Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

3) x ln x 5 x 5ln

x 5

C; 4)

arctgx

arctgx C.

6. Интегрирование рациональных дробей

Пример 6.1.

dx.

Решение. Разделим числитель на знаменатель

x2 7

x 3

_ x2 3x

x 3

_ 3x 7

. Тогда

x 3

3x 9

x 3

xdx 3 dx 16

x 3

x2 3x 16 ln x 3 C. 2

Пример 6.2.		x 4		dx.

		x3 9x
Решение.	x 4		dx

	x3 9x

x 4

x x 3 x 3 dx. Представим дробь

x 4

в виде

x 4

или

x x 3 x 3

x 3

x 4

A x2

9 Bx x 3 Cx x 3

x x 3 x 3

Последнее равенство приводит к системе уравнений относи-

															A B C 0,
тельно А,							В и С:																						Ее решениями являются числа
тельно А,							В и С:								3B 3C 1,														Ее решениями являются числа

															9 A 4.
A		4			; B						7		; C						1										x 4															4							7								1
		4									7								1		.								x 4															9					18									18			.
																					.					x x 3 x 3																							x												.
		9								18							18									x x 3 x 3																	x						x				3 x 3
Поэтому
		x 4						dx							4			dx					7				dx							1					dx
								dx																														x 3
	x3 9x														9				x			18 x 3											18					x 3
															4	ln				x			7			ln		x 3								1			ln		x 3					C.
															4								7													1

															9							18													18
															9							18													18
Задание 6.1. Вычислить интегралы.
6.1.									x							dx.								6.2.							x3 1								dx. 6.3.												x 2							dx.
6.1.														2		dx.								6.2.						x3 x2									dx. 6.3.											x3			x2					dx.
														2																x3 x2																				x3			x2
				x			1			x		1
6.4.					3x2 2x 1												dx.							6.5.								dx					.					6.6.								x2			2			dx.
						2																								x3				x																x				6
					x		1					x			2
6.7.			x2 5						dx.								6.8.							x4 2					dx.										6.9.												dx									.
6.7.				x			2		dx.								6.8.							x4 2					dx.										6.9.						x3 5x2															.
				x			2																	x4 2																					x3 5x2												6x
6.10.						2x3 1								dx.			6.11.										dx					.							6.12.									x3 x 1									dx.
6.10.					x2 x 1									dx.			6.11.								x3 x2							.							6.12.									x4 x2									dx.
6.13.					4x2 2							dx.												6.14.												x2 2x 8																dx.
6.13.					x4		x2					dx.												6.14.								x 2 x 1 x 3																				dx.
6.15.						dx				.							6.16.											3x 2												dx.															x2
6.15.										.							6.16.																							dx.							6.17.													dx.
					x3		1																		x x 1 x 2																														x 1

6.18.	x 3		6.19.	x2		6.20.	7x 8
		dx.			dx.			dx.
	x 1			x 4			2x 3 x 2

Ответы: 1)	1	ln	x 1	1

	4			2

2) x 1x ln x 2 ln x 1 C.

4)	20	ln	x 1	7	ln	x 2	4

	9			9			3

11 ln x 1 C.

x1 4

3)2x 3ln x 3ln x 1 C.

1C.

7. Интегрирование тригонометрических функций

I) Интегралы вида R sin x, cos x dx.

Пример 7.1.

2dt 1 t2

2dt

;

C ln

1 t

sin x

1 t

sin x

1 t2

Задание 7.1. Вычислить интегралы.

dx 7.1.1. 1 sin2 x.

7.1.3. 3 sin x cos x.

dx 7.1.5. 2 5sin x.

dx 7.1.7. 9 4 cos x.

dx 7.1.9. 2 3sin x.

7.1.2. 4sin x 3cos x 5.

7.1.4. sin x cos x 1.

dx 7.1.6. 3 2 cos x.

dx 7.1.8. 4 3sin x.

dx 7.1.10. 1 3sin2 x.

7.1.11.								dx									.			7.1.12.										dx					.
7.1.11.																	.			7.1.12.															.
			5	2sin x 3cos x																						5 3cos x						5sin x
7.1.13.								dx									.			7.1.14.									dx					.
7.1.13.																	.			7.1.14.														.
			5	4sin x 3cos x																						sin x 3cos x 5
7.1.15.								dx										.		7.1.16.								dx		.
			8	4sin x 7 cos x																						1 sin x
7.1.17.					dx				.											7.1.18.								dx					.


			1 cos x																							3sin x cos x
7.1.19.								dx								.				7.1.20.								dx			.

