Интегральное исчисление

9.2.1. y x2

4;

y 0.

9.2.2. y x2

1;

y 8.

9.2.3. y x2

3;

y 3x 1.

9.2.4. y x 2 2 ;

y 7 2x.

9.2.5. y2 x 2;

x 1.

9.2.6. y 3

;

y 0, x 8.

x

9.2.7. y x3

1;

y 1 x, x 0.

9.2.8. y x2 3;

y 5 x2.

9.2.9. y x2

4x 5; y x2

2x 3.

9.2.11. y cos x;

y 0, x

, x

.

2

2

9.2.11. y cos x;

y sin x, x 0, x . 9.2.12. y

2

; y x 3.

4

x

x 4 cos t;

9.2. 13. Найти площадь эллипса

y 3sin t.

3

t;

x 2 cos

9.2. 14. Найти площадь астроида

y 2sin3 t.

y sin 2t

, 0 t

.

x cos t

2

32

1

32

4

; 6) 12; 7)

5

Ответы. 1)

;

2) 36; 3)

; 4)

; 5)

4

3

; 8)

3

6

3

3

4

64

;

9) 44

1

; 10) 2; 11)

1;

2 ln 2

3

;

13) 12 ;

3

; 15)

2

12)

14)

3

3

2

2

41 ; 16)

a2 ; 17)

a2

; 18)

13 3a2

; 19)

1

e8

1 ; 20)

2

.

4

3

4

2

648

9.3. Вычисление длины дуги

b

l

1 y 2 dx,

если l :

y y x .

a

t1

y t ;

y

x'

y'

l

2

2

dt,

если

l :

t

t

x x t .

t2

r2 r ' 2 d ,

если l : r r .

l

Пример 9.5. Вычислить длину дуги кривой y

x3 от точки

x1 0 до точки x2 5 .

b

Решение.

Воспользуемся

формулой l

1 y 2 dx .

a

3 12

y

x

.

2

5

5

5

1

9 xdx

4 9xdx 1

1 4 9x 2

Тогда l

1

3

0

4

2 0

2

9

0

1

343 8

335

.

18

18

Пример 9.6. Вычислить длину одной арки циклоиды

x t sin t

, 0 t 2 .

y 1 cos t

Решение.

Воспользуемся формулой

l t1

xt 2

yt 2

dt .

t2

Тогда

l 2

2

1 cos t 2

sin2 tdt

1 2 cos t cos2 t sin2 tdt

0

0

2

2 2 cos t dt 2

2

4sin2 t

dt 2 2

sin t dt 4 cos t

8.

0

0

2

0

2

2

0

Пример 9.8. Вычислить длину первого витка логарифмиче-

ской спирали

r e ,

0 1.

l 1

d .

Решение.

Воспользуемся формулой

r2 r 2

То-

2

гда

l 1

d

2 e d

e

2

e2 1 .

e2 e2

2

2

2

2

0

0

Задание 9.3. Вычислить длину дуги.

3

9.3.1. y x 2

от

x 2

до

x

7.

2

1

2

x

x

9.3.2. y e2 e 2

0 x 4.

9.3.3. y ln sin x от

x

до

x

2

.

1

2

2

3

9.3.4. y 1 2

x 1 3 от точки

A 1; 1

до точки B 3;

9 .

x 2 t sin t

2

0 t 2 .

x

5cos

t

, 0 t

9.3.9.

2 1 cos t

,

9.3.10.

.

y

5sin

2

t

4

y

.

9.3.12. r 3cos ,

0 .

9.3.11. r sin3

, 0

3

4

9.3.13. r 1 cos ,

0 .

9.3.14. r 2 cos3 ,

0

.

x 3 t sin t

2

9.3.15. r 4sin ,

0 .

, 0 t .

9.3.16.

y 3cos t

3

t

9.3.17. r e4 ,

0

1

x sin

0 t .

.

9.3.18.

,

2

3

y

cos

t

2

2

9.3.19. x

y

,

x

0;

x

8.

9.3.20. r 2 ,

0 4.

3

3

1

2

1

1

1

1

3

3

35

8 ; 2)

e2

40

8 ;

Ответы: 1)

2

; 3)

ln 3; 4)

2

27

e2

2

27

5)

1

ln 3; 6)

9

; 7) 2 ; 8) 2; 9) 8; 10)

50

; 11)

3

3

; 12) 3 ; 13)

2

2

2

4

8

1

e2

1 ; 18)

9

28

2; 14)

; 15) 3 ; 16) 12; 17)

17

;

19) 12; 20)

.

2

4

2

3

dx

новить его расходимость

.

x5 1

1