав, управление.pdf
#
24.11.20251.51 Mб0Интеллектуальные системы управления автомобилем. Ч. 1. Силовые установки.pdf
#
24.11.202542.99 Mб3Интеллектуальные системы управления автомобилем. Ч. 2.pdf
#
24.11.2025917.47 Кб0Интерференция света. Определение радиуса кривизны линзы с помощью колец Ньютона.pdf
#
24.11.202510.46 Mб0Информатика и интегрированные прикладные системы.pdf
#
24.11.20251.18 Mб0Информатика. В 2 ч. Ч. 1. Основы вычислительной техники.pdf
#
24.11.20252.94 Mб0Информатика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20251.34 Mб0Информатика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.2025925.52 Кб0Информатика. В 2 ч. Ч.1. Основы вычислительной техники.pdf
#
24.11.2025587.21 Кб0Информатика. В 4 ч. Ч. 3.pdf