			2	3cos x sin x																						8 2 cos x
			2	3cos x sin x																						8 2 cos x
	Ответы.1)					1					arctg					2tgx C;						2)					1		C;
																											x
							2
							2																		tg			2
																									tg		2	2
				1 2tg								x
	2			1 2tg								2		C.					1 tg			x	C.
3)	2	arctg										2						4) ln				x
3)		arctg																4) ln
	7						7															2
II) Интегралы вида
	sinm x cosn xdx; sin ax cos bxdx;																					cos ax cos bxdx.
	Пример 7.2. Вычислить интеграл sin2 3xdx .
	Решение.
	sin2 3xdx						1				1 cos 6x dx									1	dx			1			cos 6xd 6x
	sin2 3xdx										1 cos 6x dx										dx						cos 6xd 6x
							2													2		12
							x						1		sin 6x C.
															sin 6x C.
							2			12

Пример 7.3. Вычислить интеграл sin5 xdx.

Решение.

sin5 xdx 1 cos2 x 2 sin xdx

1 2 cos2 x cos4 x d cos x

d cos x 2 cos2 xd cos x cos4 xd cos x

cos x

2cos3 x

cos5 x

Пример 7.4. Вычислить интеграл sin 3x cos 5xdx .

Решение.

sin 3x cos 5xdx

sin 8x sin 2x dx

sin 8xd 8x

sin 2xd 2x

cos 2x

cos8x C.

Задание 7.2. Вычислить интегралы.


7.2.1. cos2 5xdx.							7.2.2. cos5
7.2.4. sin3 x cos2					xdx. 7.2.5. sin3
7.2.7. cos4 2xdx.
7.2.9. cos 2x sin 6xdx.
7.2.11. cos		4		x cos 3xdx.
	3

7.2.13. sin	2		x cos			x	dx.

	3				6

xdx.	7.2.3.	sin2 x cos2 xdx.
x6xdx.	7.2.6.	cos2 7xdx.

7.2.8. sin 5x sin 6xdx. 7.2.10. sin 2x cos 5xdx. 7.2.12. sin 2x sin 3x dx. 7.2.14. sin5 3xdx.

7.2.15. cos 2x cos 3xdx.

7.2.16. sin2 3x cos2 3xdx.

7.2.17. cos5 3xdx.

7.2.18. cos3 x sin8 xdx.

7.2.19. cos4 x sin3 xdx.

7.2.20. sin4 x cos3 xdx.

Ответы: 1)

sin10x C;

2) sin x

sin3

sin5

x C;

sin 4x C; 4)

cos5

cos3 x C.

8. Интегрирование простейших иррациональных функций Пример 8.1. Найти интеграл x 1 x2 dx.

Решение.

x sin t;

sin t

1 x2

1 sin2 t cos tdt

dx cos tdt

sin t cos2 tdt cos2 td cos t

cos3 t

1 sin2 t 3

1 x2 3

Пример 8.2. Найти интеграл

4 x

1 4

x t4 ;

1 t

4t3dt

t2 t

dx 4t3dt

t 1

4 1

dt 4

4t 2 ln t2 1 4arctgt C 4 4x 2 ln 1 x 4arctg 4x C.

Задание 8.1. Найти интегралы:


																			4 x2 3
8.1. x						8.2.			x							8.3.			4 x2 3
		3 xdx.							x				dx.											dx.

																				x	6
							4	x3				1									6
							4	x3				1
								x3		3					dx.					x
8.4.						8.5.								x		8.6.
	1 x2 dx.													x									dx.

								4			x						3		x2
								4			x						3		x2			x
8.7.			dx			8.8.										8.9.
			dx		.			4 x2 dx.										9 x2 dx.


		x 2 4
		x 2 4		x

8.10.								4 x2												8.11.				dx				8.12.												dx
														dx.												.																			.
											2
									x		2												3	3 x											x x								5
									x														3	3 x											x x								5
8.13.								x 1							dx.										8.14.										dx												.
																																	2											1
																																	2											1
						x x 1																							x				3								x					2
																													x		1										x		1
8.15.					3		3x 1											3	x 1			dx.			8.16.					x					x			dx.
8.15.																						dx.			8.16.													dx.
													3x 1																	x 6					x
8.17.											6	x 1									dx.				8.18.							x 2								dx.


						3		x 1								x 1												1 3 x									2
																																				dx.
8.19.										d		x				.									8.20.					x 10
8.19.																.									8.20.
						5						x			5																	x
		Ответы:																									4				ln 4											1 C;
		2		x2 x 6																	C;					4
																												x3											x3
1)																	3 x							2)
1)	5																3 x							2)		3
	5																									3

			1						4 x2 5									C;								x								arcsin x
3)			1						4 x2 5															4)		x	1	x2						arcsin x										C.

			20								x5															2											2
			20								x5															2											2

9.Вычисление определенных интегралов

9.1.Формула Ньютона-Лейбница

ab f x dx F x ba F b F a

Пример

9.1.

Вычислить

определенный

интеграл

3 13

x2 3 2x3 1dx.

Решение. Найдем первообразную подынтегрального выражения, вычисли неопределенный интеграл

x2 3 2x3 1dx

Замена

1 u 3 du

1 2x3 1 3

u 2x3 1

du 6x2dx

Применив формулу Ньютона-Лейбница, вычислим определенный интеграл

3 13									1		2x3 1 3	3	13
3 13												3	13
	x2 3 2x3 1dx
											4

1									8			1
1												1
1 2 3 13						3	1	4		1 2 1 3 1				4	1 273 1 1 3
1 2 3 13							1	3		1 2 1 3 1				4	1 273 1 1 3
														3		4	4
														3		4	4

	8									8					8		8
	1	81		1	1 10.
	8	81	8		1 10.
	8		8

Задание 9.1. Вычислить интегралы.


