Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.01 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 2»

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Задания и методические указания к выполнению самостоятельных работ

Минск

БНТУ

2013

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 2»

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Задания и методические указания к выполнению самостоятельных работ

для студентов I курса

Минск

БНТУ

2013

УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7

И73

С о с т а в и т е л и :

Е. В. Емеличева, С. Ю. Лошкарева, Л. Д. Матвеева

Р е ц е н з е н т ы :

канд. физ.-мат. наук, доцент В. В. Карпук; канд. физ.-мат. наук, доцент Н. А. Шавель

Издание предназначено для студентов инженерно-педагогических и инженерных специальностей I курса и содержит подробные решения типовых примеров.

Задачи составлены так, чтобы студенты могли полностью усвоить изучаемый материал и справиться самостоятельно с подобными заданиями.

	СОДЕРЖАНИЕ
1.	Метод непосредственного интегрирования ..............................	4
2.	Вычисление интегралов с помощью подведения под знак
	дифференциала............................................................................	5
3.	Метод замены переменной .........................................................	6
4.	Интегрирование функций, содержащих квадратный
	трехчлен .......................................................................................	7
5.	Интегрирование по частям .........................................................	8
6.	Интегрирование рациональных дробей...................................	10
7.	Интегрирование тригонометрических функций.....................	12
8.	Интегрирование простейших иррациональных функций......	15
9.	Вычисление определенных интегралов...................................	16
10. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
	интегрирования (первого рода) .............................................	23
11. Несобственные интегралы от неограниченных функций
	(второго рода) ..........................................................................	27
Литература......................................................................................		31

1. Метод непосредственного интегрирования Пример 1.1. Вычислить интеграл x x 2 dx.

Решение.

x x 2 dx x2 2x x x dx x									2dx 2 x 2 dx					xdx
												3
	x3	5				x2		x3					x2
		2	x 2				C			4	x2			C.
												x

3				5	2		3		5			2
		2

Задание 1. Вычислить интегралы.

1.1. 1 x 3 dx.

1.3. sin2 x cos2 x.

1.5.xxdx.

1.8.3sin x 10cos x dx.

1.11. sin2 2x dx.

1.13. 2 x 3 dx.

									1
									1
1.2.	x3 23					x2				3 dx.
1.2.	x3 23					x2			x3	3 dx.
									x3
1.4. 4x3 7x2								x 5 dx.
	dx											10
1.6.	dx							1.7.			x	10
				.											dx.
				.											dx.
	7		x										x
1.9.			dx		.					1.10.				dx		.
1.9.					.					1.10.				x2		.
		3 x2										5		x2
1.12.		3x4 x3					4x2 x 11						dx.
1.12.								x3					dx.
								x3

1.14. 1 x 2 dx. x

1.15.

5x6

25 x2

dx.

1.16.

dx.

1.17. 2

2 dx.

1.18. 3x 5 3 dx.

23 x 3x x

3x 2

1.19.

dx.

1.20.

dx.

3 x

		3		2							x4	6 3		1
Ответы: 1) x 2x			x2		x2			C ; 2)					x5
	x						x
	x	2		5			x				4	5		2x2
		2		5							4	5		2x2
3x C ; 3) tgx ctgx C; 4) x4					7	x3			x2	5x C.
3x C ; 3) tgx ctgx C; 4) x4						x3				5x C.
					3		2

2. Вычисление интегралов с помощью подведения под знак дифференциала

Пример 2.1. Вычислить интеграл 2x 11 11 dx .

Решение.

11				1						11						1 2x 11 12
2x 11	dx					2x 11						d 2x 11									C
2x 11	dx					2x 11						d 2x 11									C
				2												2			12				.
																							.
					1			2x 11 12 C.
				24				2x 11 12 C.
				24
Пример 2.2. Вычислить интеграл ctg7xdx.
Решение.										d sin 7x
ctg7xdx		cos 7x					dx		1					1	ln		sin 7x				C.
		cos 7x							1					1

		sin 7x							7		sin 7x			7
		sin 7x							7		sin 7x			7

Пример 2.3. Вычислить интеграл													3 arctgx					dx.
Пример 2.3. Вычислить интеграл													1	x2				dx.
													1	x2
	3		arctgx									1							4
Решение.								dx arctgx 3 d arctgx											3	arctgx			C.
																			3			3
																						3
		1 x2																	4

Задание 2.1. Вычислить интегралы.

2.1. 2 xdx.

2.4. dx.

3x2 1

2.2.	dx	.

	a bx
2.5.	dx
			.
	4x2 7

2.3. cos ax b dx.

2.6.	xdx	.

	4x2 7

2.7. e 2xdx.

2.8.

dx.

2.9. 2x 5 31dx.

x8 1

2.10.

dx.

2.11.

ln3 x

dx.

2.12.

cos ln x

dx.

x2 1

2.13. ex 4 ex dx. 2.14. tg 5 3 dx. 2.15.

ex e x

dx.

ex e x

2.16.

2xdx

2.17. e

xdx.

2.18.

xdx

5x2

x2 1

2.19.

ln x

dx.

