Задачи математического программирования

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ответ. X = 20

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

0		0	0	0	0	0	1	6	0
		0	0	1	1	0	0	3
0									0
		0	0	1	0	0	1	3
0									0
	3	0	1	0	0	0	0	0	0
D* = 1 0 1 0 0						0	0	0	0 .
	2	1	1	0	0	0	0	0
									0
0		2	0	0	0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0	0	0
0									0
		0	0	4	2	4	2	0
0									0

После осуществления тернарных операций над матрицей C* получим C*89 = ∞ , т. е. задача решена, оптимальное решение

	3		1	2	0
X			0	1
	= 0				2
		1	1	1
					0

при значении целевой функции zmin = 23.

Задачи для самостоятельного решения

Ва р и а н т ы

1.a =(35, 25, 45), b =(30, 25,10, 20).

	2	7	5	8		15	20	10	10
C =							5	5
C =	7 3 8			2 ,		D = 10	5	5	6 .
		11	8				10	20
	7	11	8	6		10	10	20	10
15		16	0	4
		5	4		,	z = 490.
Ответ. X = 10		5	4	6	,	z = 490.
	5	4	6
	5	4	6	10


2.		=(70, 20, 50),			=(40, 30, 30, 25).
2.	a	=(70, 20, 50),		b	=(40, 30, 30, 25).
		2	7	6		4			10		20	20	25
				6			,	D		20	10	10
		C = 7 4		6		8	,	D	=	20	10	10	15 .
			9 11							15	5	5
		6	9 11			5				15	5	5	30

Ответ. Задача не имеет решения. Максимальный объем пере-

10	20	20	20
	5	5		, z = 695.
мещаемого продукта 120 ед., план X = 10	5	5	0	, z = 695.
	5	5
15	5	5	5

3.				=(35, 30, 40),								=(30, 45,15, 30).
3.	a			=(35, 30, 40),						b		=(30, 45,15, 30).
					4			8 7 5									5 5 20		10
						8
					C =	8		6 5 10								, D = 15 10 20			5 .
						4		7	6									10
						4		7	6						2		15 35	10	20
							5		5					15	10
Ответ.								10						0			z = 620.
Ответ.					X = 15			10						0		5 ,	z = 620.
								15						0
					10			15						0	15
4.			=(20, 50, 35),										=(30, 10, 40,10).
4.		a	=(20, 50, 35),								b		=(30, 10, 40,10).
					2			6 3 5									5 5 15		5
							8											5
					C =		8	7 10 5								, D = 15 20		5	15 .
							2
							2	7 5 3									15 15 25		5
							5		0					15		0
Ответ.								10						5			z = 435.
Ответ.					X = 10			10						5	10 ,		z = 435.
									0					20
					15				0					20		0


5.				=(40, 25, 35),							=(20, 25, 40, 20).
5.	a			=(40, 25, 35),					b		=(20, 25, 40, 20).
				7				5 9 4							10	5 20 10
					6
				C =	6			2 5 5 ,							D = 10	5 10 5 .
					8		12					10	7			15	15
					8		12					10	7		5	15	15	10
				10				5				15	10
						5		5				10			, z = 730.
Ответ. X =						5		5				10		5	, z = 730.
						5		10				15
						5		10				15		5
6.			=(30, 70, 40),									=(35, 10, 55, 45).
6.		a	=(30, 70, 40),							b		=(35, 10, 55, 45).
				2			6 9 7								10	5 15 5
						5								,
				C =		5	8 2 3							,	D = 20	30 10 15 .
						3	7									20	35
						3	7					5 9			10	20	35	30

Ответ. Задача не имеет решения. Максимальный объем пере-

											10		0	15	5
													10	10		, z = 675.
мещаемого продукта 125 ед., план X = 20													10	10	15	, z = 675.
													0	30
											5		0	30	5
7.		=(30, 65, 25),						=(30, 10,15, 45).
7.	a	=(30, 65, 25),					b	=(30, 10,15, 45).
			6		11	5			7		10		10	5	10
		C		8	9	11				,		20	30	10
		C	=	8	9	11			10	,	D =	20	30	10	10 .
				2	6	5						10	20	10
				2	6	5			3			10	20	10	30

8.				=(25,45, 30),					=(20, 40,10, 25).
8.	a			=(25,45, 30),			b		=(20, 40,10, 25).
				4		5					9	3		10		10	15	10
					5	2 5							, D		10 10
				C =	5	2 5						6	, D	=	10 10		20 10 .
					8	9					5				20	25	15
					8	9					5	4			20	25	15	10
				10		10						0	5
						10						10
Ответ. X = 10						10						10	10 , z =505.
					0	20						0
					0	20						0	10
9.			=(60, 80,10),							=(30, 55, 15, 30).
9.		a	=(60, 80,10),					b		=(30, 55, 15, 30).
				8		8					9	5		10		10	30	20
						2 3							, D		25 15
				C = 7		2 3						8	, D	=	25 15		20 20 .
					5	8					6					30	20
					5	8					6	7		10		30	20	10

Ответ. Задача не имеет решения. Максимальный объем пере-

	5	10	0	20
		15	15		, z = 630.
мещаемого продукта 110 ед., план X = 25				10
	0	10	0
				0

10.		=(45, 25, 60),				=(20, 20, 35, 25).
10.	a	=(45, 25, 60),			b	=(20, 20, 35, 25).
			5	9	4		8		15		10	20	10
		C						,		20	10	10
		C	= 9 2 7				5	,	D =	20	10	10	5 .
				7	6					25	10	10
			5	7	6		4			25	10	10	15

3. ЗАДАЧА О МАКСИМАЛЬНОМ ПОТОКЕ В СЕТИ

Тернарной операцией над матрицей dij n×n по индексу k называется операция dij = max(dij ,min(dik ,dkj )) для всех i ≠ j ≠ k .

