Информатика и интегрированные прикладные системы

f (xn 1)

x xn 1 n

1.3.2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Рассматриваемые методы:

1.линейной интерполяции

2.Лагранжа

1.3.2.1. Системы функций Чебышева

Рассмотрим линейное множество R действительных функций, определенных на отрезке

a,b , и некоторую конечную или счетную систему линейно независимых функций

i (x) из этого множества.

Линейную комбинацию

(x) ci i (x)

i 0

сдействительными коэффициентами ci называют обобщенным многочленом по системеn

Чебышева на отрезке a,b , если любой обобщенный многочлен по этой системе, у

которого хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, имеет на a,b не более n

корней.

191

i 0

интерполирования значения обобщенного многочлена совпадали со значениями данной функции f (x) :

Обобщенный многочлен, обладающий таким свойством, называется обобщенным интерполяционным многочленом. За приближенное значение f (x) принимают значение

(x) .

Выясним, когда задача интерполирования решается однозначно.

(x) c0 0 (x) c1 1 (x) cn n (x) , необходимо и достаточно, чтобы система функций i (x) (i 0, 1, ..., n) являлась системой Чебышева на a,b .

На практике чаще всего используются следующие системы:

1)1, x, x2 , ..., xn , ...;

2)1, sin x, cos x, ..., sin nx, cos nx, ...;

3) e 0x , e 1x , ..., e n x , ..., где i – некоторая числовая последовательность попарно различных действительных чисел.

В случае 1) интерполирование называется алгебраическим, в случае 2) –

тригонометрическим (применяется для приближения 2 – периодических функций), в

случае 3) – экспоненциальным.

1.3.2.2. Формула Лагранжа.

Пусть a x0 x1 ... xn b — набор различных точек (узлов) на отрезке

a, b , в котором заданы значения достаточно гладкой функции f (x) так, что

192

n

где (x) (x xi ) .

i 0

Разность rn (x) f (x) Ln (x) называется погрешностью интерполирования или

остаточным членом интерполирования. В узлах интерполирования погрешность rn (x)

обращается в нуль, в остальных точках она отлична от нуля, но если f (x) – многочлен

Пример 1. Построить многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках следующие значения:

193

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (5) и найти приближенное значение функции в этой точке.

195

Предположим, что в системе (1) a11 0(этого всегда можно добиться перестановкой уравнений или переменных с изменением их номеров).

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой

Аналогичным образом из полученной системы исключим x2 . Последовательно,

Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Ее выполнение

возможно при условии, что все aiil , l 1, 2,..., m не равны нулю.

Выполняя последовательные подстановки в последней системе, (начиная с последнего уравнения) можно получить все значения неизвестных.

197

Эта процедура получила название обратный ход метода Гаусса.

1.3.3.2. Решение систем линейных алгребраических уравнений методами

простой итерации и Зейделя

Метод называется приближенным, если при точном выполнении всех требуемых действий и при точных коэффициентах мы получаем, как правило, лишь приближенный

результат.

Впрочем, практически и при применении точного метода результат оказывается приближенным по двум причинам: во-первых, коэффициенты уравнений обычно бывают приближенными числами; во-вторых, промежуточные вычисления на практике обычно невозможно выполнять с полной точностью. Значит, погрешность окончательного результата складывается из неустранимой погрешности задания исходных данных

(коэффициентов) и погрешностей округления.

В случае применения приближенного метода на окончательный результат влияет всегда погрешность метода, также на практике обычно имеет место неустранимая погрешность в задании коэффициентов и погрешность округления в промежуточных действиях.

Одношаговый линейный стационарный итерационный процесс называется методом простой итерации (МПИ).

Пусть дана система ЛАУ A x f с неособенной матрицей. В методе простой итерации ее предварительно приводят к виду

x B x C

Для очень больших систем, когда метод Гаусса становится неэффективным,

применяют итерационные методы, например, метод простой итерации или метод Зейделя.

198

Метод простой итерации.

Вычисления по методу простой итерации начинаются с произвольного вектора X0

={x10, x20 ,..., xn0}. Итерационный процесс осуществляется по формуле:

т.е. все неизвестные на следующей итерации вычисляются только через неизвестные на предыдущей итерации.

Условия завершения итерационного процесса:

(1.3.3.2.

1.)

где – требуемая точность;

– оценка достигнутой точности,

max xi(k) xi(k 1) i 1,n

(1.3.3.2.3)

Условие сходимости итерационного процесса (условие преобладания диагональных коэффициентов):

(1.3.3.2.4)

199

Метод Зейделя.

Метод Зейделя отличается от простой итерации тем, что найдя какое-то приближение для компоненты, мы сразу же используем его для отыскания следующей компоненты.

В методе Зейделя используется итерационная формула

в которой при вычислении очередного неизвестного используются последние найденные значения остальных неизвестных. Вычисления заканчиваются, когда невязки системы становятся достаточно малыми. Итерационные методы сходятся не для всякой матрицы.

Достаточным условием сходимости является положительная определенность матриц.

200