2.20.

cos2 3 5x

a bx

Ответы: 1)

2 x 3

C; 2)

arctg

sin ax b

C; 4)

1 2

C; 5)

3. Метод замены переменной

Пример 3.1. Вычислить xx 2dx.

Решение.

x 2

t2 2 t2tdt 2 t4dt

x 2dx

t2 2

2tdt

2 x 2 2

4 x 2 2

2 t 2dt

Задание 3.1. Вычислить интегралы.

dx 3.1. x x .

dx 3.4. .

ex 1

3.7. x2 x2 5dx.

3.2.

1 ln x

dx.

3.3.

xdx

3 x2 a

3.5.

3.6.

1 x2 xdx.

x sin2

3.8.

e2x

3.9. x

dx.

x 10dx.

e4x 3

3.10.

3.11.

3.12.

x 10

x 1

2x 1

3.13. x

x2 7dx.

3.14. x2

x3 1dx.

3.15.

x 11

3.16. x2dx .

x3 1 3.19. 1 xdx.

Ответы: 1) 2 ln

3) 34 3 x2 a 2 C;

3.17.

dx.

3.18.

ex 1

ex e x

3.20.

2 x

1 C; 2)

1 ln x 3

4) ln

ex 1

5) 2ctg

ex 1 1

4.Интегрирование функций содержащих квадратный трехчлен

Пример 4.1.			dx
				.
		x2 6x 10		.
Решение.
	dx		dx			dx

x2 6x 10		x2 6x 9 9 10			x 3 2
x2 6x 10		x2 6x 9 9 10			x 3 2		1

x 3 t
x t 3		dt		arctg t C arctg x 3 C.
x t 3		2		arctg t C arctg x 3 C.
	t	2	1
	t		1
dx dt

Задание 4.1. Вычислить интегралы.

4.1.	dx		4.2.	dx		4.3.	dx
		.			.			.
	x2 4x 8			2x2 4x 5
							x2 2x 5

4.4.

. 4.5.

4 6x 3x2

x2 16x 5

4.7.

4.8.

x 3

dx.

x2 2x 5

x2 5x

4.10.

4.11.

x2 6x 18

x2 x 1

4.13.

4.14.

x 2

dx.

x2 2x 3

4.16.

4.17.

x2 x 2

4.6.				dx
					.
	x2 4x 7				.
4.9.				dx		.


			x2 x 3
			x2 x 3
4.12.				dx				.


				x2 x 2
				x2 x 2
4.15.				dx					.


				3x2 2x 1
				3x2 2x 1
4.18.				dx			.

		x2 6x 5

4.19.

4.20.

x 30

2x 3

x 2

arctg x 1

Ответы: 1)

arctg

C; 2)

2 C;

arcsin x 1

3 C.

3) ln

x 1

x2 2x 5

C; 4)

5. Интегрирование по частям

Пример 5.1. x ln x dx. Решение.

u ln x;

dx.

1 x

x ln x dx

ln x 2 x dx

dv xdx;

v xdx

ln x

x2 C.

Пример 5.2.

4x 1 exdx.

Решение.

u 4x 1;

du 4dx.

4x 1 exdx

dv exdx;

v exdx ex.

4x 1 ex ex 4dx 4x 1 ex 4ex C.

Задание 5.1. Вычислить интегралы.				5.3. ln x 5 dx.
5.1. x cos x2xdx.			5.2. arccos xdx.
5.4. xarctgxdx.			5.5. x ln 5xdx.	5.6. xarctg2xdx.
5.7. x2 cos 3xdx.			5.8. ln(2 x)dx.	5.9. arcsin	x	dx.

				3
5.10. x2 sin	x	dx.	5.11. x 2 e xdx.	5.12. xe 5xdx.

2

5.13. x4 ln xdx.			5.14. arccos5xdx.
5.16.		ln xdx.	5.17. x2 1 exdx.
	x
5.19. arcsin 5xdx.			5.20. arc tg	x	dx.

			2

5.15. x2e10xdx. 5.18. x2 cos 3x dx.

	1	x sin 2x	1	cos 2x C; 2)
Ответы: 1)					xarc cos x	1 x 2 C;
	2		4

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20254.94 Mб1Иностранный язык (испанский).pdf
#
24.11.20255.21 Mб0Иностранный язык (немецкий).pdf
#
24.11.20253.41 Mб1Иностранный язык в профессиональной деятельности (первый) (английский).pdf
#
24.11.20255.54 Mб0Иностранный язык для магистрантов (немецкий, английский).pdf
#
24.11.202511.38 Mб0Иностранный язык.pdf
#
24.11.20252.01 Mб0Интегральное исчисление.pdf
#
24.11.20251.87 Mб0Интегрированная среда разработки VBA.pdf
#
24.11.20257.16 Mб0Интегрированный модуль Политология.pdf
#
24.11.20252.13 Mб0Интеллектуальная собственность охрана и реализация прав, управление.pdf
#
24.11.20251.51 Mб0Интеллектуальные системы управления автомобилем. Ч. 1. Силовые установки.pdf
#
24.11.202542.99 Mб2Интеллектуальные системы управления автомобилем. Ч. 2.pdf