9.1.1. 6 cos 3xdx.					9.1.2.	7			sin 7xdx.
0						7
1		dx				3			dx
9.1.4.		dx		.	9.1.5.				dx	.
									2
									2
0		4 x2				0		9 x
5		dx				1	2		2x 1 4 dx.
9.1.7.		dx	.		9.1.8.
9.1.7.			.		9.1.8.
1		2x 1				1
							2
	10
9.1.10.		x 2x2			5 dx.
	1

16
3	dx
9.1.6.	dx	2 .
9.1.6.	2 x	2 .
1	2 x


9.1.3. 8	cos 4xdx.

9.1.9. sin x cos xdx.

9.1.11.cos3 x sin xdx.

0		2
9.1.12.	x cos xdx.	9.1.13. x sin 4xdx.
2		0

9.1.14. x exdx.

3	4			3
9.1.15. x ln xdx.	9.1.16.		ln xdx.	9.1.17. tgxdx.
9.1.15. x ln xdx.	9.1.16.	x	ln xdx.	9.1.17. tgxdx.
1	1			0

											4	43															1
9.1.18. cos2 3xdx.						9.1.19.									x3 4 2x4						5dx.				9.1.20. arctg2xdx.
0											4																0
0											4		3														0
											; 1.3)							2							;
Ответы: 1.1)					1	; 1.2)			2		; 1.3)							2		2		; 1.4)			;	1.5)		;	1.6)		4	;
				3					7					8											6		12			5
									5														1			1
1.7) 3; 1.8) 16; 1.9) 0; 1.10)									5					5		; 1.11)							1	; 1.12)			; 1.13)					;
1.7) 3; 1.8) 16; 1.9) 0; 1.10)																; 1.11)								; 1.12)			; 1.13)					;
											6											4				2				8
1.14) e2 ; 1.15)			9	ln 3 2.			1.16)							16			ln 4		28				; 1.17) ln2; 1.18)						;
1.14) e2 ; 1.15)				ln 3 2.			1.16)										ln 4						; 1.17) ln2; 1.18)						;
2														3						9								2
1.19)	242	; 1.20)		arctg2				1		ln 5.
1.19)		; 1.20)		arctg2			4			ln 5.
10							4

9.2. Вычисление площадей фигур

Пример 9.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-

ниями y x3 1; y 1 x2 , x 0.

Решение. Построим графики заданных функций и определим пределы интегрирования и верхнюю и нижнюю функцию.

у
1	y x3 1
0	1	х
-1	y 1 x2

Воспользуемся формулой вычисления площади для явно заданных функций

	b
	S fверхн. x fнижн. x dx;
	a
	1
	S 1 x2		x3 1 dx;
	0
	1				x	3		x	4	1	7
	1					3			4	1
	S 2 x2 x3 dx 2x											.
	S 2 x2 x3 dx 2x											.
	0			3			4			0	4
										0
	Пример 9.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями
x t sin t			t 2 .
		; 0	t 2 .
y cos t

Решение. Воспользуемся формулой вычисления площади для функций, заданных параметрически S t1t2 y t x t dt .

S 2 cos t 1 cos dt 2 cos t cos2 t dt
		0		0
	2		1		t	1		2
	2		1		t	1		2
		cos t		1 cos 2t dt sin t			sin 2t	.
		cos t	2	1 cos 2t dt sin t	2	4	sin 2t	.
0			2		2	4		0
0

Пример 9.4. Вычислить площадь фигуры

2cos 2 ; 0 4 .

Решение. Воспользуемся формулой вычисления площади для

фигур, заданных в полярных координатах S r 2 d .


S 4	4cos 2 d 2sin 2	4	2.

0		0

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20254.94 Mб1Иностранный язык (испанский).pdf
#
24.11.20255.21 Mб0Иностранный язык (немецкий).pdf
#
24.11.20253.41 Mб1Иностранный язык в профессиональной деятельности (первый) (английский).pdf
#
24.11.20255.54 Mб0Иностранный язык для магистрантов (немецкий, английский).pdf
#
24.11.202511.38 Mб0Иностранный язык.pdf
#
24.11.20252.01 Mб0Интегральное исчисление.pdf
#
24.11.20251.87 Mб0Интегрированная среда разработки VBA.pdf
#
24.11.20257.16 Mб0Интегрированный модуль Политология.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Интеллектуальная собственность охрана и реализация прав, управление.pdf
#
24.11.20251.51 Mб0Интеллектуальные системы управления автомобилем. Ч. 1. Силовые установки.pdf
#
24.11.202542.99 Mб3Интеллектуальные системы управления автомобилем. Ч. 2.pdf