Задачи математического программирования

Улучшение плана осуществляется за счет увеличения компоненты x32 , добавление ее к базисным компонентам порождает един-

ственный цикл x32 , x22 , x24 , x14 , x13 , x33 . Определяем

δ1 = min(x22 , x14 , x33 ) =1.

Увеличиваем нечетные компоненты цикла (помеченные знаком «+») и уменьшаем четные (помеченные знаком «−») на величину δ1 =1 и получаем новый опорный план (пустые клетки соответ-

ствуют нулевым компонентам плана).

Итерация 2. Множество базисных компонент

B(X ) ={(1,1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 3)},

О(Х ) – все остальные компоненты плана.

Определяем потенциалы для полученного опорного плана:

u1 + u1 =1 ; u1 + u3 = 2 ; u2 + u2 =1 ; u2 + u4 =1 ; u3 + u2 = 2 ; u3 + u3 =1 .

20

Поскольку все величины неотрицательны, то план является решением нашей задачи.

Рассмотрим теперь общую транспортную задачу с ограниченными пропускными способностями в сетевой постановке.

На плоскости отмечаются (кружками) источники (с номерами 1, 2, …, m) и стоки (с номерами m +1, m + 2, m + n ), а также отмечают-

ся фиктивный источник и сток с номерами n + m +1 и n + m + 2 соответственно (рисунок).

1 m+1

Если принять пропускную способность коммуникации m + n +1, i , равной ai , коммуникации m + j, m + n + 2 , равной bj ,

а стоимости переноса по ним единицы продукта, равными 0, то задача может быть сформулирована следующим образом: построить максимальный поток продукта из фиктивного источника m + n +1 в фиктивный сток m + n + 2 , стоимость которого мини-

мальна. Понятно, что величина потока xkl > 0 по любой коммуникации k, l не может превышать ее пропускной способности dkl . Суммарный объем продукта, перемещаемого из каждого источника i , равен величине продукта, перемещаемого в i из фик-

21

тивного источника m + n +1 , а суммарный объем продукта, перемещаемого в каждый сток j, равен величине продукта, перемещаемого из j в фиктивный сток m + n + 2 .

Введем в рассмотрение векторы модифицированных мощностей

a* =(a1*,...,an*+m )=(a1,...,am , b1,...,bn ),

b* =(b1*,...,bn*+m )=(a1,...,am ,b1,...,bn ),

матрицы модифицированных стоимостей C* = cij* и пропускных

способностей D* = dij* порядка (m + n +1)×(m + n + 2), определенных следующим образом:

для всех i =1,m, j =1,n.

22

Общая итерация. Осуществляем тернарные операции над эле-

Одновременно с выполнением операций (2.5) изменяем элемен-

Если c*m+n+1, m+n+2 = ∞ − задача решена. В противном случае

с помощью вспомогательной матрицы R* определяем множество индексов

и множество

L ={(l,i1 ),(i1,i2 ),...,(ik , p)}.

23

Переходим к общей итерации.

После окончания работы алгоритма находим матрицу X = xij m×n ,

Если одно из ограничений не выполнено, то это означает, что исходная задача не имеет допустимых решений. Тем не менее полученный план является оптимальным планом перемещения максимально возможного количества продукта из источников в стоки при данных ограничениях.

Проиллюстрируем работу алгоритма на рассмотренном выше примере: a =(6, 3, 3), b =(4, 2, 4, 2),

24

Формируем матрицы модифицированных стоимостей и пропускных способностей:

25

Прочерки вместо элементов матрицы означают сколь угодно

большое число (∞).

После осуществления общей итерации получим

Так как C89* =1, с помощью матрицы R2 находим

r89* =1, r19* = 4, r49* =9, L ={(8, 1), (1, 4), (4, 9)} и изменяем матри-

цы X *, C*, D * :

26

27

После осуществления над этими матрицами еще семи операций получаем матрицы C*, R* :

Так как C*89 = 7 , с помощью матрицы R* определяем множество индексов

r*89 =1, r19 =5, r59 = 2, r29 = 6, r69 =9,

т. е.

L ={(8,1), (1,5), (5,2),(2,6),(6,9)}.

28

Находим δ =1 и вычисляем

29