Рассмотрим вспомогательную матрицу R = rij n×n , элементы ко-

торой rij = j, i =1,n . Одновременно с выполнением тернарной операции элементы матрицы R изменяются по следующему правилу:

r	,	если d	ij		≥ min(d	ik		,d	kj		),
ij			ij			ik			kj
rij = r	,	если d			< min(d			,d			).
				ij			ik			kj
ik				ij			ik			kj

Эти операции являются основой метода построения максимального потока в многополюсной сети. Опишем алгоритм решения задачи.

Подготовительный этап. Для начальной потоковой матрицы

X =

xij

n×n

(как правило, на начало работы алгоритма xij = 0 для

всех i =

1,n

j =

1,n

) формируем модифицированную матрицу про-

пускных способностей D =

dij

n×n

, полагая

= d

− x ,

i, j =

;

1,n

l, p – индексы источника и стока соответственно.

Общая итерация. Осуществляем тернарные операции над мат-

рицей D =

и R =

последовательно по всем индексам

n×n

k = 1,

…,

Если в

полученной в результате матрице

D =

dij

n×n

dep = 0 , алгоритм заканчивает работу. В противном

случае переходим к шагу 1.

Шаг 1. dep = dlp > 0 . С помощью вспомогательной матрицы R = rij n×n находим путь

Llp ={(l,i1),(i1,i2 ),...,(ik , p)},

вдоль которого можно увеличить поток на максимально возможную

величину δlp . Здесь

i1`

= rlp ,

i2` = ri p ,

i3` = ri

p , ...,

ri p = p. Далее

полагаем

x +δ

x −δ

, (i, j)

L ,

xij :=

− в остальных случаях;

−d

, (i, j) L

dij :=

− в остальных случаях;

D* = D .

Переходим к общей итерации. Проиллюстрируем работу алгоритма на следующем примере.

П р и м е р

Найти максимальный поток из вершины 1 в вершину 7 в сети, заданной матрицей пропускных способностей дуг

	0	5	5	5	15	0	0
	5	0	10	15	20	0	0

	5	10	0	8	0	10	0
	5 15		8	0	5 10 15
D =								.
	15	20	0	5	0	10	10
	0	0	10	10	10	0	6

	0	0	0	15	10	6	0

Полагаем X = xij 7×7 = 0 , D* = D .

Итерация 1. Получаем

		0	15	10		15	15		10	15
		15	0	10		15	20		10	15
		15	0	10		15	20		10	15
		10	10		0	10	10		10	10
		15	15	10		0	15		10	15	,
D* =		15	15	10		0	15		10	15	,
		15	20	10		15		0	10	15
		10	10	10		10	10		0	10
		10	10	10		10	10		0	10
		15	15	10		15	15		10	0
		15	15	10		15	15		10	0
1		5	5	5	5	5	5
	5	2	3	4	5	3	4
	5	2	3	4	5	3	4
	2	2	3	2	2	6	2
	2 2 2 4 2 6 7
R* =	2 2 2 4 2 6 7							.
1		2	2	2	5	6	2
	5	3	3	4	5	6	4
	5	3	3	4	5	6	4
	4	4	4	4	4	4	7
	4	4	4	4	4	4	7

Так как d17 =15 , с помощью матрицы R* находим увеличивающий путь:

r17* =5, r57* = 2, r27* = 4, r47* = 7,

L17 ={(1, 5),(5, 2), (2, 4), (2, 7)}.

Находим матрицы:

				0	5	5		5	0	0	0
				5	0	10		0	35	0	0
				5	0	10		0	35	0	0
				5	10	0		8	0	10	0
				5 30 8				0 5 10 0
		D =		5 30 8				0 5 10 0					,
				30	5	0		5	0	10	10
				0	0	10		10	10	0	6
				0	0	10		10	10	0	6
				0	0	0	30		10	6	0
				0	0	0	30		10	6	0
		0			0		0	15		−15		0	0
			0		0		0		0	0		0	0
			0		0		0		0	0		0	0
	X		0	−15			0		0	0		0	15
	X	=	−15		15	0			0	0	0		0	.
			−15		15	0			0	0	0		0
			0		0	0			0	0	0		0

