Задачи с решениями по сопротивлению материалов
.pdf
. |
|
Знак «минус» показывает, что направление реакции |
необ- |
ходимо заменить на противоположное. |
|
ΣX=0, следовательно, XA=0.
Рассмотрим жесткий элемент II (рис.1.6), приложив к нему нормальную силу N1, взятую с обратным знаком. Рассечем стержень 2, приложив к нему усилие N2.
Рис.1.6. Схема жесткого элемента II.
Cоставим уравнение равновесия:
M B 0 , |
F 4a |
N1 3a q2 a 2,5a |
N2 |
sin |
2a 0 , |
20 4 0,8 |
32 3 0,8 |
10 0,8 2,5 0,8 N2 |
sin |
2 0,8 |
0 , |
N2 sin |
28,8 . |
|
|
|
|
Определим sin . Длина стержня 2 равна:
l2 |
b2 |
2a2 |
12 1,62 |
1,89м, |
|
||||||
sin |
|
b |
1 |
|
0,529, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l2 |
1,89 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда N2 |
0,529 |
28,8кН , |
N2 |
28,8 |
|
54,44кН . |
|||||
|
|
||||||||||
0,529 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подберём диаметр сечения для стержней по расчетному сопротивлению R:
N |
R , A |
N |
. |
|
|
||
A |
|
R |
|
Для первого стержня:
10
A |
N1 |
32 103 |
1,524 10 4 м2 1,524см2 , |
|
|
|
|
||
1 |
210 106 |
|
||
|
R |
|
||
A |
|
d 2 |
|
, d |
|
|
4 A |
, d |
4 1,524 |
|
1,393см 1,4см. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
1 |
3,14 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для второго стержня: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A |
|
N 2 |
|
54,47 103 |
|
2,59 10 |
4 |
м |
2 |
2,59см |
2 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
R |
|
210 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d2 |
4 |
|
2,59 |
1,816см 1,9см. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3,14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определим опорные реакции YB и XB , составив уравнения равновесия:
ΣY=0, F – N1 – q2·a + N2·sinα + YB = 0,
YB = -20 + 32 + 10·0,8 + 54,44·0,529 = - 8,79 кН.
ΣX=0, XB + N2·cosα = 0, XB = - N2·cosα,
=
XB = - 54,44·0,847= - 46,09 кН.
Знак «минус» свидетельствует о том, что направление реакций YB и XB необходимо заменить на противоположное.
Для проведения расчёта на жёсткость, определим удлинение стержней 1 и 2 (рис.1.7):
D' D" l |
|
N1 l1 |
32 103 2 4 |
|
0,002м 2мм , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
EA1 |
210 109 |
3,14 0,0142 |
|
|||||
|
|
|
|||||||
К ' К" l2 |
N2l2 |
|
54,47 103 |
1,89 4 |
|
0,0017м 1,7мм. |
|||
EA2 |
210 109 |
3,14 0,0192 |
|
||||||
|
|
|
|||||||
Составим схему перемещений элементов стержней системы, предположив, что жёсткие брусья будут поворачиваться относительно своих опор, оставаясь прямыми (рис.1.7).
Из-за малости перемещений будем полагать, что точки D, E и K, переместятся соответственно в точки D'',E' и K', т.е. перемещения абсолютно жёстких брусьев будет происходить вертикально.
Определим перемещение точки D:
DD' |
D' D" |
, |
D' D" l2 , |
||||
sin |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
DD' |
l2 |
|
|
1,7 |
|
3,21м м. |
|
sin |
|
0,52 |
|||||
|
|
|
|||||
11
Рис. 1.7. Схема перемещений стержневой системы.
Из подобия треугольников BEE' и BDD' определим перемещение точки Е:
|
EE' |
DD' |
BE DD' |
2,4 |
0,002 |
|
||||
|
|
|
|
, EE' |
|
|
|
|
|
0,003м 3мм, |
|
|
|
|
BD |
|
|
1,6 |
|
||
|
BE |
BD |
|
|
|
|
||||
|
KK" |
KK ' K' K", |
KK ' |
EE' 3мм, |
|
|||||
K' K" |
l2 1,7мм , KK" 3 |
1,7 |
4,7мм. |
|
||||||
Из подобия треугольников АСС'' и АKK'' определим перемещение точки С:
|
СС" |
|
KK" |
, |
|
|
|
|||
|
|
AC |
AK |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
CC" |
|
AC KK" |
3,2 0,0047 |
0,0188м |
18,8мм. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
AK |
|
|
0,8 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
СС |
18,8 |
|
20мм. |
|
|
||||
Жёсткость конструкции обеспечена. |
|
|||||||||
З а д а ч а 1.3.
