Изучение законов вращательного движения твердого тела
.pdf
Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика»
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Лабораторные работы № 3, 15
М и н с к 2 0 0 9
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика»
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Лабораторные работы № 3, 15
М и н с к 2 0 0 9
УДК 531.38(076.5) ББК 22.213я7
И 32
Составители:
Д.С. Бобученко, Ю.А. Бумай, В.В. Красовский
Рецензенты:
П.Г. Кужир, И.А. Хорунжий
И 32 Изучение законов вращательного движения твердого тела: лабораторные работы № 3, 15 / сост.: Д.С. Бобученко, Ю.А. Бумай, В.В. Красовский. – Минск: БНТУ, 2009. – 32 с.
ISBN 978-985-525-246-8.
Издание содержит описание двух лабораторных работ, посвященных изучению законов вращательного движения твердого тела.
В работах рассмотрены наиболее важные характеристики вращательного движения, основной закон динамики вращательного движения, закон сохранения момента импульса, а также изложена теория гироскопического эффекта. Приведено описание лабораторных установок и заданий.
Пособие предназначено для студентов инженерных специальностей, изучающих раздел «Механика» дисциплины «Общая физика».
УДК 531.38(076.5) ББК 22.213я7
ISBN 978-985-525-246-8 |
БНТУ, 2009 |
Лабораторная работа № 3
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Цель работы: изучение основных характеристик вращательного движения, законов вращательного движения твердого тела.
Задача работы: определить момент силы трения.
Кинематические и некоторые динамические характеристики вращательного движения
Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения (рис. 3.1).
Абсолютно твердое тело (твердое тело) – это тело, изменением размеров и формы которого можно пренебречь, т.е. расстояния между любыми частями тела остаются неизменными.
Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Пусть не-которая точка, движущаяся по окружности радиуса R (см. рис. 3.1), и за проме-
жуток времени t переместилась на угол
.
Элементарные (бесконечно малые) углы поворотов (или d ) можно рассматривать как векторы. Модуль вектора
равенРис. 3значению.1 угла поворота, а сам вектор направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта (т.е. его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения по окружности). Этот век-
тор не имеет определенных точек приложения: он может откладываться из любой точки на оси вращения. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота по времени:
lim |
|
|
d |
. |
t |
|
|||
t 0 |
|
dt |
||
Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта. Линейная скорость точки:
υ lim |
s |
lim |
R |
|
R lim |
|
Rω . |
t |
|
t |
t |
||||
t 0 |
t 0 |
t 0 |
|
||||
В векторном виде формулу для линейной скорости можно записать как векторное произведение угловой скорости и ра- диуса-вектора точки r относительно любой точки на оси вращения:
r R .
Если вращение равномерное, т.е. = const, его можно характеризовать периодом вращения T – временем, за которое точка или тело совершает один полный оборот. Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном вращении за единицу времени называется частотой вращения: n = 1/T.
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
ddt .
Как видно из определения, направление углового ускорения совпадает с направлением изменения угловой скорости. Поэтому при ускоренном вращении тела вокруг неподвижной
4
оси вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, при замедленном – эти вектора направлены в разные стороны.
Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная произведению силы на ее плечо. Плечо силы относительно оси – это кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила (линия действия силы).
Моментом M силы F относительно точки О называется векторная величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы (точка B), на силу F (рис. 3.2):
M r, F .
Рис. 3.2
Модуль вектора момента силы: M Fr sin Fd , где – угол между векторами r и F, d = r sin – плечо силы относительно точки – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О.
Вектор M перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы r и F. Направление вектора M совпадает с направле-
5
нием поступательного движения правого винта при его вращении от r к F по кратчайшему расстоянию, как показано на рисунке.
Момент силы относительно оси также равен проекции на эту ось вектора момента силы M, определенного относительно произвольной точки на этой оси. Значение момента силы относительно оси не зависит от выбора положения точки на оси.
Кинетическая энергия вращающего тела. Момент инерции
Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементов – элементарных объемов, – масса каждого из которых равна mi и радиус вращения ri (рис. 3.3).
Кинетическая энергия i-го элемента равна
E |
m 2 |
(3.1) |
i i . |
||
i |
2 |
|
|
|
Кинетические энергии различных элементов будут разными, т.к. различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:
Рис. 3.3
|
E Ei |
|
m 2 |
|
||
|
i |
|
i |
(3.2) |
||
|
2 |
|
|
|||
|
i |
i |
|
|
|
|
|
E |
m r2 2 |
|
|
|
|
или |
i |
i |
, |
|
(3.3) |
|
2 |
|
|||||
|
i |
|
|
|
||
6
т.к. линейная скорость вращения связана с угловой скоростью
i = ri.
Поскольку угловая скорость одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:
E |
2 |
m r 2 . |
(3.4) |
|
2 |
i i |
|
|
i |
|
Величина I miri2 называется моментом инерции твер-
дого тела, а Ii miri2 – моментом инерции одного элемента
(материальной точки), размерами которого можно пренебречь по сравнению с его радиусом вращения. Момент инерции тела равен сумме моментов инерции элементов, составляющих это тело:
I I |
i |
m r2 . |
(3.5) |
|
i i |
|
|
i |
|
i |
|
Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела принимает вид
E |
I 2 |
. |
(3.6) |
|
2 |
||||
|
|
|
Момент инерции не зависит от скорости вращения тела и характеризует инертность тела при вращательном движении: чем больше I, тем большую энергию надо затратить для достижения заданной угловой скорости. Это следует из формулы (3.6). Значение момента инерции определяется не только массой тела, но и ее распределением относительно оси вращения. Для тонкостенного полого цилиндра (толщина которого много меньше его радиуса R) момент инерции, согласно (3.5), будет равен
7
I R2 m mR2 . |
(3.7) |
i
i
В случае непрерывного распределения массы формула (3.5) сводится к интегралу
I r2dm r2 dV , |
(3.8) |
где dm – масса материальной точки тела;
– плотность в определенной точке тела; dV – элементарный объем.
Интегрирование производится по всему объему тела.
В качестве примера рассчитаем момент инерции сплошного цилиндра высотой h относительно его геометрической оси.
Для этого разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r (рис. 3.4).
Так как радиусы точек бесконечно тонкого цилиндра равны между собой, то его момент инерции можно рассчитать по
формуле
dI r2dm , |
(3.9) |
где dm – масса всего элементарного цилиндра.
Выразим массу полого элементарного цилиндра через его объем dV и плотность
dm dV 2 rhdr . |
(3.10) |
Следовательно, момент инерции элементарного цилиндра равен
8
dI 2 h r3dr , |
(3.11) |
а всего цилиндра |
|
R |
|
I dI 2 h r3dr , |
(3.12) |
0 |
|
где R – радиус цилиндра.
Произведя интегрирование и подставив пределы, получим:
I |
h R4 |
(3.13) |
. |
||
|
2 |
|
Так как hR2 – объем цилиндра, а его масса m = V = h R2, то его момент инерции равен
I |
mR2 |
. |
(3.14) |
|
|||
2 |
|
|
|
Без расчета приведем формулы моментов инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:
I |
2 |
mR2 |
(3.15) |
|
5 |
||||
|
|
|
и для однородного стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр:
I |
|
1 |
ml2 , |
(3.16) |
|
12 |
|||||
|
|
|
|||
где l – длина стержня; R – радиус шара;
m – массы этих тел.
Для расчета момента инерции тела относительно оси, не проходящей через его центр масс, нужно воспользоваться теоре-
9