Задачи с решениями по сопротивлению материалов
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Белорусский национальный технический университет
Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости»
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
Минск
БНТУ
2013
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет
Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости»
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
Минск
БНТУ
2013
УДК 620.1(076.2)
ББК 30.121я7
З-15
Сост ав ит ели :
Е. А. Евсеева, С. И. Зиневич, С. В. Соболевский
Р ецензенты :
М. М. Гарост, Л. Р. Мытько
Задачи с решениями по сопротивлению материалов / сост.: Е. А. Евсеева, З-15 С. И. Зиневич, С. В. Соболевский. – Минск : БНТУ, 2013. – 138 с.
ISBN 978-985-550-136-8.
Издание содержит задачи с решениями по дисциплине «Сопротивление материалов» и справочный материал, необходимый для решения приведенных задач.
Предназначено для студентов строительных специальностей.
УДК 620.1(076.2)
ББК 30.121я7
ISBN 978-985-550-136-8 |
© Белорусский национальный |
|
технический университет, 2013 |
2
Содержание
Введение…………………………………………………………. 4
Центральное растяжение и сжатие…………………………….. 5
Геометрические характеристики сечений……………………... 19
Кручение…………………………………………………………. 23
Плоский поперечный изгиб…………………………………….. 32
Неразрезные балки……………………………………………… 75
Сложное сопротивление………………………………………… 97
Устойчивость…………………………………………………….. 115
Динамика………………………………………………………… 123
Литература………………………………………………………. 127
Приложения…………………………………………………….. 128
3
Введение
Издание содержит подробное решение типовых задач по курсу «Сопротивление материалов». Рассмотрены расчеты прямого бруса при различных видах деформации, включены задачи на кручение, устойчивость и динамическое действие нагрузки. Уделено внимание решению статически неопределимых стержневых систем и неразрезных балок.
Данное издание позволит выработать навыки в решении задач курса и облегчит самостоятельную работу студентов строительных специальностей при выполнении расчетно-проектировочных заданий.
4
1.ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ.
За д а ч а 1.1.
Ступенчатый стержень находится под действием внешних сил F. Материал стержня – сталь с модулем продольной упругости
E=200 ГПа.
Требуется: построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывать.
F1=60 кН, F2=20 кН, F3=100 кН, F4=30 кН,
А1=6 см2, А2=12 см2, А3=10 см2,
а=80 см, в=100 см, с=100 см.
Рис. 1.1. Схема стержня.
Решение.
Для определения внутренних усилий разбиваем стержень на участки. Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие изменению площади поперечного сечения и местам приложения сосредоточенных сил. Определяем, что стержень необходимо разбить на пять участков.
Проведем сечение I-I (рис.1.2а). Отбросим нижнюю часть стержня и её действие заменим нормальной силой N1. Запишем уравнение равновесия, проецируя все силы на ось стержня:
Z F1 N1 0 , откуда
F1 N1 60кН .
На участке 1-2 нормальная сила N1 постоянна по величине.
5
Проведем сечение II-II (рис.1.2б) и, отбрасывая верхнюю часть стержня, заменяем её действие нормальной силой N2. Проецируем все силы на ось стержня:
|
|
Z |
F1 F2 N2 |
0 , откуда |
|||||
|
|
N2 |
F1 |
F2 |
60 |
20 |
80кН . |
||
Аналогично находим |
нормальные |
силы |
в сечении III-III |
||||||
(рис.1.2в): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
F1 |
F2 |
F3 |
N3 |
|
0 , откуда |
|
N |
3 |
F |
F |
F |
60 |
20 |
|
100 |
20кН . |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
В сечении IV-IV (рис.1.2г): |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Z |
F1 |
F2 |
F3 |
N4 |
|
0 , откуда |
|
N |
4 |
F |
F |
F |
60 |
20 |
|
100 |
20кН , |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
и в сечении V-V (рис.1. 2д): |
|
|
|
|
|||||
|
|
Z F1 |
F2 |
F3 |
N5 |
|
0 , |
|
|
N5 F1 F2 |
F3 |
F4 |
60 |
20 |
100 |
30 |
50кН . |
||
Рис.1.2. Схема расчета стержня.
6
Рис.1.3.Эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений.