Конструкция, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней с расчётным сопротивлением материала
12
R=210 МПа и модулем продольной упругости Е=210 ГПа, загружена согласно схеме (рис. 1.8).
Требуется: подобрать диаметр стержней и выполнить проверочный расчёт жёсткости, если перемещения точки С не должно превышать 20 мм.
F=20 кН, а=1 м,
q=12 кН/м, b=1,5м, [δ] = 20 мм.
Рис. 1.8. схема стержневой системы.
Решение.
Определим усилия в стержнях, мысленно разделив стержневую систему на 2 составляющих. Рассмотрим жёсткий элемент I
(рис.1.9).
Приложим к стержню 1 неизвестную нормальную силу N1 и определим ее значение, составив уравнение равновесия:
Mc |
0, N1 2a F a 0, |
N1 2a |
F a, |
20 1
N1 2 1 10кН.
Определим реакцию в шарнире
YC:
Y 0, Yc N1 20 0, Yc 10кН.
Рис. 1.9. Схема жесткого элемента I.
13
Рассмотрим жёсткий элемент II (рис.1.10), приложив к нему реакцию YC, взятую с обратным знаком.
Рис. 1.10. Схема жесткого элемента II.
Рассекаем стержень 2 и прикладываем к нему усилие N2. Cоставим уравнение равновесия:
M B 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q 4a 2a N2 |
sin |
2a 0, |
|
|
|||||
N2 |
sin |
q 4a 2a |
10 4 1 40, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin |
|
b |
1,5 |
0,6 тогда N2 |
40 |
66,67кН , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
l2 |
2,5 |
0,6 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
где 
Подберём диаметр сечения для стержней по расчётному со-
противлению R:
N |
R, A |
N |
. |
A |
|
R |
|
Для первого стержня:
14
A |
N1 |
|
10 103 |
|
|
0,476 10 |
4 |
|
0,475см |
2 |
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
R |
|
210 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A |
|
|
d 2 |
|
, d |
4 A |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d1 |
4 |
|
0,476 |
0,78см 0,8см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3,14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для второго стержня: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
A |
|
N 2 |
66,67 103 |
|
3,17 10 |
4 |
м |
2 |
3,17см |
2 |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
R |
|
210 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
d2 |
4 |
3,17 |
|
|
2,0см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3,14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определим опорные реакции XВ и YВ, составив уравнение равновесия:
ΣY=0, YB - q·4a + N2·sinα + RC = 0, YB 12 4 1 66,67 0,6 10 20кН ,
ΣX=0, -XB + N2·cosα = 0,
XB = 66,67·0,8=53,34 кН.
Для проведения расчёта на жёсткость, определим удлинение стержня 2 (рис.1.11):
l2 D' D" |
N2l 2 |
|
66,67 103 2,5 4 |
0,0031м 3,1мм, |
||||||
EA |
210 109 |
3,14 0,0182 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
DD" |
DD' |
3,1 |
|
5,2мм. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin |
0,6 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Перемещение точки С в положении С' определяется только удлинением стержня 2. Из подобия треугольников BCC' и BDD'':
CC' DD" |
, CC' |
BC DD" |
4 0,0052 |
0,0104м 10,4мм. |
||||
|
|
|
BD |
|
2 |
|||
BC BD |
||||||||
|
|
|||||||
15
Рис. 1.11. Схема перемещений стержней системы.
CC' [ ]; 10,4мм 20мм. Жёсткость конструкции обеспечена.
З а д а ч а 1.4.
Система, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней, загружена расчётной нагрузкой (рис.1.12). Расчётное сопротивление материала стержней R=210 МПа.