			0		0	0		−15		0		0	0
			0		0	0		−15		0		0	0
						D* = D .
Итерация 2.
0 5 5 5 5 5 5										1		2 3 4 2 3 2
	30 0 10 10 35 10 10										5	2	3	3	5	3	5
	30 0 10 10 35 10 10										5	2	3	3	5	3	5
	10 10	0 10 10 10 10									2	2	3	6	2	6	2
	30 30 10 0 30 10 10										2 2 2 4 2 6 2
D* =	30 30 10 0 30 10 10							,	R* =		2 2 2 4 2 6 2							.
	30 10 10 10			0 10 10						1		6	6	6	5	6	7
	10 10 10 10 10				0 10						5	3	3	4	5	6	5
	10 10 10 10 10				0 10						5	3	3	4	5	6	5
	30 30 10 30 30 10						0				4	4	4	4	4	4	7
	30 30 10 30 30 10						0				4	4	4	4	4	4	7

d17* =15 , L17 ={(1, 2),(2, 5), (5, 7)}.

Находим матрицы:

			0	0	5	5	0	0		0
				0	10	0	30	0	0
		10		0	10	0	30	0	0
			5	10	0	8	0	10		0
			5 30 8			0 5 10 0
	D =		5 30 8			0 5 10 0					,
			30	10	0	5	0	10		5
			0	0 10		10	10	0		6
			0	0 10		10	10	0		6
			0	0	0	30	15	6		0
			0	0	0	30	15	6		0
		0		0	0		0	15		0	0
		0		0	0		15	−15		0	0
		0		0	0		15	−15		0	0
		0		0	0		0	0		0	0
		0 −15 0					0	0 0 15
	X =	0 −15 0					0	0 0 15				.
		−15		0	0		0	0		0	0
			0	0	0		0	0		0	0
			0	0	0		0	0		0	0
			0	0	0	−15		0		0	0
			0	0	0	−15		0		0	0
					D* = D .
Итерация 3.
0 5 5		5 5 5 5						1		3 3 4 3 3 3
	30 0 10 10 30 10 6								5 2 3			3 5 3 3
	30 0 10 10 30 10 6								5 2 3			3 5 3 3
	10 10 0 10 10 10 6								2 2 3			6 2 6 6
	30 30 10	0 30 10 6					R*		2 2 2 4 2 6 6
D* =	30 30 10	0 30 10 6				,	R*	=	2 2 2 4 2 6 6				.
	30 10 10 10 0 10 6							1 2			2 6 5 6 6
	10 10 10 10 10 0 6								3 3		3 4 5 6 7
	10 10 10 10 10 0 6								3 3		3 4 5 6 7
	30 30 10 30 30 10 0								4	4	4	4 4 4 7
	30 30 10 30 30 10 0								4	4	4	4 4 4 7

d17* =5 , L17 ={(1, 3),(3, 6), (6, 7)}.

Находим матрицы:

			0	0	0		5	0	0	0
			10	0	10		0	30	0	0
			10	0	10		0	30	0	0
			10	10	0		8	0	5	0
			5 30 8 0					5 10 0			,
	D =		5 30 8 0					5 10 0			,
			30	10	0		5	0 10		5
			0	0	15		10	10	0	1
			0	0	15		10	10	0	1
			0	0	0		30	15	11	0
			0	0	0		30	15	11	0
	−5			0	0		15	10		0	0
		−5		0	0		0	0		5	0
		−5		0	0		0	0		5	0
X		0		−15	0		0	0		0	15
X	=	−15		10	0		0	0		0	5	.
		−15		10	0		0	0		0	5
		0		0	−5		0	0		0	5

		0		0	0	−15		−5 −5 0
		0		0	0	−15		−5 −5 0

D* = D .

Итерация 4.


	0	5 5	5		5 5	5		1		4 4 4 4 4 4
	30	0 10	10 30 10			5			5	2 3 5 5 5 5

	10 10 0		10 10 10			5			2	2	3	2	2	2	2
	30 30 10			0 30 10		5	,		2	2	2	4	2	6	2
D* =								R* =								.
	30 10 10			10 0 10		5		1		2 2 6 5 6 7
	10 10 15			10 10 0		5			3	3 3 4 5 6 5

	30	30 11		30 30 11		0			4	4	6	4	4	6	7

d17* =5 , L17 ={(1, 4),(4, 2), (2, 5), (5,7)}.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20252.83 Mб1Задания по черчению для подготовительных отделений, лицейских классов (в помощь поступающим на специальность Архитектура).pdf
#
24.11.20257.64 Mб0Задания по черчению для подготовительных отделений, лицейских классов.pdf
#
24.11.20256.88 Mб7Задания по черчению.pdf
#
24.11.20251.77 Mб0Задачи и упражнения по химии.pdf
#
24.11.2025929.46 Кб0Задачи лабораторного контроля по химии.pdf
#
24.11.20252.05 Mб0Задачи математического программирования.pdf
#
24.11.20252.63 Mб0Задачи предлабораторного контроля по химии.pdf
#
24.11.20254.41 Mб1Задачи с решениями по сопротивлению материалов.pdf
#
24.11.20251.7 Mб0Задачник по теории вероятностей.pdf
#
24.11.20252.74 Mб2Законодательная и прикладная метрология.pdf
#
24.11.20253.22 Mб0Закупочная и распределительная логистика.pdf