Откладывая в масштабе значение нормальных сил N1, N2, N3, N4, N5 в пределах соответствующих участков, получаем эпюру нормальных сил (рис.1.3а). Знак “плюс” показывает, что в пределах данного участка – растяжение, а “минус” – сжатие. Для построения
эпюры нормальных напряжений, воспользуемся формулой: 
NА .
Определим напряжение для каждого участка:
|
|
|
N1 |
60 103 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 10 Па |
100МПа , |
||||
|
|
|
A1 |
6 10 |
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
N2 |
|
|
|
80 103 |
|
|
66,7 106 Па |
66,7МПа , |
|||||||||||
|
|
|
A2 |
12 10 4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
N3 |
20 103 |
|
|
|
6 |
|
16,7МПа , |
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16,7 10 Па |
||
|
|
A2 |
12 10 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
N4 |
|
20 103 |
|
20 106 Па |
20МПа , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
A3 |
10 10 4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
N5 |
|
|
50 103 |
|
50 106 Па |
50МПа . |
||||||||||||
|
|
|
|
A3 |
10 10 4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7
В масштабе откладываем значение напряжений и определяем, что максимальное значение напряжения достигает на участке I (рис.1.3б).
Для построения эпюры перемещений воспользуемся форму-
лой:
l |
N l |
|
l |
. |
|
|
|||
|
E A |
|
E |
|
Расчёт начинаем с участка V, так как перемещение в заделке отсутствует. Определим изменение длин каждого из участков:
l |
|
|
|
|
|
5 |
|
l5 |
|
|
|
|
50 106 |
0,4 |
|
|
1 10 4 м |
0,1м м |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
200 109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
l |
|
|
4 |
|
l4 |
|
|
|
|
20 106 |
0,4 |
|
0,4 10 4 м |
0,04мм, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
200 109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
3 |
l3 |
|
16,7 106 |
|
0,5 |
|
0,4 10 4 м |
0,04мм, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
200 109 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l |
2 |
|
|
2 |
|
l2 |
|
66,7 106 0,5 |
|
|
1,7 10 4 м |
0,17мм , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
200 109 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l |
|
|
|
1 |
l1 |
|
|
|
100 106 |
0,4 |
|
2 10 4 м |
0,2 мм. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
200 109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Перемещение участка V: W5 |
l5 |
0,1мм , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
участка IV: W4 |
|
W5 |
|
|
l5 |
0,1 |
|
0,04 |
|
0,14мм, |
|
|
|||||||||||||||||
участка III: |
|
W3 |
|
W4 |
|
|
|
l3 |
0,14 0,04 |
0,18мм, |
|
||||||||||||||||||
участка II: W2 |
W3 |
|
|
l2 |
0,18 |
|
0,17 |
|
0,01мм, |
|
|
||||||||||||||||||
участка I: W1 |
|
W2 |
l1 |
0,01 0,2 |
|
0,19мм . |
|
|
|||||||||||||||||||||
В масштабе откладываем значение перемещений (рис.1.3в).
З а д а ч а 1.2.
Конструкция, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней с расчетным сопротивлением материала R=210 МПа и модулем продольной упругости E=210 ГПа, загружена согласно схеме (рис.1.4).
Требуется: подобрать диаметр стержней и выполнить проверочный расчет жёсткости, если перемещение точки C не должно превышать 20 мм.
8
F=20кН,
q2=10кН/м, q1=5кН/м, а=0,8м,
в=1м, [ 
]=20мм.
Рис. 1.4. Схема стержневой системы. Решение.
Для определения усилий в стержнях мысленно разделим стержневую систему на две составляющих. В первую очередь рассмотрим жёсткий элемент I (рис.1.5), так как при рассечении стержня 1 он теряет первоначальную форму равновесия. Приложим к стержню 1 неизвестную нормальную силу N1 и определим ее значение.
Составим уравнение равновесия:
M A 0 ; |
q1 4a 2a N1 a 0 , |
||
5 4 0,8 2 0,8 N1 0,8 0 , |
|||
N1 |
25,6 |
|
32кН . |
|
|
||
0,8 |
|
||
|
|
|
|
Рис.1.5. Схема жесткого элемента I.
Определим опорные реакции YA и XA, составив уравнения равновесия:
ΣY=0, 
,
9