Требуется: проверить прочность стержней.
q=10 кН/м,
F=20 кН,
A1=5 см2,
A2=10 см2, а=2 м.
Рис. 1.12. Схема стержневой системы. Решение.
16
Рис. 1.13. Схема стержневой системы с нагрузкой.
Составим расчётную схему стержневой системы (рис. 1.14).
Рис. 1.14.Расчетная схема стержневой системы.
В схеме N1 и N2 – нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ1 и СС1, Yo и Xo – вертикальная и горизонтальная составляющая опорной реакции шарнирно-неподвижной опоры О. Таким образом, имеем 4 неизвестные реакции (N1, N2, Yo, Xo) и три уравнения равновесия ( X 
0). Следовательно, данная система
является один раз статически неопределимой и для её решения требуется составить дополнительное уравнение перемещений.
Запишем уравнение равновесия:
M0 N2 sin 450 3a q 2a a N1 sin 600 3a F 3a 0 ,
17
N2 |
0,707 6 10 4 2 N1 0,866 6 20 6 0 , |
4,242 N2 5,196N1 40 0 , |
|
N2 |
1,225N1 9,429. |
Данное уравнение имеет 2 неизвестные нормальные силы. Для составления дополнительного уравнения перемещений
рассмотрим деформацию системы, предположив, что абсолютно жёсткий элемент BOC при деформации повернётся вокруг опоры О, оставаясь жёстким.
Составим схему перемещений (рис.1.15).
Рис. 1.15. Схема перемещений стержневой системы.
Из подобия треугольников ОСС' и ОВВ' определим:
CC ' |
|
|
BB' |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
. Т.к. ОС=ОВ=6м, следовательно |
|||||||
|
|
|
||||||||||
OC |
|
|
OB |
|
|
|
|
|
|
|
||
CC' |
BB',CC" |
l ; BB" |
l ,CC" |
CC' |
, |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
sin 450 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BB" |
|
|
BB' |
, |
l2 sin 450 |
|
l2 sin 600 , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin 600 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N2l2 |
0 |
|
N1l1 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
sin 45 |
|
|
sin 60 . |
|
|
|
|||
EA2 |
|
|
EA1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Примем, что А1=А, тогда А2=2А. Рассчитаем длину стержней:
18
l1 |
|
|
1,5a |
3 |
|
6м,l2 |
|
1,5a |
4,24м, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
cos600 |
0,5 |
|
sin 450 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
N2 |
4,24 |
0,707 |
|
N1 |
6 |
|
0,866, |
|
||||||
|
|
E 2 A |
|
|
E A |
|
|||||||||
1,49N2 |
|
5,196N1, N2 |
3,487N1. |
|
|||||||||||
|
|
Решаем систему уравнений: |
|
||||||||||||
|
|
N2 |
|
1,225N1 |
9,429 |
|
|
|
|||||||
|
|
N2 |
3,487N1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3,487N1 |
1,225N1 |
9,429, |
|
|
|||||||
4,712N1 |
|
9,429, N1 |
|
2кН , |
|
|
|||||
N2 3,487N1 2 3,487 6,974кН . |
|
||||||||||
Определим напряжение в стержнях: |
|
||||||||||
|
|
N1 |
2 103 |
|
6 |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 10 Па |
4МПа |
210МПа, |
|
|
A1 |
5 10 4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
N2 |
6,974 103 |
|
6 |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,97 10 Па |
6,97МПа 210МПа. |
|
|
A2 |
10 10 4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Прочность стержней обеспечена.
Определим опорные реакции в точке О:
ΣY=0, YO - q·2a + N2·sin45o – N1·cos60o = 0,
YO = 10·4 + 6,974·0,707 - 2·0,5 = 43,93 кН,
ΣX=0, -XO + N1 ·sin60o + N2·cos45o = 0,
XO = 2·0,866 + 6,974·0,707 = 6,663 кН.
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ.
З а д а ч а 2.1.
Для заданного сечения (рис.2.1), состоящего из прямоугольного листа и прокатных профилей требуетcя: вычислить главные центральные моменты инерции, начертить сечение и показать все оси и размеры.
1. |
Лист 22 2см, |
2. |
Уголок неравнобокий 125 80 8, |
3. |
Двутавр №18. |
19